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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题三 函数
第13讲 构建一次函数和反比例函数模型解决实际问题
聚焦核心
1.利用一次函数和反比例函数解决实际问题，关键是将实际问题转
化为数学问题，根据题目中变量之间的关系建立一次函数和反比例函数
模型，充分运用一次函数和反比例函数的图象和性质解题.注意要根据
实际问题的意义确定自变量的取值范围.
2.建立一次函数和反比例函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，根据题意列出（求出）函数解析式（一般利用待定系
数法求函数解析式）；
（2）根据已知条件和实际问题的意义确定自变量的取值范围；
（3）结合函数的图象和性质解题；
（4）结合实际问题的意义，检验自变量取值范围的合理性.
第13讲 构建一次函数和反比例函数模型解决实际问题
案例分析
考点一 构建一次函数模型解决实际问题
名师指导
1.当题目中给出了实际问题中两个变量满足的图象是直线（线段、射线），或两个变量满足的关系式形如（，是常数）时，说明这两个变量满足一次函数关系，可运用一次函数的性质解决相应问题.注意，若图象是由多条线段组成，则需要分段求出相应的函数解析式.在解决相应实际问题时，要明确这个问题对应的是图象中的哪条直线（线段、射线）.
2.实际问题中一次函数的最大（小）值：对于一次函数
，当时，有最小值 ，最大值
;当时，有最大值，最小值 .
图1
例1 （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考）某无人机表演
团队进行无人机表演训练，甲无人机以 的速度
从地面起飞，乙无人机从距离地面 高的楼顶起
飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升， 时甲无人
机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原
速继续飞行上升.当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面
处时，进行时长为 的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地
面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 与无人机飞行的
时间 之间的函数关系如图1所示.请结合图象解答下列问题：
【点击查看解题微课】
（1）___，____ .
8
20
图1
提示：由题图可知甲无人机的速度 ，
.
图1
（2）求线段 所在直线对应的函数解析式.
解：因为甲无人机的速度为 ，甲无人机匀速从0到所用时间为 ，所以甲无人机单独表演所用时间为.
从而得点 的横坐标为.
所以.
设线段 所在直线对应的函数解析式为 ，将
，代入，得 解得
所以线段 所在直线对应的函数解析式为 .
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为 ？
（直接写出答案即可）
图1
提示：由图象可知，，易得线段
所在直线对应的函数解析式为，线段 所在
直线对应的函数解析式为，线段 所
在直线对应的函数解析式为 .设两架无人机表
演训练到时，它们距离地面的高度差为 .结合图象可知，当
时，，解得或 （舍去）.当
时，，解得或 （舍去）. 当
时，，解得.
图1
【答案】两架无人机表演训练到或或 时，它们距离地面的高度差为 .
图1
思路点拨（1）根据图象得到关于高度和时间的信息，
从而可求得和 的值.
（2）已知点的坐标和点 的纵坐标，则需结合题
意和图象分析，求出点 的横坐标，即可运用待定
系数法求出线段 所在直线对应的函数解析式.
（3）先求出各时间段甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度
关于无人机飞行的时间的函数解析式，再由高度差为 列方
程求解.注意，需根据时间段分类讨论.
考点专练
1.跨学科题（2025·山西朔州·模拟）如图2，在测量液体密度的实验中，
小明根据测得的液体和烧杯的总质量与液体的体积 ，绘制
了如图3所示的函数图象（图中为一条线段），则当 时，
_____ .
212
图2
图3
2.（2024·山东济南·中考节选）近年来，光伏建筑一体化广受关注.某社
区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建一个A种光伏车棚需投资3万元，
修建一个B种光伏车棚需投资2万元.修建A，B两种光伏车棚共20个，要
求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问
修建多少个A种光伏车棚时，投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
解：设修建A种光伏车棚个，则修建B种光伏车棚 个.
根据题意，得.
解得.
设修建A，B两种光伏车棚共投资 万元，则，即.由，得随 的增大而增大.
又，且为正整数，所以当时， 取得最小值，最小值为 .
答：修建14个A种光伏车棚时，投资总额最少，最少投资总额为54万元.
