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数学学科参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C B D A
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。
题号 9 10 11
答案 AD BCD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
14． 15．4.7 16．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，
即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，，
设的公差为，则，
解得，
所以，，
故，
所以，
两式相减得
，
所以.
16.（15分）
（1）解：当时，，
，
∵为奇函数，
∴，
∴；
（2）证明：任取，，且，
，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减；
（3）解：∵恒成立，
∴恒成立，
又∵为奇函数，
∴恒成立，
由（2）知在上单调递减，且为奇函数，
∴在R上单调递减，
∴恒成立，
∴恒成立，
令，
当时，取得最小值，
∴.
（15分）
解：（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，
因为，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立，
所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．
所有数据都扩大10倍后：
．
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系。
（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：
，
记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，
则，
，
所以抽到数学成绩优秀学生的概率
．
（17分）
解：（1）令，则，
所以与呈线性相关关系，
由题，， ，
所以，
故，
所以，
故，
所以模型②下关于的回归方程为；
当时，
经模型①计算估计产卵数为，
经模型②计算估计产卵数为.
（2）因为模型①，②的决定系数分别为，故，
所以模型②的拟合效果更好.
（3）①由题，
所以
，
令得，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以取得最大值时对应的概率.
②由①知，当时取最大值，
所以当时，，
则由题意可知每年需要人工防治的概率为，且，
所以.
19.（17分）
（1）解：的定义域为，
.
当时，，所以恒成立，
所以在单调递增；
当时，，
所以的两根为，
且，
所以，
所以，时，或时，．
所以在上单调递减，在和单调递增．
综上：当时，在单调递减，
在和单调递增；
当时，在单调递增.
（2）（i）解：由（1）可知当时，在单调，
不可能有三个零点；
当时，的两根为，
且，
所以，且，
因为在上单调递减，
所以，
因为，所以，
设，
在上单调递减，，
即，
所以使.
因为，
又因为，
所以，
所以使，
所以，当时，有三个零点，
（ii）证明：由（i）可知，的三个零点：，
因为，且，
所以，
又因为，
所以，
因为，
所以函数单调递减，，
所以，得证．数学学科参考答案
一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C B D A
二、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。
题号 9 10 11
答案 AD BCD ABD
三、 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
15．4.7 16．2
e
四、 解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）解：（1） = 2 2 ∈ N ①，当
= 1 时，1 = 21 2，解得 1 = 2，当 ≥ 2 时，
1 = 2 1 2 ∈ N ②，式子①-②得 = 2
2 1，即 = 2 1，
故 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 = 2 2 1 = 2；
（2）由（1）知，1 = 1 1 = 1，4 = 2 = 4，设 的
公差为，则 3 = 4 1 = 4 1 = 3，解得 = 1，所以
= 1 + 1 = ， = 2，故 = 2 + 2 × 22 + 3 × 23 +
+ 2，所以 2 = 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + 2+1，
两式相减得
= 1 2+1 2，所以 = 1
2+1 + 2.
16.（15 分）
（1）解：当 > 0 时， < 0，
3 3
( ) = = ，
1 +1
∵ 为奇函数，
∴() = ( ) = 3，
+1
3
, ≤ 0
∴() = 31 ；
, > 0
+1
（2）证明：任取 1，2 ∈ [0, + ∞)，且 1 < 2，
1 2 = 13+11 23+12 = 13+12 21+1 ，
∵0 ≤ 1 < 2，
∴2 1 > 0，1 + 1 > 0，2 + 1 > 0，
∴ 3 2 1 > 0，
1+1 2+1
∴ 1 2 > 0，
∴ 1 > 2 ，
∴ 在[0, + ∞)上单调递减；
（3）解：∵ 32 + 22 4 3 ≥ 0 恒成立，
∴( 32) ≥ (22 4 3)恒成立，
又∵ 为奇函数，
∴ 32 ≥ 22 + 4 + 3 恒成立，由（2）知 在[0, + ∞)上
单调递减，且 为奇函数，
∴ 在 R 上单调递减，
∴ 32 ≤ 22 + 4 + 3 恒成立， ∴ ≤ 2 + 4
+ 3 恒成立，
令 () = 2 + 4 + 3 = ( + 2)2 1，当 = 2
时， 取得最小值 1，
∴ ≤ 1.
