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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题八 统计与概率
第34讲 事件的概率
聚焦核心
1.事件的分类
必然
不可能
2.概率的意义
（1）定义：对于一个随机事件 ，把刻画其发生________大小的数值，
称为随机事件发生的概率，记为 .
可能性
（2）（必然事件） ___.
（不可能事件） ___.
（随机事件）满足______________________.
1
0
（随机事件）
3.求概率的方法
（1）利用概率的定义直接求概率：
如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，
事件包含其中的种结果，那么 ___.
（2）用列举法求概率：
列举法主要包含______法和__________法.
列表
画树状图
（3）用频率估计概率：通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频
率来估计该事件发生的概率.
第34讲 事件的概率
案例分析
考点一 事件类型及其发生的可能性大小
名师指导
在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事
件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件.因此正确
把握各类事件的意义，是区分它们的方法.
例1 （2024·湖北·中考）下列事件属于必然事件的是( ).
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是
提示：掷一次骰子，向上一面的点数可能是3，也可能不是3，所以选项
A是随机事件.篮球队员在罚球线上投篮一次，有可能投中，也有可能未
投中，所以选项B是随机事件.经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯、
黄灯、绿灯，所以选项C是随机事件.任意画一个三角形，其内角和是
，所以选项D是必然事件.
D
思路点拨 必然事件是一定会发生的事件，其发生的概率为1.
考点专练
1.（2025·张家界·中考模拟）小美同学和小好同学做“石头、剪刀、布”的
游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是( ).
A
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
2.（2025·贵州·中考模拟）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标
有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其他都相
同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进
行介绍，下列叙述正确的是( ).
C
A.摸出“北斗”小球的可能性最大 B.摸出“天眼”小球的可能性最大
C.摸出“高铁”小球的可能性最大 D.摸出三种小球的可能性相同
考点二 利用概率的意义求概率
名师指导
1.利用求事件发生的概率时，要注意正确计算所有可能
的结果数和事件包含的可能的结果数.
2.当某一事件发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时，
.
例2 （2024·湖南·中考）有4枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象
棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开
1枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是__.
思路点拨 每枚棋子被翻开的可能性相同，共有4种可能的结果，恰好翻
到棋子“ ”的结果有1种.
考点专练
3.（2024·江苏苏州·中考）如图1，正八边形转盘被分成8个面积相等的
三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部
分的概率是__.
图1
考点三 利用列举法求概率
名师指导
等可能事件的概率计算方法：
（1）当一个事件只涉及一个因素时，直接用概率公式计算；
（2）当一个事件涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，
通常用列表法或画树状图法列举出所有结果，再用概率公式计算；
（3）当一个事件涉及三个因素或三个以上因素时，通常用画树状
图法列举出所有结果，再用概率公式计算.
例3 跨学科题（2025·甘肃临夏·中考改编）物理变化和化学变化的区别在于是
否有新物质的生成.某学习小组在活动课上制作了如图2所示的4张卡片，
这4张卡片除图片内容不同外，没有其他区别.将它们放置于暗箱中摇匀.
图2
（1）小临从这4张卡片中随机抽取1张，抽中C卡片的概率是_ _.
思路点拨（1）只要求出所有可能的结果数和抽中C卡片的结果数，就可
以根据概率公式计算.
（2）小夏从4张卡片中随机抽取2张，用列表法或画树状图法求小夏抽
取的2张卡片内容均为化学变化的概率.
图2
解：4张卡片中内容是化学变化的是A，D，列表［或画树状图如图83］如右.
图83
思路点拨 （2）列举时，注意本题是“无放回抽取”.
第二张 第一张 A B C D
A
B
C
D
由表格（或树状图）可知，所有等可能的结果共有12种，其中小夏抽取的2张卡片内容均为化学变化的结果有， ，共2种，故小夏抽取的2张卡片内容均为化学变化的概率为 .
思路点拨（1）只要求出所有可能的结果数和抽中C卡片的结果数，就可
以根据概率公式计算. 思路点拨 （2）列举时，注意本题是“无放回抽取”.
图2
考点专练
图3
4.传统文化（2024·河南·中考）豫剧是国家
级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大
众喜爱.现有正面印有豫剧经典剧目人物的3
张卡片如图3所示，它们除正面不同外无其
A. B. C. D.
他区别.把这3张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回洗匀后，
再从中随机抽取1张，两次抽取的卡片正面相同的概率为 ( ).
提示：将这3张卡片分别记为A，B，C，列表如下.