考点二 构建反比例函数模型解决实际问题
名师指导
1.在运用反比例函数解决实际问题时，要先确定问题中的哪两个变
量成反比例关系，根据题设中的描述建立反比例函数模型，再运用反比
例函数的性质解决实际问题，如求解特定值、最大值或最小值等.要注
意自变量的取值必须符合实际意义.
2.在实际问题中，当两个变量的乘积为一个定值时，这两个变量成
反比例关系，即可设出形如的解析式，再根据待定系数法求出 的
值.与物理学有关的反比例函数模型，通常有以下几种： ，
，，，， ，等等.
例2 跨学科题（2025·河南·模拟改编）小明在课余时间找了几副度数不
同的近视眼镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光
斑最小.此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表：
… 400 625 800 …
… 0.25 0.16 0.125 0.10 …
图4
为了进一步研究镜片度数 与镜片到光斑的
距离 之间的关系，小明借助计算机绘制了表示
变量间关系的图象（如图4）.
图4
（1）求与之间的函数解析式及 的值.
解：由题图得，镜片度数与镜片到光斑的距离 之间成反比例函数关系，设，将(0.25,400) 代入，得.
故.
将 代入，得 .
图4
（2）小亮的近视眼镜是500度，用小亮的眼镜做实
验，请写出镜片到光斑的距离，并进行解释说明.
（保留两位小数）
解：镜片到光斑的距离为 .
理由如下：当时，，解得 .
故镜片到光斑的距离为 .
图4
（3）根据图表中的信息，说明随着逐渐变大，
的变化趋势是什么.（直接写出结论）
解：根据图表中的信息，发现随着 逐渐变大， 的变化趋势是逐渐变小.
图4
（4）如果是一副平光镜（近视度数为0），那么会
不会有光斑存在？（直接写出结论，不需要解释）.
提示：由反比例函数的图象和性质可知，当 趋近
于无穷大时， 趋近于0，但不会等于0，所以当
时，光斑不会存在.
【答案】光斑不会存在.
思路点拨 由图象可知镜片度数与镜片到光斑的距离 之间成反比例函
数关系，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数
的性质解答问题.
图4
考点专练
3.跨学科题 【阅读与思考】
下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
在数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力
一定时，压强与受力面积 之间的函数关系的数学活动”.
图5
第一步，如图5，将一长方体 放置于一水平玻璃桌
面上，按不同的方式摆放，计算并记录受力面积
与桌面所受压强 .
第二步，数据整理，记录的数据如下：
图5
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以的数值为横坐标， 的数值为纵坐标建立平
面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑
的曲线顺次连接这些点.
图5
在数据分析过程中，我发现一组数据可能有错误，重新进行实验，
证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多
收获，每人都撰写了数学日记.
【任务】
图5
（1）你认为表中第____组数据是错误的；并直接
写出关于 的函数解析式：_______.
四
提示：设，将代入，得 .所以
.将第二、三、五、六组数据代入，均满足此
式子.故关于的函数解析式为 .
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
600 400 300 25 200 150
（2）在图6的平面直角坐标系中，画出此函数的图象.
图6
解：画出函数图象如图13.
图13
图5
（3）结合图象，如果要求压强不超过 ，那
么长方体的受力面积至少为____ .
0.6
图6
第13讲 构建一次函数和反比例函数模型解决实际问题
靶向锤炼
靶向练
1.（2024·河北·中考）节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买
电，若平均每天用电，则能使用 天.下列说法错误的
是( ).
C
A.若，则 B.若，则
C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍
图1
2.（2024·贵州·中考）五一国际劳动节期间，小星一
家驾车前往黄果树景点旅游，在行驶过程中，汽车
离黄果树景点的路程与所用时间 之间的函
数关系如图1所示，下列说法正确的是( ).
D
A.小星家离黄果树景点的路程为
B.小星从家出发内的平均速度为
C.小星从家出发离景点的路程为
D.小星从家到黄果树景点共用了
图2
3.（2024·湖北武汉·模拟）在一次体育课上进行跳绳测试，小明跳绳的平均成绩为每分钟100个，小强跳绳的平均成绩为每分钟150个，小明先跳150个，然后小强跳，图2是小明、小强跳绳的个数 关于小强的跳绳时间 的函数图象，这两个函数图象的交点 的纵坐标是_______.