17.（15 分）
解：（1）零假设 0：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，
因为 0.01，
依据小概率值 = 0.01 的 2 独立性检验，没有充分的理由推断 0 不成立，所
以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．所有数据都扩大 10 倍
后：
．
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系。
（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：
24 × = 6,30 × = 15,30% × 30 = 9，记 1, 2, 3 分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学
校”，为事件“抽到一名优秀学生”，
24 30 5
则 1 = = ,
2 = 24+30+30 3 = = ， 24+30+30 14
6 1 15 1 9 3
1 = = , 2 = = , 24 4 30 2 3 = = ， 30 10
所以抽到数学成绩优秀学生的概率 = 1 1 + 2 2 + 3 3
= × + × + × = ．
18.（17 分）解：（1）令 = ln，则 = ln = lne3+4 = 3 + 4，
所以与呈线性相关关系，
7
由题 = 27.43， = 3.55， = 0.29，
=1
7
所以 3 = 0.29，
故 4 = 3 = 3.55 0.29 × 27.43 = 4.4047 ≈ 4.40，所以 = 0.29
4.40，
故 = e = e0.29 4.40，
所以模型②下关于的回归方程为 = e = e0.29 4.40；
当 = 30 时，
经模型①计算估计产卵数为 1 = 0.37 × 302 205.03 = 127.97，
经模型②计算估计产卵数为 2 = e0.29×30 4.41 = e4.30 ≈ 73.70.
2 7
（2）因为模型①，②的决定系数分别为 21 = 0.8124, 22 = 0.988，故 21 < 22，所以
所以模型② 的拟合效果更好 .
2
（3 ）① 由题 = C 2
2 1 (0 < < 1 , ≥ 3, ∈ * )，
′ 2 3 = 2 C2 1
2 C2 2 1
3 3
= C 2 1 2 1 2 = C 2 1
2 ， 令′
= 0 得 = ，
2
0, 时， ′ > 0 ；
,1 时， ′ < 0 ，
2 2
所以 在 0, 上单调递增，在 ,1 上单调递减，
所以当 ∈ 当 ∈
2
所以 取得最 5 ,
5 ，
2
大值时对应的 1
5
概率 0 =( ≥ 3,
∈ *). ②由①
知，当 0 = 2
( ≥ 3, ∈ *)时
取最大值，所
以当 = 5 时，
0 = 25，则由
题意可知每年
需要人工防治
的概率为 =
，且 所以
2
2
2
= = 5 ×= 2,
= 1 = 5
××= 6.
5
19.（17 分）
（1）解：()的定义域为(0, + ∞)，
1 1 2 + ′() = 1 + 2 = 2 . 当
时，Δ = 1 42 ≤ 0，所以 2 + ≥ 0 恒成立，
所以()在(0, + ∞)单调递增；当 0 <
< 时，Δ = 1 42 > 0，
所以′() = 0 的两根为 1 = 1 21 42 , 2 = 1+ 21 42，且 1 + 2 = 1 > 0, 12 = 1 >
0，所以 0 < 1 < 2，所以， ∈ 1, 2 时，′() < 0, ∈ 0, 1 或 2, + ∞ 时，′() >
0．所以()在 1, 2 上单调递减，在 0, 1 和 2, + ∞ 单调递增．
1 1 42 1+ 1 42 综上：当 0 < <
时，()在 , 单调递减，
1 2 2
在 0, 1 1 42 和 1+ 1 42 , + ∞ 单调递增；
2 2
当 时，()在(0, + ∞)单调递增.
（2）（i）解：由（1）可知当 时，()在(0, + ∞)单调，不可能有三个零点；
2
当 0 < < 时，′() = 0 的两根为 1 = 1 21 42 , 2 = 1+ 21 42，且 1 + 2 =
1 > 0, 12 = 1 > 0，所以 0 < 1 < 1 < 2，且(1) = 0，因为()在 1, 2 上单调
递减，所以 1 > (1) = 0 > 2 ，因为 0 < < ，所以 13 > 1+ 21 42 = 2, 13
= 12 4 + 3ln，设() = 1 4 ′ 2 43 + 3 = 32 23 46 < 0，
2 + 3 ln , ( ) = 3
4 3ln2 > 3 3ln2 > 0， 1
( )在 0, 上单调递减， ( ) > = 1
16
即
3 > 0 ，
1
所以 ∈ 2 , 3 使 ( ) = 0 .