第二次 第一次 A B C
A
B
C
图3
由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，故两次抽取的卡片正面相同的概率为 .
【答案】D
考点四 利用频率估计概率
名师指导
当试验的所有可能的结果不是有限个，或各种可能的结果发生的可
能性不相等时，常根据大量重复试验下，随机事件发生的频率逐渐稳定
于某个常数去估计这个事件发生的概率.
例4 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表.
100 150 200 500 800 1 000
65 111 345 560 700
0.65 0.74 0.68 0.69 0.70
（1）填空：_____， _____.
136
0.70
提示：，
思路点拨（1）根据频率公式“发芽的频率发芽的粒数 每批粒数”，即可求出， 的值.
（2）根据表格中的数据，估计这种油菜籽发芽的概率是____（结果精确到 ）.
0.7
提示：当重复试验次数足够多时，可用频率估计概率.由表中数据知，当试验的油菜籽粒数为1 000时，发芽的频率是 ，于是可以估计这种油菜籽发芽的概率是0.7.
思路点拨 （2）试验的油菜籽的粒数从100粒逐渐增加到1 000粒时，发芽的频率趋近于 ，所以可利用频率估计概率，得出结果.
100 150 200 500 800 1 000
65 111 345 560 700
0.65 0.74 0.68 0.69 0.70
（3）重新用1 000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，对比上
表记录的数据，结果会不同吗？为什么？
解：结果会不同.理由如下：表中计算的是发芽的频率，频率会随着试验而变化，但是当重复试验次数足够多时，频率会越来越稳定在某个常数附近，这个常数就是概率.所以如果重新用1 000粒同品种的油菜籽在相同条件下做发芽试验，对比所给表中记录的数据，结果会不同，但是频率依然会稳定在0.7附近．
思路点拨 （3）根据频率与概率的区别与联系,得出结论.
100 150 200 500 800 1 000
65 111 345 560 700
0.65 0.74 0.68 0.69 0.70
考点专练
图4
5.我国自古以来就有植树的传统，植树可以净
化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵
养水源、减轻大气污染具有重要意义.在清明时
节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树
苗的成活.相关部门的工作人员将一种树苗移植
C
A.0.80 B.0.85 C.0.90 D.0.95
成活的情况绘制成如图4的折线统计图，由此可估计这种树苗移植成活
的概率约为( ).
6.（2025·辽宁锦州·中考模拟）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑
球,这些球除颜色外无其他区别.经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率
稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约为____.
15
提示：由题意知，盒子中球的总数约为 （个）.故盒子中
红球的个数约为 .
考点五 概率的应用
名师指导
判断游戏或规则公平性的方法：根据比较双方获胜的概率进行判断，
若概率相等，则公平；否则不公平.
例5 （2024·甘肃·中考）在一个不透明的布袋中，装有质地、大小均相
同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，
规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为
奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
解：根据题意，画树状图如图84（或列表如下）.
图84
思路点拨（1）首先根据题意画出树状图或列表列举出所有等可能的结果，再求出两球上数字之和为奇数的概率，即可得到甲获胜的概率 .
乙 甲 1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由树状图（或表格）可知，所有等可能的结果有12种，其中甲获胜的结
果有8种，故甲获胜的概率为 .
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.
解：不公平.
由树状图（或表格）可知，乙获胜的结果有4种，故乙获胜的概率为.因为 ，所以甲获胜的概率大.
故这个游戏不公平.
思路点拨 （2）只要求出乙获胜的概率，然后与甲获胜的概率进行比较，就可判断这个游戏是否对两人公平.
考点专练
图5
7.（2025·内蒙古·中考模拟）如图5，A，B两个带指针的转
盘分别被分成3个面积相等的扇形，转盘A上的数分别
是，，5，转盘B上的数分别是6， ，4
（两个转盘除表面上的数不同外，无其他区别）.小聪
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是_ _.
和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：若指针恰好停留在
分界线上，则重新转一次）.
（2）同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数记为 ，转盘B指针所指的数记为，若，则小聪获胜；若 ，则小明获胜.请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平.
图5
解：列表如下.
转盘B 转盘A 6 4
-6 0 -13 -2
-1 5 -8 3
5 11 -2 9
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中 的结果有4种，的结果有4种，所以（小聪获胜），（小明获胜） .所以（小聪获胜） （小明获胜）.故这个游戏公平.
考点六 统计与概率的综合应用
名师指导
1.解决与统计相关的问题时，要借助统计表和统计图中提供的信息，
对数据进行综合分析.
