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1.2《一定是直角三角形吗》小节复习题
【题型1 勾股树（数）的判定】
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）．
A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10
2.下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15
3.下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13
4.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15
【题型2 判断三边能否构成直角三角形】
1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．5，6，10 D．12，13，14
2.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3.在 ABC中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
4.在 ABC中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【题型3 在网格中判断直角三角形】
1.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． ABC是直角三角形 D．的面积是
2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．

3.如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为 ．
4.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则 ．
【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】
1.如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数．
2.如图，在 ABC中，是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
3.已知：如图，四边形中，，，，，，
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
4.如图，在四边形中，，，，且．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求四边形的面积．
【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】
1.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B=90°，千米，千米，千米．
(1)小溪流的长为________千米．
(2)求四边形的面积．
2.如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即∠ABD=90°）．
(1)请求出的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
3.校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，．
(1)求蔬菜区边的长；
(2)求花卉区的面积．
4.如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】
1.阅读下列内容：
设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．
2.在 ABC中，，设为最长边，当时， ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究 ABC的形状（按角分类）．
(1)当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为________三角形；当 ABC三边分别为6、8、11时， ABC为________三角形；
(2)猜想：当________时， ABC为锐角三角形；当________时， ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当 ABC为直角三角形时，则的取值为________；
当 ABC为锐角三角形时，则的取值范围________；
当 ABC为钝角三角形时，则的取值范围________．
3.定义：若a，b，c是 ABC的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， ABC中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积．
参考答案
【题型1 勾股树（数）的判定】
1.A
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股定理问题，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴3，4，5这组数是勾股数，符合题意；
B、∵，
∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴7，8，9这组数不是勾股数，不符合题意；
D、∵，
∴8，9，10这组数不是勾股数，不符合题意；
故选：A．
2.B
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意；
D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3.D
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A．∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵，∴5，12，13是勾股数，符合题意
故选D．
4.A
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴9，40，41是勾股数，故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
∴5，12，15不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5与2.5不是正整数，
∴1.5，2，2.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【题型2 判断三边能否构成直角三角形】
1.B
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
B、，故可以构成直角三角形，符合题意；
C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2.D
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．
3.D
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题．
【详解】解：A、，，
∴2∠C=180°，
，
此时， ABC是直角三角形；
B、由题意，设，，，
∵，
∴，
是直角三角形；
C、，
，
是直角三角形；
D．∵，，，
，
不是直角三角形．
故选：D．
4.C
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，，，
，
是直角三角形，且，
故A选项不符合题意；
B、，，，
，
，
故B选项不符合题意；
C、，，，
，
是直角三角形，且，
故C选项符合题意；
D、，，，
，
是直角三角形，且，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【题型3 在网格中判断直角三角形】
1.D
【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据勾股定理求出各边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形．
【详解】解：A选项：根据网格可知，故A选项正确；
B选项：根据网格可知，故B选项正确；
C选项：由网格可知，
，
是直角三角形，
故C选项正确；
D选项：．故D选择错误。
故选：D．
2.
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等边对等角
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：连接，

根据勾股定理可以得到：，，
∵，即，
∴ ABC是等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．
3.
【知识点】算术平方根的实际应用、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了格点中的直角三角形的构造和勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键．
建立格点三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答．
【详解】解：如图所示：
平移到，连接，
∴，
∴，
有图可知：，，，
，，
∴且，
∴为等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
4.
【知识点】勾股定理与网格问题、利用邻补角互补求角度、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】延长交格点于，连接，在网格中求出相关线段长度，再根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，由等腰直角三角形性质求出，由邻补角求解即可得到答案．
【详解】解：延长交格点于，连接，如图所示：
，，
则，
即是等腰直角三角形，且，
，
，
故答案为：.
【题型4 利用勾股定理的逆定理求解】
1.
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质
【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵， ，
∴ 为等边三角形，
∴，，
又∵， ，，
∴， ， ，
∴
∴为直角三角形，
∴ ，
∴．
2.（1）证明：，，，，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，，
．
3.（1）是直角三角形，
理由：在中，，，，
．
，，，
，，
，
是直角三角形，；
（2）解：；
，
，
四边形的面积为84．
4.（1）解：，
，
；
（2）解：，
又，
，
；
（3）解：．
【题型5 勾股定理逆定理的实际应用】
1.（1）解：如图，连接，
∵，千米，
∴（千米）；
（2）解：∵（千米），千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
2.（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
3.（1）解：∵，，，
∴

；
答：蔬菜区边的长为；
（2）∵，
∴，
∴花卉区的面积，
答：花卉区的面积为．
4.（1）解：是直角三角形，理由如下：
如图，在中，，，，
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）∵，，
∴，
费用（元）．
答：铺满这块空地共需花费元．
【题型6 勾股定理逆定理的拓展问题】
1.（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，
，
该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，
当是最长边时，
可得：，
解得：，
当是最长边时，
可得：，
解得：，
故答案为：或．
2.（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 ABC三边分别为6、8、9时， ABC为锐角三角形
当 ABC三边分别为6、8、11时， ABC为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时， ABC为锐角三角形；
当时， ABC为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当 ABC为锐角三角形时，，
；
当 ABC为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
3.（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：；
（2）由题意可知：
，
，，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长交于点，如图，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．

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