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2024-2025学年高二下学期6月单元过关考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中的系数为（ ）
A． B．80 C． D．40
3．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
4．函数的极大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ）
A．210种 B．630种 C．1260种 D．1890种
6．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
7．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线与圆无交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下面命题正确的是（ ）
A．若，，若，则事件与相互独立
B．若经验回归方程为，则样本中心点为
C．在回归分析中，决定系数 越大，拟合效果越好；线性相关系数越大，相关性越强
D．随机变量，当最大，则的取值为3
10．小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ）
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A．变量x与y的样本相关系数 B．
C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为
11．已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
12．某公司进行招聘，甲 乙 丙被录取的概率分别为，且他们是否被录取互不影响，若甲 乙 丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为 .
13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左落下的概率为，则小球最终落入④号球槽的概率为 （分数做答）

14．小明从地面开始爬台阶，一次跨一阶的概率是，一次跨两阶台阶的概率为，上台阶时，上一步与下一步互不影响，问小明能跨上第阶台阶的概率为
四、解答题
15．大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.
(1)若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差.
(2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率.
16．在的展开式中，求：
(1)求常数项及此项的二项式系数．
(2)求系数绝对值最大的项．
(3)求展开式中第奇数项的系数之和．
17．函数的最大值为，
(1)求的值．
(2)，P为上的动点，到P的最小距离，求的取值范围．
18．某贫困地区直播带货有统计数据显示，2024年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁~岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．
(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
(2)某投资公司在2025年年初准备将万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，对如下两方案：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．
请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
参考数据：独立性检验临界值表
其中，．
19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明
附：参考数据：，，（其中，）．
山东省枣庄市滕州市第一中学2024-2025学年高二下学期6月单元过关考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B B C B D AD BCD
题号 11
答案 AC
1．B
【详解】，
解得，
故选：B．
2．A
【详解】展开式的通项公式为，
令时，时，，
令时，无整数解，
故的展开式中的系数为.
故选：A
3．C
【详解】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为
，故D错误.
故选：C.
4．B
【详解】由可得，
由可得：或，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以时，取得极大值为，
故选：B.
5．B
【详解】将7个小球按分成3组，有种分法，
再将每种分法的3组小球放到3个不同盒子里有种方法，
所以不同的放法种数是.
故选：B
6．C
【详解】设答对题的个数为，由已知可得，
所以，，
因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以当时，取最大值，最大值为.
故选：C.
7．B
【详解】由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是或者，
三次点数之和为的有：（无序），
其中再排序有种；再排序有种；
三次点数之和为的有：（无序）
将它们再排序共有种；
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有样本点个数为，
又抛掷一次骰子共有种可能，则抛掷三次骰子共有种，
则利用古典概型的概率公式可得，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率是.
故选：B．
8．D
【详解】圆的标准方程为，将曲线和圆同时向左平移个单位后，
题设条件转化为曲线与圆无交点，
即方程无解，则，
若，则显然方程无解；
若，即时，有，
则在上无解，
令，
则，
令得；令得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，当时，，
则，即，则实数的取值范围为.
故选：D.
9．AD
【详解】对于A，因为，又，所以，
所以事件与相互独立，故A正确；
对于B，因为经验回归方程为，又，
所以样本中心点不为，故B错误；
对于C，在回归分析中，决定系数 越大，拟合效果越好；线性相关系数越大，相关性越强，故C错误；
对于D，因为随机变量，所以，
若最大，则，
因为,所以当时。，当时，，
所以时，最大，故D正确.
故选：AD.
10．BCD
【详解】由表格中的数据可计算平均数：，
，
又因为成等差数列，所以，则，
根据经验回归方程为必过点，
则，解得,故B正确；
由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关，
则样本相关系数，故A错误；
当时，，所以残差为，故C正确；
当时，，所以y的预测值为，故D正确；
故选：BCD．
11．AC
【详解】由题设，则，A对；
由及正态分布的对称性，有，可得，B错；
由，结合对称性，则，
所以，C对；
当，有，D错.
故选：AC
12．
【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件，
则，
所以
，
，
.
故答案为：.
13．
【详解】设小球最终落入④号球槽为事件A，
小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率分别为和，
并且相互独立，最终落入④号球槽需两次向左，三次向右，
所以小球最终落入④号球槽的概率为：．
故答案为：.
14．
【详解】记跨上第个台阶的概率为，
跨上第个台阶有两种情况：
情形一：跨上第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶，
情形二：跨上第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶，
故，则，
所以，
又，
所以，
所以，所以，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
故答案为
15．(1)分布列见详解；；
(2)
【详解】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有：
，
所以的分布列为
1 2 3
的期望为，
的方差为.
（2）有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为，
记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，
则，，
可得，
所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为.
16．(1)常数项为，其二项式系数为
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，展开式的通项为，
令，可得，
所以展开式中的常数项为，其二项式系数为．
（2）设第项的系数绝对值最大， 则，
即，解得，
因为，所以，故系数绝对值最大的项为．
（3）因为，
所以展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和，
设，
令，得，
两式相加得，，
所以展开式中第奇数项的系数之和为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）法一：，
当时，恒成立，所以函数无最值，舍去，
当时，令，
当单调递减；当单调递增，
故的最大值为．
（2），
因为此函数是上凸的，当P点的法线过A时AP最小．
如图
设，则有，即，
，
所以，，
因为单调递增，所以.
18．(1)有
(2)答案见解析
【详解】（1）由图1知，“年轻人”占比为，
即有（人），“非年轻人”有（人）
由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为，
即有（人），“不常使用直播销售用户” 有（人）．
“经常使用直播销售用户的年轻人”有中有（人），
“经常使用直播销售用户的非年轻人”有（人）
列联表如下：
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
零假设网络直播销售与年龄无关，
于是．
，
所以我们有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）若按方案一，设获利万元，则可取的值为行，的分布列为：
（万元），
若按方案二，设获利万元，则可取的值为，的分布列为：
（万元），
，
由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一．
由于方案二的期望大于方案一的期望，选方案二．
19．(1)分布列见解析；期望为
(2)，
(3)证明见解析
【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3，所以；
；；
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望为．
（2）令，则，
由题知：，
，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为．
（3）由题知，在前轮就成功的概率为
，
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故．

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