提示：根据题意可得，小明跳绳的个数与 的函数解析式为，小强跳绳的个数与 的函数解析式为.解 得
450
4.（2024·山东青岛·中考）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能
力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单
价比航海模型的单价多35元，用2 000元购买航空模型的数量是用1 800
元购买航海模型数量的 .
（1）求航空和航海模型的单价.
解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为 元.
根据题意，得.解得.
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
则 .
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元.
（2）学校采购时恰逢该商场六一儿童节促销：购买航空模型打八折.已
知购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量
的 ，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
解：设购买航空模型个，购买航空和航海模型的总费用为 元，则购买航海模型 个.
根据题意，得.
由，可知 随 增大而增大.
因为，所以.
故当时， 有最小值，最小值为，则 .
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少.
攻坚练
5.（2025·河南漯河·模拟）综合与实践
【提出问题】
如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
图3
【知识背景】
图3是一架自制天平，支点 固
定不变，左侧托盘固定在点 处，
右侧托盘（点）可以在横梁 段
滑动（点不与点，重合）.已知， ，
左侧托盘中砝码的质量为 .根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量
右盘物体质量 （不计托盘与横梁质量）.
【分析问题】
图3
（1）设右侧托盘中放置物体的质量
为，的长为，求 关于
的函数解析式，并求出自变量的取
值范围.
解：因为左盘砝码的质量为，，所以 ，即.
因为，， 所以.
由点 可以在横梁段滑动，得，即 .
【解决问题】
图3
（2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无
法称量，称量时进行如下操作：左
侧托盘放置 的砝码，右侧托盘
（点）由点向点 滑动，向空瓶
中加入的水后，发现点移动到的长为 时天平平衡.求这个
空矿泉水瓶的质量.
解：设空矿泉水瓶的质量为 .
根据题意，得1 .
.
答：这个空矿泉水瓶的质量为 .
图3
拔尖练
6.（2025·江西赣州·模拟）图4为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升
，加热到时停止加热，水温开始下降，此时水温 与通
电时间成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热.
若水温在时接通电源，水温与通电时间 之间的关系如图5所示，
则下列说法中错误的是( ).
图4
图5
A.水温从加热到，需要
B.水温下降过程中，与的函数解析式是
C.上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于 的水
D.在一个加热与降温的周期内水温不低于的时间为
图4
图5
提示：水温从加热到，所需时间为 ，故选项
A说法正确.设水温下降过程中，与的函数解析式为，将
代入，得.解得.所以水温下降过程中，与 的函数解析
式是.故选项B说法正确.令，则.所以 .所以
从开机加热到水温降至需要，即一个循环为 .设加热
过程中水温与通电时间的函数解析式为 ，将
代入，得.解得.所以当 时，
.上午10点到10:30共，，所以当
时，，即此时的水温为 .故选项C说法正确.在
加热过程中，水温为时，，解得 .在水温下降
过程中，水温为时，，解得.因为 ，所以
一个加热与降温的周期内水温不低于的时间为 .故选项D说法
错误．
图4
图5
【答案】D
7.（2025·浙江衢州·中考改编）
视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“ ”形图都是正方形结构，
同一行的“ ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要
不同的视力表.
图6
【素材1】 国际通用的视力表以 为检测距离，任选视力表中7个视力值 ，测得对应行的“ ”形图的边长 ，在平面直角坐标系中描点如图6所示.
【探究1】
图6
（1）检测距离为时，归纳与 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“ ”形图的边长.
解：由图象中点的坐标规律可得与 成反比例关系，设，将 代入，得0.
解得.所以 .
将其余各点一一代入验证，都符合此关系式.
将代入，得 .
所以视力值1.2所对应行的“ ” 形图的边长为 .
图7
【素材2】 图7为视网膜成像示
意图，在检测视力时，眼睛能看清最
小“ ”形图所成的角叫作分辨视角.
视力值与分辨视角 （分）的对应关系近似满足 .
【探究2】
图7
（2）当 时，属于正常视力，
请根据函数的性质写出对应的分辨视
角 的取值范围.
解：由可知，在自变量 的取值范围内，随 的增大而减小.
所以当时，.又，所以 .

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