资源简介

2024-2025学年第二学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项:
1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生
号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对
应的答题区域内,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.已知等比数列12,6,3,…,则该等比数列的第6项是
3 1 3 1
A.8 B.16 C.16 D.32
2.若随机变量 X 服从正态分布 N (μ,σ2),则 P(X<μ+σ)≈0.8413.已知随机变量
X~N(1,22),则下列概率中最大的是
A.P(X<1) B.P(X>-1) C.P(X>3) D.P(-13.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则对于函数y=f(x)的描述正确
的是
A.在(-∞,0)上单调递减
B.在x=0处取得最大值
C.在x=2处取极小值
D.在 0,4 上至少有一个零点
4.在空间直角坐标系Oxyz中,A(2,0,0),B(-1,3,1),则线段AB 上靠近点A 的三等分点的坐标为
A. ,,111 3 B. -3,,11 3
C. 3, 1 1-1,-3 D. -1,-1,-3
5.过抛物线y2=2x 的焦点作直线l,交抛物线于A,B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2,则
|AB|=
A.3 B.4 C.5 D.6
高二数学 第1 页 (共4页)
6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这四个变量的关系,随机抽查52名中学
生,得到如下4个列联表,则与性别有关联的可能性最大的变量是
成绩 视力
性别 合计 性别 合计
及格 不及格 好 差
男 14 6 20 男 4 16 20
女 22 10 32 女 12 20 32
合计 36 16 52 合计 16 36 52
智商 阅读量
性别 合计 性别 合计
偏高 正常 丰富 不丰富
男 8 12 20 男 14 6 20
女 8 24 32 女 2 30 32
合计 16 36 52 合计 16 36 52
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,E 是AD 的中点,则CE 与平面A1BE 所成角的正弦值为
105 2 30 7 8
A.15 B.15 C.15 D.15
8.已知函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则曲线y=f(x)
的对称中心为
A.(0,1) B.(1,0) C. 1- ,2 0 D. 1,12 2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.关于双曲线4x2-y2+64=0的以下论述中,正确的是
A.焦点在y 轴上 B.虚轴长为16
5
C.渐近线方程为y=±2x D.离心率为2
10.若圆x2+(y-1)2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为1,则a 的取值可以是
A.1 B.-1 C.-2 D.-3
11.如图,在一个正方形的框架中有 三个滑块,滑块可以在框架中滑动
到与其相邻的无滑块位置.在下列选项中,只通过滑动,即可变成右图所示图形
的有
A. B. C. D.
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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知 ()
π
f x =xcosx,则f'( )2 = .
13.已知四面体ABCD 的所有棱长都等于1,E,F 分别是AB,CD 的中点,则B→C·E→F= .
14.已知数列{an}的前n 项和Sn=2n+1-2,若p+q=10(p,q∈N*),则ap+aq 的最小
值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在等差数列{an}中,a2=6,a6=2.
(1)求a8;
(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn,求Sn=an 时n 的值.
16.(15分)
已知函数 1f(x)=lnx+x-1.
(1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与y 轴垂直,求x0;
(2)求函数f(x)的最小值.
17.(15分)
一个箱子里有n 个大小相同的红球和白球,其中红球比白球多1个.已知从中随机摸出2
个球,摸出的球颜色不同的概率为3
5.
(1)求n 的值;
(2)若有放回地摸球3次,每次随机摸出1个球,记至少取出一次的球的个数为X,求X
的分布列和均值.
高二数学 第3 页 (共4页)
18.(17分)
如图,两个正方形框架ABCD,ABEF 的边长都是1,且它们所在的平面相互垂直.
(1)证明:BC⊥BE;
(2)证明:AC 与BF 是异面直线;
(3)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最
小值.依据上述定义,求异面直线AC 与BF 之间的距离.
19.(17分)
2 2
已知F1,F2 分别为椭圆C:
x y
a2
+ 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,点A 在C 上,AFb 2
垂直
于 轴,且 5 3x |AF1|= ,2 |AF2|=2.
(1)求C 的方程;
(2)若B 为椭圆C 的右顶点,过(2,1)的直线与椭圆交于不同的两点 M (x1,y1),
N(x2,y2),且x1>x2.
(ⅰ)求证:直线BM 与直线BN 的斜率之和为定值;
(ⅱ)过M 与x 轴垂直的直线交直线BN 于点H,求MH 中点的轨迹方程.
高二数学 第4 页 (共4页)
2024--2025学年第二学期期末调研试卷
高二数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A C D B D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ACD AB BD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12． 13． 14．64
2 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
（1）记等差数列 an 的公差为 d，则 a2 =a1+d=6， a6 =a1+5d=2 ，………2 分
解之得 a1=7， d= 1，所以 a8 =a1+7d=0 .………6 分
（2） an=a1+ n 1 1 =8 n
n n 1
S =na + ， n 1 d=
1 15
n2 + n，………9 分
2 2 2
1 2 15
所以 n + n=8 n，即 n2 17n+16=0，解之得 n=1或n=16.………13 分
2 2
16.（15 分）
（1） f (x)
1 1
= x 1，曲线 y f x 在点 x0，f x0 处切线的斜率为 f (x0)
x 1
0 ，………3分
x x2 x2 x 20
由已知得 x0 1=0 ，所以 x0 =1.………6 分
（2） f x 的定义域为 0,+ ，当 x变化时， f (x)，f x 的变化情况如表所示：………7分
x 0,1 1 1,+
f (x) 0 +
f x 单调递减 0 单调递增 ………13 分
所以，当 x=1时， f x 取得最小值，最小值为 f 1 0.………15 分
17.（15 分）
（1）设 A=“摸出的球颜色不同”，红球个数为 a+1，白球个数为 a，则 n 2a 1，………1 分
P(A) C
1C1 3 2a a+1 3
所以 a a 12 = ，即 = ，解之得 a=2 ，………5分C2a 1 5 2a 2a+1 5
所以红球有 3 个，白球有 2 个，一共有 5 个球， n=5 .………6 分
1
1
（2）随机摸出每个球的概率都为 ，依题意， X 的可能取值为 1,2,3，………8 分
5
P(X 1) C1 (1)35 =
1 P(X 2) 2C2 2 1， 5 C3 ( )
2 1 = 12 P(X 3) A3(1)3= 12 ， ，
5 25 5 5 25 5 5 25
X 的分布列如表所示：
X 1 2 3
1 12 12
P ………13 分
25 25 25
1 12 12 61
所以 X 的均值为： E(X ) 1 +2 +3 = .………15 分
25 25 25 25
18.（17 分）
（1）因为平面ABCD 平面ABEF，所以平面ABCD与平面ABEF所成的二面角为90 ，………1分
又 BC AB，BE A B ， 依 据 二 面角的平面角的定义 CBE=90
，所以 BC BE .………4分
（2）如图，分别以 BA,BE,BC为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz， ………5 分
则A 1,0,0 ，B 0,0,0 ，C 0,0,1 ，F 1,1,0 ,