因为 + ln = 1 ln= ()，
= ln =
1 1
又因为 3 > 2 0 <
3 < = 1 ，
2
所以 3 = 3 < 0 ，
所以 ∈ 3, 1 使() = 0，所以，当 0
< < 时，()有三个零点, = 1, ，
（ii）证明：由（i）可知，()的三个零点： ∈ (0,1), = 1, ∈ (1, + ∞)，因为
= ()，且() = () = 0，所以 = 1，又因为 0 < < 1 > 2，
所以 + > + 2 = + 2，
因为 ∈ (0,1)，所以函数 () = + 2 单调递减， () >
(1) = 3，
所以 + > + 2 = + 2 > 3 = 3，得证．
1 2
1
1
1
1
2
1
1
1报告查询:登录 或扫描二维码下载 App
单项选择题（本题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
7 [A] [B] [C] [D]
1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
17. （15 分）
填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12.
13.
14.
解答题（本题共 5 小题，共 77 分）
15. （13 分）
16. （15 分）
{#{QQABZQSAogigQhBAAAgCQQGKCAOQkBGCAaoGRBAYIAAACQNABCA=}#}
18. （17 分） 19. （17 分）
（1）
（2）模型 （选填“①，②”）拟合效果更好。
（3）
{#{QQABZQSAogigQhBAAAgCQQGKCAOQkBGCAaoGRBAYIAAACQNABCA=}#}
请勿在此区域作答
或者做任何标记2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高二年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
3．若，则下列命题正确的是
X 1 0 a 2
P b
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若，则
A． B． C． D．
5．设是定义在上的奇函数，，，则
A．0 B．1012 C．2 D．1010
2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
7．已知函数，则
A．有三个极值点 B．直线是曲线的切线
C．有三个零点 D．点是曲线的对称中心
8．已知，则的最小值为
A． B． C．1 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。
9．若，则
A． B．
C． D．
10．若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有
A．A与B相互独立 B．
C． D．
11．设有限集合，其中，，若存在非空集合，使得中所有元素之和与中所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则
A．若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个
B．若集合中元素满足，，，，则存在使得是“可拆等和集”
C．存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”
D．若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
13．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于，小于的驾驶行为为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过 个小时才能驾驶汽车．（参考数据：）
14．对，恒有，则实数a的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）在等差数列中，，，求数列的前n项和.
16．（15分）
已知奇函数的定义域为R，当时，.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明：在上单调递减；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
17．（15分）
为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明；
附：，其中．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率．
18．（17分）
蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关，根据以往在某地收集到的7组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.
平均温度 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数个 5 9 22 25 65 118 324
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中.
（1）根据表中数据，经计算得出模型①，请建立模型②下关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数；（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：）
（2）模型①，②的决定系数分别为，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好；
（3）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为.
①求取得最大值时对应的概率；
②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
19．（17分）
已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）求证：．2024~2025 学年第二学期福建省部分学校教学联盟高二年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120 分钟；满分：150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 = 0,1,2,3， = + 1 ∈ ，则 ∩ =
A． 0,3 B． 3 C． 0,1,2 D． 1,2
f 1 2 f x
2．已知函数 2x 的定义域为 1, ，则函数 1 的定义域为
1 1
A． 1, 2 B． 2 ,1 C． 2,0 D． 2,4
3．若, , ∈ ，则下列命题正确的是
A．若 > ，则 2 > 2 B．若 < < < 0，则 < +
+
X 1 0 a 2
．若
C > ，则 < D．若 > ，则 2 22 2 >
P b
4．已知离散型随机变量 X 的分布列如右表，若 12 + 2 = 9，则 =
A． B． C． D．
2025
f k
5．设 是定义在上的奇函数， = 2 ， 3 = 2，则 x 1
A．0 B． 1012 C． 2 D．1010
6． 2025 年高考结束后，某校高三年级一宿舍的 6 位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设 6 位同学
站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位 1 班同学彼此不相邻，两位 2 班同学彼此不
相邻，则不同的站法共有
A．16 种 B．32 种 C．48 种 D．64 种
7．已知函数 = 1 3 + 1，则
3
A． 有三个极值点 B．直线 = 2 是曲线 = 的切线
C． 有三个零点 D．点 0,1 是曲线 = 的对称中心
8．已知 2 + 92 = 12, , > 0，则+2 3 的最小值为
+1
A． 6 B． 2 C．1 D． 1
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分。
9．若 + 2 2 1 5= 0 + 1 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66，则
A．0 = 2 B．1 + 3 + 5 = 123
C．0 + 2 + 4 + 6 = 120 D．1 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 = 31
10．若 A，B 是一次随机试验中的两个事件，() = ，() = ，2( + ) = 5()，则下列结论正确的有
A．A 与 B 相互独立 B．() =
C． D． + =
11．设有限集合 = 1, 2, 3, , ，其中 ≥ 4， ∈ *，若存在非空集合 ，使得中所
有元素之和与中所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则
A．若集合 = 1,2,5, 是“可拆等和集”，则的取值共有 6 个
B．若集合中元素满足 1 = 1，2 = 2， ∈ N ，+2 = +1 + ，则存在使得是“可拆等和集”
C．存在公比为正整数，且公比不为 1 的等比数列 ，使得集合是“可拆等和集”
D．若 = 4 + 3， ∈ *，数列 是等差数列且公差 = 1，则集合是“可拆等和集”
三、 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．若不等式 2 + 1 > 0 对 ∈ R 恒成立，则实数的取值范围是 .
