资源简介

2024-2025学年广东省江门市江海区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
5．（3分）如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
6．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝20，BC＝8，则△AOD的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
7．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
9．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，3），则k＝　 　 ．
13．（3分）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1≤y2时，x的取值范围是 　 　 ．
14．（3分）用一根长20cm的铁丝围一个矩形ABCD，设AB的长为x cm，BC的长为y cm，则y关于x的函数解析式为 　 　 （不写自变量的取值范围）．
15．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝a cm，则图1中对角线AC的长为 　 　 cm．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：
（1）；
（2）．
17．（7分）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
18．（7分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
20．（9分）支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 　 　 B．微信支付 　 　 C．现金支付 　 　 D．其他移动支 　 　
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　 ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中20～40岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是 　 　 ；
（3）该社区中40～60岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
21．（9分）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为x%时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：HRC）和合金N的硬度y2（单位：HRC），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度y1/HRC 55 60 65 75 80 85 90 95
合金N的硬度y2/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，y1与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画y2与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了70g金属C，全部用于制作100g合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为35g，则合金N与合金M的硬度差约为多少HRC？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高1℃，硬度下降0.2HRC．如果合金M的硬度为70HRC，问：当合金N的温度升高多少℃时，两种合金的硬度会相同？
23．（14分）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q．打开铺平，连接PQ、QD、PD．
【探究提炼】
（1）如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND．
①求∠NMD的度数；
②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
2024-2025学年广东省江门市江海区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D A C D C A D
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23
【解答】解：A、42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，是勾股数，符合题意；
C、62+82≠112，不是勾股数，不符合题意；
D、52+122≠232，不是勾股数，不符合题意，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．2，故本选项不符合题意；
B．和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．（）2＝2，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）将直线y＝﹣2x+4平移得到直线y＝﹣2x，则移动方法为（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
【解答】解：∵y＝﹣2x+4＝﹣2（x﹣2），
∴将一次函数y＝﹣2x+4的图象向左平移2个单位或者向下平移4个单位，可得到函数y＝﹣2x，
故选：D．
5．（3分）如图，AD∥BC，BD与AC相交于点E，设△ABE的面积为S1，△CDE的面积为S2，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．2S1＝S2
【解答】解：∵AD∥BC，
∴S△ABC＝S△DBC，
∴S△ABC﹣S△EBC＝S△DBC﹣S△EBC，即S△ABE＝S△CDE，
∴S1＝S2，
故选：A．
6．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝20，BC＝8，则△AOD的周长（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
【解答】解：AC、BD是 ABCD的对角线，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，
OA+OB（AC+BD）20＝10，
∵BC＝8，
∴AD＝8，
∴△AOD的周长＝OA+OB+AD＝10+8＝18．
故选：C．
7．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵，
∴从丁和乙中选择一人参加比赛，
∵丁的方差比乙的方差小，
∴选择丁参赛．
故选：D．
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2，
∴OB，
又∵OB＝OP，
∴OP，
又∵点P在原点的左边，
∴点P表示的数为．
故选：A．
10．（3分）如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　）
A． B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，
当点P与点B重合时，△ADP的面积是，
∴，
解得AD＝7，
又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，
∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝3，BC＝AE，
设BC＝x，则DE＝7﹣x，CD＝8﹣x，
在Rt△DCE中，DE2+CE2＝CD2，
即（7﹣x）2+32＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴a＝3+3＝6．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤2　 ．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，3），则k＝　﹣3　 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（﹣1，3），
∴3＝﹣1×k，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1≤y2时，x的取值范围是 　x≤1　 ．
【解答】解：由图象可知，y1≤y2时，x的取值范围是x≤1．
故答案为：x≤1．
14．（3分）用一根长20cm的铁丝围一个矩形ABCD，设AB的长为x cm，BC的长为y cm，则y关于x的函数解析式为 　y＝﹣x+10　 （不写自变量的取值范围）．
【解答】解：根据题意可得：x+y＝20÷2＝10，
∴y＝﹣x+10；
故答案为：y＝﹣x+10．
15．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝a cm，则图1中对角线AC的长为 　a　 cm．
【解答】解：如图1，2中，连接AC．
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝a，
