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第七章相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直导学案
一、学习目标
理解垂直的定义，掌握垂线、垂足的概念，能准确判断两条直线是否垂直。
探索并掌握垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，理解点到直线的距离的概念并能进行相关计算。
培养空间观念和几何直观能力，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，增强逻辑推理能力。
二、学习重难点
重点：垂直的定义、垂线的性质、点到直线的距离的概念。
难点：垂线性质的理解与应用；在复杂图形中准确找出点到直线的距离；区分垂线段与点到直线的距离的概念 。
三、知识点自主预习填空
垂直的定义：如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是________，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做________ 。
垂直的符号表示：直线AB与直线CD垂直，记作________ ，读作________ 。
垂线的性质 1：在同一平面内，过一点________一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短。简单说成：________ 。
直线外一点到这条直线的垂线段的________，叫做点到直线的距离。
四、知识点详细讲解与要点讲解
知识点 1：垂直的定义
详细内容：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直。此时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 。例如，在正方形中，相邻的两条边所在的直线互相垂直，其交点就是垂足 。垂直是相交的一种特殊情况，具有相交的基本特征，但又有其独特的性质 。
常考易错点：忽略 “在同一平面内” 的条件；对直角的判断不准确，未通过角度测量或相关条件确认就判定两直线垂直；混淆垂线和垂足的概念 。
经典例题 1：下列说法正确的是（ ）
A. 两条直线相交，一定互相垂直
B. 若两条直线垂直，则它们相交所成的四个角都是直角
C. 两条直线不垂直就一定平行
D. 过一点有无数条直线与已知直线垂直
答案：B
解析：两条直线相交不一定垂直，A 错误；两条直线垂直时，相交所成的四个角都是直角，B 正确；在同一平面内，两条直线不垂直也不一定平行，还可能相交不垂直，C 错误；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，D 错误。
变式题 1：在同一平面内，直线a与直线b相交，若为a与b相交所成的角），则直线a与直线b的位置关系是________ 。
答案：互相垂直
解析：根据垂直的定义，两条直线相交所成的角中有一个角是直角时，两直线互相垂直，所以直线a与直线b互相垂直。
知识点 2：垂线的性质
详细内容：
性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的 “一点” 可以是直线上的点，也可以是直线外的点 。例如，过直线l上一点A，能且只能画出一条直线与l垂直；过直线l外一点B，同样能且只能画出一条直线与l垂直 。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。垂线段是指从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间的线段 。这条性质在实际生活中有广泛应用，如测量最短距离等 。
常考易错点：对 “有且只有” 理解不到位，误认为过一点可以有多条直线与已知直线垂直；在实际问题中，不会运用 “垂线段最短” 的性质，不能正确找出垂线段；混淆垂线和垂线段的概念 。
知识点 3：点到直线的距离
详细内容：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。它是一个数量，而不是垂线段本身 。例如，在上述经典例题 2 中，点P到直线l的距离就是垂线段PA的长度 。在计算点到直线的距离时，需要先确定垂线段，再测量或计算其长度 。
常考易错点：将垂线段与点到直线的距离混淆，误认为垂线段就是点到直线的距离；在复杂图形中，找不出点到直线的垂线段，从而无法计算距离；对距离的概念理解不透彻，在实际问题中出现错误应用 。
经典例题 3：已知点A到直线m的距离是3cm，则在直线m上到点A的距离为3cm的点有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 无数个
答案：C
解析：以点A为圆心，3cm为半径作圆，圆与直线m有两个交点，这两个交点到点A的距离都为3cm，且这两个点到直线m的垂线段长度都为3cm，所以在直线m上到点A的距离为3cm的点有2个，选 C。
五、效果检测（判断题）
两条直线相交，若有一个角是90^{\circ}，则这两条直线互相垂直。（ ）
在同一平面内，不相交的两条直线互相垂直。（ ）
过一点可以画无数条直线与已知直线垂直。（ ）
垂线段就是点到直线的距离。（ ）
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（ ）
（ ）
点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段。（ ）
在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（ ）
两条直线垂直时，相交所成的四个角都相等。（ ）
从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短。（ ）
课后作业
一、单选题
1．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（ ）
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
2．过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（ ）
A． B． C． D．
3．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
4．以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．两钉子固定 D．弯曲河道改直
二、填空题
5．如图，直线，垂足为点O，直线EF过点O，，则 ．
6．春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路线，，，，如图所示，其中最短的一条路线是 ．
7．如图，要把河里的水引到田地处，过点向河岸作垂线．垂足为．沿挖渠能使所挖的渠道最短，理由是
8．在测量跳远成绩时，皮尺与起跳线要保持垂直，其数学原理是 ．
9．如图，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，，垂足为B，，，，则点P到直线l的距离是 ．
10．如图，在中，，，那么点到直线的距离是线段 的长度．
