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（在此卷上答题无效）
2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．
A． B．0 C． D．
3．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是
A． B． C． D．
4．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知高均为1的圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积相等，则圆锥的体积为
A． B． C． D．
6．若，且为锐角，为钝角，则
A． B． C． D．
7．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
8．已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则下列选项正确的是
A． B．
C．若且，则 D．与夹角的余弦值为
10．已知函数的部分图象如图所示，，，，则
A．
B．
C．为奇函数
D．当在上恰有4个零点时，
11．如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有
A．动点F轨迹的长度为
B．直线与不可能垂直
C．当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的
余弦值为
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为 ．
13．如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度
AB之比为 ．
已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）估计这200名员工评分的第60百分位数；
（3）为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数.
16．（15分）
如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．（15分）
为了预防季节性流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为
（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：）
18．（17分）
如图，在中，是上一点，是上一点，且．
（1）已知在的垂直平分线上，且．
①求；
②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
（2）若是的角平分线，，求的最大值．
19．（17分）
已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值．2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级期末质量检测
数学试题参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C B B C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD AB ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．10 13．2 14．0
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）由题意知，
解得．
估计这200名员工评分的平均数.
（2）前3组的频率为，
前4组的频率为，
则第60百分位数位于，设为，
则，
解得，
即这200名员工评分的第60百分位数为85.
（3）评分落在的人数：，
评分落在的人数：，
评分落在的人数：，
所以评分落在区间的员工的人数比例为，
所以应抽取的评分落在内的人数为.
（15分）
（1）证明：连接，
因为平面，平面，
所以，
因四边形为菱形且，则为正三角形，
又为的中点，则，
又，平面，则平面.
（2）证明：设为线段的中点，连接、，
因为的中点，则，且，
又且，为的中点，
则且，
则四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
则平面；
（3）解：∵，为正三角形，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
故三棱锥的体积为.
（15分）
解：（1）由图，直线过点，
所以图象中线段的方程为，
又点在曲线上，
所以，
则，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为
.
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，
则，
所以，
所以，
解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室.
（17分）
解：（1）①因为是的垂直平分线，
所以，
则，
又，所以，则，
所以，则，
在中，，
所以；
②因为，所以，
又是的垂直平分线，所以外接圆的圆心在射线上，如图所示，
半径为；
同理可得外接圆的圆心在射线上，半径，
所以．
（2）因为是的角平分线，，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，
即，
当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为1．
（17分）
证明： ，，
为等边三角形，
为的中点，
，
取中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
又 ，，、平面，
平面．
平面ABD，
．
又 ，、平面，
平面．
解：（2）过点作，垂足为．如图所示
由（1）知，平面．
平面，
．
又，平面，
平面，
为与平面所成角．
由（1）知，平面ABD，平面，
．
在中， ，，
，
为的中点，
．
在中，，
，
在中，，
在中，由余弦定理得，
．
与平面所成角的正弦值为．
（3）取的中点为，连接，
为线段的中点，
，，
由（1）知，平面，
平面．
又平面，
所以．
过点P作，垂足为，连接．
，平面，
平面．
又 平面，
，
为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为的中点，
．
由（1）知，平面ACD．
又平面，
所以．
在中，，
由（2）知，，即，
解得．
平面，平面， ．
在中，，．
所以二面角的平面角的余弦值为．

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