∴AB＝BCa，
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BCa，
故答案为：a．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．（7分）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
18．（7分）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）．
（1）请求出BD的长度；
（2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
∴BD＝3，
答：BD的长度为3．
（2）该车符合安全标准，理由如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）设直线解析式为y＝kx+b，
把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入，
得，，
解得：k＝2，b＝4，
所以，y＝2x+4，
x＝0时，y＝4，
y＝0时，x＝﹣2，
则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4），
（2）△AOB的面积2×62×2＝8．
20．（9分）支付宝、微信、现金、其他移动支付（每人只选一项），形成如下调查报告：
课题主题 “移动支付方便你我他”﹣移动支付在人们生活中的作用
活动目标 了解移动支付的使用情况和发展前景，增强社会责任意识，科技创新意识
调查方式 抽样调查
数据的收集、整理与描述 手机支付是中国移动面向用户提供的一项综合性移动支付服务，可使用支付账户完成生活消费、缴话费、网上购物、水电燃气账单支付等远程消费．
移动支付的调查问卷 您好！这是一份关于移动支付方式的问卷调查，请选择一项您最常使用的方式（只选一项），在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！ 移动支付方式 A．支付宝支付 　×　 B．微信支付 　√　 C．现金支付 　×　 D．其他移动支 　×　
调查结果 …
任务二：解决问题
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　400　 ；并补全条形统计图；
（2）根据条形统计图可得，该社区中20～40岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为100、90、20、15，这四个数据的中位数是 　55　 ；
（3）该社区中40～60岁的居民约6000人，估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数．
【解答】解：移动支付的调查问卷，我最常使用的方式是微信支付．
（1）由题意知，这次调查的样本容量是400，
使用现金支付的人数为400×20%＝80（人），
∴其中40～60岁居民使用现金支付的有80﹣20＝60（人），
补图如下；
故答案为：400；
（2）由题意知，区中20～40岁居民使用支付宝、微信、现金、其他移动支付人数分别为共100、90、20、15，
从小到大依次排序为15，20，90，100，
∴中位数为第2、3位数的平均数为55，
故答案为：55；
（3）60002400（人），
答：估算这些人中最喜欢用“支付宝”支付方式的人数约2400人．
21．（9分）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
【解答】解：（1）
；
（2），
∴2a2+4a﹣1
＝2（a2+2a+1）﹣3
＝2（a+1）2﹣3
＝2×2﹣3
＝4﹣3
＝1．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）综合与实践
某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属A和C制作出了合金M，利用金属B和C制作出了合金N．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属C的质量百分比有关．当合金中所含金属C的质量百分比为x%时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金M的硬度y1（单位：HRC）和合金N的硬度y2（单位：HRC），部分数据如表：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度y1/HRC 55 60 65 75 80 85 90 95
合金N的硬度y2/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59
根据数据可以发现，y1与x之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画y2与x之间的关系．
（1）补全表格；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）第一实验小组准备了70g金属C，全部用于制作100g合金M和100g合金N，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属C的质量均为35g，则合金N与合金M的硬度差约为多少HRC？（结果保留整数）；
②假设合金N的硬度会受温度影响，温度每升高1℃，硬度下降0.2HRC．如果合金M的硬度为70HRC，问：当合金N的温度升高多少℃时，两种合金的硬度会相同？
【解答】解：（1）补全表格如下：
x 10 20 30 40 50 60 70 80 90
合金M的硬度y1/HRC 55 60 65 70 75 80 85 90 95
合金N的硬度y2/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59
故答案为：70；
（2）函数图象如图所示；
（3）①由图象可得，35%，
即当x＝35时，y1≈67.5HRC，y2≈73.2HRC，
∴y2﹣y1≈6HRC；
②由题可知合金N的温度提高10℃时，则合金N的硬度会下降0.2×10＝2HRC．
又∵合金M的硬度为70HRC，
∴合金M中金属C质量为100×40%＝40g．
∴合金N中金属C质量为＝70﹣40＝30g，此时合金N所含金属C的质量百分比30%，
∴由表格可知当x＝30时，y2＝72HRC，下降2HRC，则为70HRC，
∴合金N的温度应升高10℃．
答：当合金N的温度升高10℃时，两种合金的硬度会相同．
23．（14分）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q．打开铺平，连接PQ、QD、PD．
【探究提炼】
（1）如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND．
①求∠NMD的度数；
②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）QP＝QD，理由：
由折叠可知：QP＝QD；
连接QD、QB，
由折叠可知QB＝QD＝QP，∠QBC＝∠QDC＝∠QPB，∠AQB＝∠AQD，
设∠QBC＝x°，则∠AQB＝∠AQD＝45°+x°，∠BQP＝180°﹣2x°，
∴∠DQP＝360°﹣∠AQB﹣∠AQD﹣∠BQP＝360°﹣2（45°+x°）﹣（180°﹣2x°）＝90°，
∴DQ⊥QP；
（2）由折叠可知：∠PHQ＝∠DHQ，∠PQH＝∠DQH，QP＝QD；
在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝AB＝8，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACBBCD＝45°，
∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝∠HPC＝45°，
∴∠QHD∠PHD（180°﹣∠PHC）＝67.5°，如图，连接QD，
∵HI＝PI，PH⊥AC，即QC是PH垂直平分线，
∴QP＝QH，
∴QH＝QD，
∴∠QHD＝∠QDH＝67.5°，
∴∠CQD＝180°﹣∠QDC﹣∠QCD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CQD＝∠QDC，
∴CQ＝CD＝8cm；
（3）①如图；过点N作NE⊥BC，垂足为E，过点N作NF⊥CD，垂足为F，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ENF＝360°﹣∠NFC﹣∠NEC﹣∠BCD＝120°，
∵在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线，∠BCD＝60°，
∴NE＝NF，
∵NM＝ND，
∴Rt△NEM≌Rt△NFD（HL），
∴∠ENM＝∠FND，
∴∠ENM+∠MNF＝∠MNF+∠FND，
∴∠DNM＝∠ENF＝120°，
∵DN＝MN，
∴∠NMD＝∠NDM（180°﹣∠DNM）＝30°；
②过点N作NK⊥DM于点K，设DM＝a，
则MKDMa，NKMN，
∵MN2＝NK2+MK2，即（2NK）2＝NK2+（）2，
解得：NKa，
则S△NDKMD NK，
∴当a最小时，△MND面积最小，
∴当DM⊥BC时，△MND面积最小，
如图，
∵DM⊥BC，∠BCD＝60°，
∴∠CDM＝30°，
∴MCCD20（m），
∴DM，
则S△NDK100（m2），
∴△MND的面积存在最小值为100m2．

展开更多......

收起↑