2.解决与概率相关的问题时，要将随机事件涉及的统计量进一步分
析，采用列表法或画树状图法，得到所有等可能的结果数，再找出随机
事件包含的结果数，然后利用概率公式解决问题．
例6 （2024·山东东营·中考）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要
（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我
光荣”活动.为了解学生周末在家劳动的情况，学校随机调查了八年级部分
学生在家劳动的时间（单位：），并进行整理和分析（劳动时间 分成5
档：A.；B.；
C.；D..E. ），
调查的八年级男生、女生劳动时间的
不完整统计图如图6，图7所示.
图6
图7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了____名学生，补全条形统计图.
50
图6
图7
解：档中学生人数为，所以 档中女生人数为4 ，补图略.
思路点拨（1）结合两幅统计图的信息，获得D档的学生人数及其所占百分比，可求出本次调查的样本容量.由 档的学生人数所占的比例，可求出档的学生人数，进而可得 档中女生人数.
（2）调查的男生中，劳动时间在C档的数据是：2，，， ，
，， .调查的全部男生中，劳动时间的中位数为____.
图6
图7
思路点拨 （2）根据中位数的定义可得答案.
提示：由条形统计图知，调查的男生人数为 ，将
23名男生的劳动时间数据按照从小到大的顺序排列，排在第12的数据是
C档按从小到大的顺序排列后的第4个数，为 ，故调查的全部男生劳
动时间的中位数为2.5.
图6
图7
【答案】2.5
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从 档中选2名学生交流劳动经
验.请用列表法或画树状图的方法求所选2名学生恰好都是女生的概率.
图6
图7
思路点拨 （3）通过列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果，再求出“所选两名学生恰好都是女生”的结果数，即可利用概率公式求解.
解：由题意知，档中女生人数为，所以 档中有2名男
生，2名女生. 列表如下.
第二名 第一名 男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
由表格可知，所有等可能的结果有12种，其中所选两名学生恰好都是女
生的结果有2种，故所选两名学生恰好都是女生的概率为 .
考点专练
图8
8.（2025·四川雅安·中考模拟）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表和统计图（如图8）.
频数（人数） 频率
10 0.1
15
0.35
40
请根据图表信息解答下列问题：
图8
（1）求，， 的值.
解：因为调查的总人数为 ，所以
， ，
.
（2）补全频数分布直方图.
解： 的频数为35，补图略.
频数（人数） 频率
10 0.1
15
0.35
40
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分.若从这3名学生中随机
抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰
好为1男1女的概率．
图8
解：画树状图表示所有等可能出现的结果，如图85.
图85
由树状图可知，所有等可能的结果有6种，其中抽取的2名学生恰好为1
男1女的结果有4种，所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是 ．
第34讲 事件的概率
靶向锤炼
靶向练
1.跨学科题从数学的观点看，下列对于成语或诗句中的事件判断正确的
是( ).
A
A.成语“守株待兔”是随机事件
B.成语“水中捞月”是随机事件
C.诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
D.诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
图1
2.（2025·河北·中考模拟）有7张扑克牌如图1所示，将其打
乱顺序后，背面朝上放在桌面上.若从中随机抽取1张，
则抽到的花色可能性最大的是( ).
B
A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块）
3.（2024·辽宁·中考）1个不透明的袋子中装有4个白球，3个红球，2个
绿球，1个黑球，每个球除颜色外无其他区别.从中随机摸出1个球，则
下列事件发生的概率为 的是( ).
B
A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球
4.下面的4个转盘中，A，B转盘被8等分.若让转盘自由转动一次，停止
后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( ).
D
A. B. C. D.
图2
5.不透明的盒子里装有6个小球，分别标
记了数字1，2，3，4，5，6，这6个小球
除标记的数字不同外无其他差别.小华进
行某种重复摸球试验，从不透明的盒子
中随机摸出1个小球，记录小球上的数字
D
A.摸出标记数字为偶数的小球 B.摸出标记数字为5的小球
C.摸出标记数字比2大的小球 D.摸出标记数字能被3整除的小球
后放回袋中.图2是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸
球试验可能是( ).
6.数学文化（2024·湖北·中考）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、
秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国
乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中
1位的成就进行分享，则选到数学家赵爽的概率是__.
7.（2024·广西河池·模拟）为了估计池塘里有多少条鱼，小刚先从池塘
里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，带标记的鱼
完全混合于鱼群，又从池塘里捕捞200条鱼，发现其中10条鱼有标记，
那么估计池塘里有_______条鱼.