AC 1,0,1 ，BF 1,1,0 ，BA= 1,0,0 ,………6 分
= 1，

①若 AC= BF，则 =0， 无解，

0 =1
所以直线 AC与直线BF不平行；………7分
②若直线 AC与直线BF相交，记它们所确定的平面为 ，
因为 A ，B ，所以 AB ，
+ =1，
1 2
设 BA= 1AC+ 2BF，即 2 =0， 无解，所以直线 AC与直线BF不相交；………8分

1=0
由于空间两条直线仅有三种位置关系：平行，相交，异面， 所 以 A C 与 B F 是 异 面直线.………9分
（3）记M，N 分别为异面直线 AC，BF上任意一点，设 AM =xAC， BN=yBF， x，y R，

由 AM =xAC可得M x+1,0, x ，由 BN=yBF可得 N y, y,0 ，则MN= y+x 1, y, x ，………11 分

由MN BF可得 y+x 1+y=0 ，即 x=1 2y，………12 分
2
MN = y+x 1 2所以 +y2 + x 2 = 6y2 4y+1 6 1 1 y ，………15 分
3 3
1
所以当 x=y= 时， MN 3 3取最小值为 ，所以异面直线 AC与 BF之间的距离为 .………17 分
3 3 3
19.（17 分）
（1）由题意得 AF1F2 为直角三角形，
FF 2 AF 2 AF 2 25 9所以 1 2 1 2 4 , F4 4 1
F2 2 , c 1.………1分
由于 2a 5 3 AF1 AF2 4 ，所以 a 2 .………2分2 2
又 a2 b2 c2 ，所以b 3 .………3分
2 2
故椭圆C x y的方程为: 1.………4分
4 3
2
（2）(i)M (x1, y1)， N(x2, y2) ,设MN 所在直线 l的斜率为 k，
l： y 1 k(x 2)，即 y kx 2k 1.把 y kx 2k 1代入椭圆C得：………5分
1
(3 4k 2 )x2 8k(1 2k)x 16k 2 16k 8 0 ，由 0 ,可得 k ，………6 分
2
x x 16k
2 8k 16k 2 16k 8
1 2 ， x1x2 ，………7 分3 4k 2 3 4k 2
k k y1 y2 kx 2k 1 kx 2k 1 1 1所以 1BM BN 2 2k x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
2k x1 x 2 4 x x 4 2k 1 2
(x1 2)(x2 2) x1x2 2(x1 x2) 4
16k 2 8k
4
2k 3 4k
2
2 3.16k 16k 8 2 16k
2 8k

3 4k 2 3 4k 2
4
综上： kBM kBN 为定值-3.………10 分
(ii)因为点H 在直线 BN 上，所以 kBH kBN ,由于 kBM kBN 3，所以 kBM kBH 3.………11 分
y1 yy y H
设点H 的纵坐标为 yH ,则MH 的中点为 E (x , 1 H1 ) ,因为2 k
2 ，………12 分
BE x1 2
k y k 1 yH y1 yHBM BH k k 2k k
3

x1 2 x 2 x 2
, BM BH BE，所以 BE ，………14 分
1 1 2
3
所以点 E在直线 y x 3上，………15 分
2
(2,1) A(1, 3又因为过 的直线与椭圆C的切点分别为 )， B(2,0)，
2
所以点 E的轨迹为除去 A，B两端点的线段.………16 分
3
综上：MH 中点的轨迹方程为 y x 3, (x (1, 2)) .………17 分
2
3

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