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2025年山东省泰安市岱岳区九年级数学中考三模试题
一、单选题
1．手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ）

A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元
2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是( )
A．48 B．50 C．52 D．54
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中方程术是其最高的代数成就．书中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”．设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与正六边形的边分别交于点F，G，则弧对的圆周角的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是 ．（写出一个即可）
12．设，分别为方程的两个实数根，则 ．
13．如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，则的长度为 ．
14．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P、Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接CF，交于点G、若，则的值为 ．
15．阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21．
问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669
【问题解决】
(1)上述表格中，________，________；
(2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号）
(3)现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树 并给出你的理由．
18．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0， 3)，反比例函数(x>0)的图象经过点A，动直线x=t(0(1)求k的值；
(2)求△BMN面积的最大值；
(3)若MA⊥AB，求t的值.
20．电脑是现在工作中的必备工具，与电脑相关的一些衍生产品也应运而生．某公司生产了一种可以在床上使用的电脑桌，下面图①至图④是该公司对这种电脑桌的介绍，图⑤是这种电脑桌调到五挡时的侧面示意图，通过图片信息介绍，小明得到电脑桌面可以调节的角度范围为，桌面宽，调节至0挡时，桌面距床面，连接杆与桌面的连接处点D到桌面点A的距离为，当调节到五挡时连接杆与水平面的夹角为，那么连接杆的长度为多少？
（结果精确到．参考数据：，，，，，）
21．如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为6，，求的长．
22．如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：的值为定值；
(3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围．
23．在中，，，．
(1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ．
(2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长．
参考答案
1．C
解：（元），即表示支出3元，
故选：C．
2．C
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
3．B
，
故选：B．
4．D
解：（A），故错误；
（B），故错误；
（C），故错误；
（D） ，故D正确；
故选：．
5．D
解：由图可知：（同位角相等，两直线平行），由题意，得：，
∴，
∵，
∴；
故选D．
6．A
解：画出树状图，
共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为，
∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为，
故选：．
7．C
解：设连续两个偶数为、为整数，
，
A，，，不符合题意；
B，，，不符合题意；
C，，，，，，符合题意；
D，，，不符合题意．
故选：C．
8．B
解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，
设走路快的人要走步才能追上，根据题意可得，
∴根据题意可列出的方程是，
故选：B．
9．B
解：∵六边形是正六边形，
∴，即，
∴．
故选：B．
10．B
解：由图象可知，函数图象与x轴交于和两点，
∴图象关于直线对称，
故①正确；
由图象可知，关于x的不等式的解是且，
故②不正确；
将代入，得，
∴当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点，
∴当时，关于x的方程有四个实数解，当时，关于x的方程有两个实数解，当时，关于x的方程没有实数解，
故③不正确；
由图象可知，当时，函数的y值随x值的增大而减小； 当时，函数的y值随x值的增大而增大；当时，函数的y值随x值的增大而减小；当时，函数的y值随x值的增大而增大；
故④正确．
∴正确的有①④共2个．
故选：B．
11．（答案为不唯一）
解：有意义，
解得，
即的值可以是5（答案为不唯一）．
故答案为：（答案为不唯一）．
12．
解：依题得：，，
，分别为方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
13．/
解：∵四边形是矩形，，
∴，
由折叠得，点D与点A关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．/0.4
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图得：平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．32
解：根据题意可得，
解得，
．
故答案为：32．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)3.75，2.0
(2)②
(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析
（1）芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75；
荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0；
故答案为：3.75，2.0；
（2）合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍；
故答案为：②；
（3）这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0，
根据平均数这片树叶可能来自荔枝树．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：添加，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
19．（1）k=8；（2）△BMN面积最大值为；（3）.
（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：1＝，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
根据题意得：，
解得：k＝，b＝ 3，
∴直线AB的解析式为：y＝x 3，
设M（t，），则N（t，t 3），
∴MN＝ t＋3，
∴△BMN的面积S＝（ t＋3）·t＝ t2＋t＋4＝ （t 3）2＋，
∵ ＜0，
∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝ 2x＋c，
把点A（8，1）代入得：1＝ 2×8＋c，解得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝ 2x＋17，
联立，解得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t＝．
20．连接杆的长度约为
解：如图，过点D作于点H，则．
在中，，，．
在中，，，．
答：连接杆的长度约为．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，如图所示：

∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设与交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
过点作于点F，
∴，
由（1）得，
∴为等腰直角三角形，
故．
22．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：根据抛物线的对称轴为，
故；
故抛物线的解析式为，
把，分别代入解析式得，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）证明：设点，
过点P做轴，垂足为D
∵ P点在第四象限
根据题意，得，
∴，
即
又,
∴，
即
，是定值．
（3）解：，
则一次函数过定点，
设，如下图：
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：；
当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时，
，
则
当时，，
由图像可得，点的横坐标的取值范围为：．
23．(1)①；②
(2)成立，见详解
(3)
（1）解：①由旋转得：，，，
，，
；
故答案为：；
②如图 1，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：当锐角存在时，（1）中的两个结论仍成立，理由如下：
如图 2，由旋转得：，
由（1）同理得：，
，，
，
；
（3）解：
如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
，，
，
，
，
．

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