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2024－2025学年度下学期学业质量监测
八年级数学试题卷
说明：1．本试题卷满分120分，考试时长为120分钟。
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知一组数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
4．设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象与轴的交点为
B．它的图象经过第二、三、四象限
C．当时，
D．它的图像可看作的图象向上平移3个单位长度得到的
6．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
8．如图，某公园的一块直角三角形空地米，点是的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为______米．
9．为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛，演讲得分按“演讲内容”占40%，“语言表达”占40%，“形象风度”占10%．“整体效果”占10%进行计算，小颖这四项的得分依次为90，85，92，88，则她的最后得分是______分．
10．第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，则大正方形的面积为______．
11．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
12．如图，正方形边长为4，为边中点，为射线上一点（不与重合），若为直角三角形，则______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）； （2）．
14．如图，在中，．求证：为直角三角形．
15．如图，已知：如图，在平行四边形中，延长至点，延长至点，使得，连接，与对角线交于点．求证：．
16．如图，点是矩形的边的中点，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图（1）中，作出边的中点；
（2）在图（2）中，以点为顶点，作一个菱形．
17．如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，则菱形的面积为______．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线经过三点，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求直线的函数表达式及的值；
（2）若在轴上有一点，使，求的面积．
19．课本再现
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理； 对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小乐同学画出了图形（如图①），并导出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线和相等．
求证：是矩形；
知识应用：
（2）如图②，的对角线交于点，点在上，且．求证：四边形是矩形；
20．阅读下列解题过程：；
；
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算______；
（2）请直接写出的结果．（）
（3）利用上面的解法，请化简：
．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．某校八年级（1）班在引体向上体育测试中，甲，乙两名男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9．
体委于洋将二人的测试成绩绘制成如下统计表：
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获胜），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，请你分别说明两位老师这样选择的理由；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的中位数______．（填“变大”、“变小”或“不变”）
22．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图像如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是______，乙的速度是______；
（2）对比图①、图②可知：______，______；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
六、解答题（本大题共12分）
23．综合与实践
问题提出
如图1，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形．
探究展示
某学习小组的解题思路如图3：
反思交流
（1）上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______．
依据2：______．
（2）若四边形满足“”的条件，试判断四边形的形状，并说明理由．
（3）要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是：______．
拓展思考
（4）如图2，和都是等腰直角三角形，，点分别是的中点，连接．请用等式表示与的数量关系，并证明．
2024－2025学年度下学期学业质量监测
八年级数学参考答案
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D B D C
二．填空题（共6小题）
7．， 8．5． 9．88． 10．34． 11．．
12．或或．
三．解答题（共12小题）
13．解：（1）原式；
（2）原式．
14．解：，
，又，
，为直角三角形．
15．证明：平行四边形，，
，，
，，，
在和中，，
，．
16．解：（1）如图（1）中：点即为所求；
（2）如图（2）中：菱形为所求．（答案不唯一）
17．（1）证明：四边形是平行四边形，，
点在的延长线上，且，
，四边形是平行四边形，
交于点，，
，四边形是菱形．
（2）菱形的面积为30．
18．解：（1）设该直线的函数表达式为（、为常数，且）．
将坐标和分别代入，得，
解得，该直线的函数表达式为，
将坐标代入，得，解得．
（2）当时，得，解得，；
当时，得，，．
设点，则，，或，或．
或12，，，
当时，；当时，，
的面积是16或48．
19．（1）证明：四边形为平行四边形，，
在与中，，
，，
，，平行四边形为矩形；
（2）证明：四边形为平行四边形，．
，，即，
四边形为平行四边形，，四边形为矩形；
20．解：（1）原式；
（2）归纳总结得：；
（3）原式．
21．解：（1）甲的成绩中，8出现的次数最多，因此甲的众数是8，即，
．即，
将乙的成绩从小到大排列为，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即，故答案为：．
（2）甲的方差较小，比较稳定，乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多，
（3）六次成绩排序为，中位数是8.5，比原来变小，故答案为：变小．
22．解：（1）由图可得，甲的速度为：，
乙的速度为：，故答案为：25，10；
（2）由图可得，，，
故答案为：10；1.5；
（3）由题意可得，前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为7.5km，
，解得，，
，得；即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km．
23．解：（1）依据1：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形，
理由：、、、分别是、、、的中点，
，
，四边形是平行四边形
、分别是、的中点，
，，，是菱形；
（3）要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是，
，，
，，同理可得：，
，，
是矩形，故答案为：；
（4），
理由：连接，取的中点，连接，
和都是等腰直角三角形，
，
，，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，．

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