2000
8.（2025·四川攀枝花·模拟）如图3，在正方形 中，分别以4个顶点
为圆心，以边长的一半为半径画圆弧.若随机向正方形 内投一粒米
（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为__．
图3
9.（2024·山东泰安·中考）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，
全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游
记》《骆驼祥子》《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》
《骆驼祥子》《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名
相同的书的概率是__.
提示：将《西游记》《骆驼祥子》《水浒传》《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，列表如右.
小颖 小明 A B D
A
B
C
由表格可知，所有等可能的结果共有9种，其中小明和小颖恰好选
中书名相同的书的结果有2种，所以小明和小颖恰好选中书名相同的书
的概率为 .
小颖 小明 A B D
A
B
C
10.（2024·江苏盐城·中考）在某红色研学活动中，学校建议同学们利用
周末时间自主到以下三个基地开展研学活动：A.新四军纪念馆
（主馆区），B.新四军重建军部旧址（泰山庙），C.新四军重建军部纪
念塔（大铜马）.
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
（1）小明选择基地A的概率为_ _.
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率.
解：画树状图如图112.
图112
由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择相
同基地的可能性有3种，所以小明和小丽选择相同基地的概率为 .
攻坚练
图4
11.跨学科题学习电学知识后，小亮同学用4个开关A，
B，C，D，1个电源，1个灯泡和若干条导线设计了
一个电路图（如图4）.若任意闭合其中2个开关，则
小灯泡发光的概率为( ).
A. B. C. D.
提示：画树状图如图113.
图113
由树状图可知，所有等可能的结果共有12种，其中小灯泡发光的结
果有6种，即，，，，， ，所以小灯
泡发光的概率为 .
【答案】C
12.（2025·广西贺州·中考模拟）一枚质地均匀的骰子，6个面分别标有数字1，
2，3，4，5，6.连续抛掷骰子2次，将第1次正面朝上的数字作为十位上
的数，第2次正面朝上的数字作为个位上的数，则这个两位数能被3整除
的概率为__.
提示：根据题意，列表如下.
第2次第1次 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
由表格可知，所有等可能的结果有36种，其中所得的两位数能被3
整除的结果有12种，故所得的两位数能被3整除的概率是 .
x
13.（2025·广西贵港·模拟）甲、乙两名同学玩转盘游戏，游戏规则：将
圆盘平均分成3份，分别涂上红、黄、绿3种颜色，两名同学分别转动转
盘两次（若压线，则重新转）.若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；
若两次指针指到的颜色是黄绿组合，则乙获胜；其余情况则视为平局.
图5
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果.
解：画树状图如图114.
图114
由树状图可知，一共有（红，红）,（红，黄），（红，绿），
（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），
（绿，绿），9种情况.
图5
（2）试用概率说明游戏是否公平.
解：由（1）可知，两次指针指到颜色相同的结果共有3种，故（甲获胜） .
两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果共有2种，故（乙获胜）.因为 （甲获胜） （乙获胜），所以游戏不公平.
拔尖练
14.（2024·山东济宁·中考）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主
题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）.
该校从学生成绩都不低于80分的八年级1班和3班中，各随机抽取了20名
学生的成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表.
【收集数据】
八年级1班20名学生的成绩：
85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，
80，85，95，90，95，95，95，95，100，95.
八年级3班20名学生的成绩：
90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，
85，90，90，95，90，90，95，90，95，95.
【描述数据】
八年级1班20名学生的成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 3
图6
【分析数据】
图6
八年级1班和3班20名学生的成绩分析表
班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级1班 95 41.5
八年级3班 91 90 26.5
【应用数据】
图6
根据以上信息，回答下列问题.
（1）请补全条形统计图.
解：八年级3班20名学生中，90分的人数为7，95分的人数为6，补图略.
图6
（2）填空：____， _____.
91
92.5
提示：根据题意，得
.
将数据从小到大排列为80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，最中间的两个成绩为90和95，所以 .
图6
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明
理由.
解：我认为八年级1班成绩更好一些.
理由：平均数两个班相同，中位数和众数方面八年级1班优于八年级3班，综上所述，八年级1班成绩更好一些.（答案不唯一，合理即可）
图6
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2
名学生参加市级知识竞赛.请用列表法或画树
状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级
的概率.
第2次 第1次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
解：将八年级1班3名满分同学记作1，2，3，3班2名满分同学记作4，5，列表如下.
第2次 第1次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
由表格可知，所有等可能的结果有20种，其中所抽取的2名学生恰
好在同一个班级的情况有，，，，， ，
，，共8种，所以 （所抽取的2名学生恰好在同一个班级）
.

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