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2024—2025学年高一年级下学期期末考试
数学 · 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】由，
平方得，，
即，
又因为，即，
所以，所以夹角为钝角或平角，
所以“夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.
故选A.
2.【答案】C
【解析】因为，则，
所以的图象关于对称，且当时，单调递增，当时，单调递减；
又，故可看作由函数向右平移1个单位得到，
所以的图象也关于对称；
又由于函数与函数的图象有唯一公共点，即方程只有一根，
因为两函数图象都关于对称，所以方程的根为，即，解得.
故选C.
3.【答案】A
【解析】因为，所以，
即函数的值域为，所以，
因为的值域为，
所以的最小值为9，所以，解得，
所以.
故选A.
4.【答案】A
【解析】如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），根据题意可知，AE=CE，即.
容易求得,记为S=4，，记为，，记为.
所以所求概率.
故选A.
5.【答案】B
【解析】因为，所以，
又的图象如图所示，
因为关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，
则，解得，所以的最大整数值为.
故选B.
6.【答案】A
【解析】由有，所以，
，
所以
，
故选A.
7.【答案】B
【解析】由，可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以，所以.
故选B.
8.【答案】A
【解析】设复数在复平面上的对应点为，
则可表示为复平面上点到的距离，
可表示为复平面上点到的距离，
由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：
线段的中点为，直线的斜率，
则的轨迹方程为，整理可得，
由可表示为点到的距离，
.
故选A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】ABC
【解析】A，因为，，所以，
当时，，则，
所以，对；
B，由，则，故，
其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对；
C，因为，函数的零点从小到大依次记为，
若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标，
在上，则，则，
在上，如下图示，
根据与的交点情况，可得，对；
D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错.
故选ABC.
10.【答案】AC
【解析】在中，因为，且D为线段上的点，
对于A，由，且，
所以，故A正确；
对于B，由D为的中点，可得，
则，
所以，故B错误；
对于C，由为的平分线，可得且，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式相除，可得，故C正确；
对于D，在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由三角形的面积公式，可得，解得，
可得，所以，故D错误.
故选AC.
11.【答案】BCD
【解析】由题设，易知为正方体的中心，且其外接球半径为，内切球半径为，侧面正方形内切圆半径为，
由，则球的球面与该正方体的面有公共点，A错；
由，则球的球面与该正方体每条棱都相切，共12个切点，B对；
由，则球的球面与该正方体每条棱都都有两个交点，共24个，C对；
由，则各面截球所得圆的半径为，
所以该圆截各棱所得弦长为，该弦对应圆心角为，
所以该圆被一个侧面所截的弧长为，
故所有弧长之和为，D对.
故选BCD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】/
【解析】，
故由，得.
又，
又，
则
，
又，所以.
13.【答案】
【解析】由题设，则，可得.
14.【答案】 27
【解析】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，
则其表面积为 ；
该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，
是 的中心， 是球心，
则 ，则 ， ，
设外接球半径为 ，则 ，
又 ，解得 ,
两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，
则其表面积为 ，
大正四面体的体积为
则每个小正四面体的体积为 ，
则中间部分的体积为 ，
设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ，
故外接球和内切球体积之比为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）【答案】（1）； （2）
【解析】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为.
16.（15分）【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低
（2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损
【解析】（1）由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低；
（2）该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.
17.（15分）【答案】（1）； （2）（i）；（ii）.
【解析】（1）因为，
所以，
即，
则，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得（舍去）或，
所以的面积为；
（ii）由上可得，又，
所以，
所以，，
所以.
18.（17分）【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1），，且，
，，即，，
又，故.
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，，
，
又，则.
当时，取最大值为，当时，取最小值为，
的取值范围为；
（ⅱ），，
，
又，则，
化简得，，
，由小问（ⅰ）的结论可知，
，解得或，
综上所述，的取值范围为：.
19.（17分）【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）
【解析】（1）
连接，因， ，是棱的中点，则，
因，则，因，且平面，
则平面，因平面，故.
（2）由（1）已证，因平面，平面，则，
因平面，则平面，
因平面，故平面平面.
（3）由（2）已得平面，因平面，则，则，
过点作于点，由解得.
因平面，平面，则，
因平面，则平面，
于是四棱锥的体积为.
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2024—2025学年高一年级下学期期末考试
数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数m的值为（ ）
A. B. C.1 D.2
3.已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A.0 B.1 C.3 D.5
4.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数.若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.在中，，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.复数满足，则的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.在上单调递增
C.函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D.若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
10.在中，，，，D为线段上的点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若D为的中点，则
C.若为的平分线，则
D.若，则
11.在正方体中，，为中点，以为球心的球的半径为，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，球的球面与该正方体的面没有公共点
B.当时，球的球面与该正方体的棱有12个公共点
C.当时，球的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D.当时，该正方体的表面被球截得的所有弧长之和为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.若，则 .
13.已知为虚数单位，，若，则 .
14.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为 ；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知幂函数的定义域不为.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.
16.（15分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
17.（15分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）若.
（i）求的面积；
（ii）求.
18.（17分）已知复数，，.
（1）若，求角；
（2）复数，对应的向量分别是，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围.
19.（17分）如图，在直三棱柱中，是棱的中点，.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积.
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