13．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于 20mg/100mL，小
于 80mg/100mL 的驾驶行为为酒后驾车，80mg/100mL 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶
员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 100mg/100mL．如果停止喝酒后，他
血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时才能驾驶汽车．（参考
数据：lg5 ≈ 0.7, lg7 ≈ 0.85）
14．对 > 0，恒有 e ，则实数 a 的最小值为 .
四、 解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知数列 的前项和为，且满足 = 2 2 ∈ N .
（1）求 的通项公式；
（2）在等差数列 中，1 = 1 1，4 = 2，求数列 的前 n 项和.
16．（15 分）
已知奇函数的定义域为 R，当 ≤ 0 时，() = 3 .
1
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明：在[0, + ∞)上单调递减；
（3）若对任意的 ∈ ，不等式 32 + 22 4 3 ≥ 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
17．（15 分）
为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 80 名学生．通过测试
得到了如下表数据：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
（1）依据小概率值 = 0.01 的 2 独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；
如果表中所有数据都扩大为原来的 10 倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和
数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请试用计算说明；
2
附：2 = ，其中 = + + + ．
+ + + +
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为 30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校
总人数比例分别抽取了 24 人，30 人，30 人进行调查访谈．从这 84 人中任意抽取一名学
生，求抽到数学成绩优秀学生的概率．
18．（17 分）
蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位： C）
有关，根据以往在某地收集到的 7 组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现
分别用模型① = 12 + 2 与模型② = e3+4 作为平均产卵数和平均温度的回归方程来建立两个变量之间
的关系.
35
平均温度
21 23 25 27 29 32
x /℃
其中 = 2 , =
17 7=1 , = ln,
平均产卵数
5 9 22 25 65 118 = 17 7=1 . 324
y/ 个
（1） 根据
表中数据，
t x2 441 529 625 729 841 1024 1225 经计算得出
模型① =
0.372
z lny 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78 205.03，请
建立模型②
下关于的回
x t y z 归方程；
并在两个模
27.43 773.43 81.14 3.55
型下分别估
计温度为7 7
7 7 30 C 时的产
xi x yi zi z xi 卵数；（3, 4
ti t yi zi z ti
与估计值均
y x
y t 精确到小数
i 1 i 1
i 1 i 1 点后两位）
7 7
7 7
（参考数
2 ti t
2 22 ti t 据：e4.25 x ≈ i x xi x
i 1 i 1
70.11, e
4.30
i 1 i 1
≈ 73.70,
e4.35 20.03 0.37 0.29 0.0052 ≈
77.48）
（2） 模型①，②的决定系数分别为 21 = 0.8124, 22 = 0.988，请
根据决定系数判断哪个模型的拟合
效果更好；
（3） 根据以往统计，该地每年平均温度达到 30 C 以上时蝗虫会
对农作物造成严重伤害，需要人工
防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到 30 C 以上的概率为(0 < < 1)，
该地今后 ≥ 3, ∈ * 年恰好需要 2 次人工防治的概率为 .
①求 取得最大值时对应的概率 0；
②当 取最大值时，设该地今后 5 年需要人工防治的次数为，求的均值和方差.
19．（17 分）
已知函数 = 1 ln，其中 > 0．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在定义域内有三个零点 a，b，c（ < < ）．
（ⅰ）求实数 m 的取值范围；
（ⅱ）求证： + > 3．

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