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清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第二学期期末考试题
高二数学
考试用时：120分钟 卷面总分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 的虚部为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 6
3. 已知，，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ）
A 180 B. 240 C. 288 D. 360
5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，发现该“方斗”可盛米的总质量为98kg，则当米的高度是“方斗”高度的一半时，该“方斗”盛米的质量为（ ）
A. 36kg B. 37kg C. 48kg D. 49kg
6. 已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的零点分别是，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法正确的是（ ）
A. 极差为6 B. 平均数为5 C. 没有众数 D. 中位数为5
10. 数列等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A. B.
C. D. 当或时，最大
11. 设正实数m、n满足，则（ ）
A. 的最大值为1 B. 的最小值为2
C. 的最小值为2 D. 的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
12. 已知角，满足，，则__________.
13. 小珠上午去游泳的概率为，下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为；小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为，若，则__________.
14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的前n项和．
16. 某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况
第t天 1 2 3 4 5 6 7
预约量y（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79
经计算得：，，．
（1）由于前两天预约游览免费，所以剔除第1、2两天数据，求y关于t的线性回归方程及第5天的残差：
（2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表：
50岁以下 50岁（含50）以上 合计
通过APP预约人数 70
其它方式购票人数 80
合计 100
①完成以上2×2列联表：
②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传．
0.10 0.05 0025 0.010 0.005 0001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，，
17. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
（1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；
18. 已知函数，，．
（1）若函数存在2个零点，求的取值范围；
（2）记，
①当时，求的最小值；
②若的最小值为2，求的取值范围．
19 已知数列满足，其中．
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）在（1）的条件下，求数列的前项和；
（3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第二学期期末考试题
高二数学
考试用时：120分钟 卷面总分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1），残差为0.046
（2）①列联表见解析；②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由见解析
【17题答案】
【答案】（1）76.5
（2）分布列见解析，
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①最小值2；②
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在；．

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