11．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，若，，，则点M到直线l的距离可能是 ．（写出一个即可）
12．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到直线的距离为 ．
三、解答题
13．如图，直线和相交于点，，若，求的度数．
14．如图，已知直线l 和直线外一点 A．用量角器或三角板经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；再在直线l上任取一点 B（点C除外），连接．在线段，，中，哪条线段最长？为什么？
15．在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题：
(1)过点P画的垂线，垂足为H；
(2)在图中线段的长度是点P到直线①_______的距离，在直线上任取一点C，连接，这两条线段大小关系是②_______．（用“<”号连接）
七、答案与解析
（一）知识点自主预习填空答案
直角；垂线；垂足
有且只有
垂线段；垂线段最短
长度
（二）效果检测答案与解析
答案：√
解析：根据垂直的定义，两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，该说法正确。
答案：×
解析：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，而不是垂直，该说法错误。
答案：×
解析：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不是无数条，该说法错误。
答案：×
解析：垂线段是一条线段，点到直线的距离是垂线段的长度，两者概念不同，该说法错误。
答案：√
解析：这是垂线的性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，该说法正确。
答案：×
解析：在同一平面内，
答案：×
解析：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段，该说法错误。
答案：√
解析：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该说法正确。
答案：√
解析：两条直线垂直时，相交所成的四个角都是直角，直角都相等，该说法正确。
答案：√
解析：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，这是垂线的性质，该说法正确。
课后作业答案与解析
题号 1 2 3 4
答案 D C A A
1．D
【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键．
【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意；
B．没有过点，故该选项不符合题意；
C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短．
故选：A
4．A
【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意；
B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意；
故选：A．
5．64
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直定义，对顶角相等，得到，垂直结合平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：64．
6．
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】解：四条线段，，，中垂线段是，则由垂线段最短可知：最短的一条路线是，
故答案为：．
7．垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短的应用，理解题意是解题的关键．
根据题意抽象为过直线外一点到直线的距离最短分析即可．
【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点A到直线的所有连线中，垂线段最短，
∴理由是∶ 垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
8．垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．熟记“垂线段最短”是解题的关键．根据皮尺与起跳线要保持垂直即可得出答案．
【详解】解：测量跳远成绩需要测量出脚印到起跳线的垂直距离，也就是垂线段长度，数学原理为垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
9．3
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握从直线外一点作直线的垂线，这点到垂足间的垂线段长度叫点到直线的距离．
根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴点P到直线l的距离是3，
故答案为：3．
10．/
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离，即可解答．
【详解】解：∵，垂足为点D，
∴点到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴点到直线的距离可能是，
故选：．（答案不唯一）
12．
【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据垂直的定义以及点到直线的距离的定义，结合等面积法，即，求出的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴点到的距离为的长，即点到的距离为6
∵，
∴点B到直线的距离为的长；
∵
∴，
∴点B到直线的距离为；
故答案为：；．
13．
【分析】本题考查了对顶角相等，垂直的意义，解题关键是掌握上述知识，并能运用求解．
先利用垂直的意义，得出，再利用对顶角相等，求得的度数．
【详解】解：∵，
，
∵直线和相交于点，，
∴
．
14．见详解，线段最长，理由见解析
【分析】本题考查了垂线段最短，先根据题意作图，再结合，即垂线段最短，故，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；
∴，
∴（垂线段最短）
即线段最长．
15．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据网格线的特征作图即可；
（2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可．
【详解】（1）如图所示：①即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
线段的长度是点到直线的距离， 、这两条线段大小关系是，
故答案为：，．

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