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2025年黑龙江省大庆市中考数学提分试卷（红卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前天内下载量达到万次，数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.我国汉代数学家赵爽在他所著勾股圆方图注中，运用弦图如图所示巧妙地证明了勾股定理“赵爽弦图”曾作为年第届国际数学家大会的会徽图案下列关于“赵爽弦图“说法正确的是( )
A. 是轴对称图形
B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
4.斗拱是中国古典建筑上的重要部件，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为( )
A. B. C. D.
5.一个不透明袋子中装有个白球，个红球，个绿球，个黑球，每个球除颜色外都相同从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是( )
A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球
6.下列说法正确的个数有( )
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
任何有理数的绝对值都大于；
两个角的两边分别平行，则这两个角相等；
任何实数的零次幂都为．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.如图为甲、乙两个表演团参加表演的位女演员身高的折线统计图，则甲、乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是( )
A. B. C. D. 无法确定
8.一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为与的函数图象如图所示，则菱形的边长为( )
A. B. C. D.
10.定义：若一个函数当自变量满足时，函数有最大值为，则称该函数为“差函数”下列说法正确的有( )
当时，是“差函数”，则的值为；
当，时，是“差函数”；
当时，反比例函数是“差函数”，则的值为；
若二次函数是“差函数”，且最大值为，则的值为．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一个数的立方等于，则这个数的算术平方根等于______．
12.一个不等式组的解集如图所示，该不等式组所有整数解的和为______．
13.如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点若，，则 ______．
14.用半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，若这个圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为______．
15.若一元二次方程的两根为，，则的值为______．
16.如图，点在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积是______．
17.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，图中有个菱形，图中有个菱形，图中有个菱形继续排列下去，第幅图中有______个菱形．
18.如图，在中，，，，点在上，交于点，连接，则周长的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
22.本小题分
如图，斜坡的坡度：，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，求大树的高．
23.本小题分
某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩成绩为百分制，用表示，并将其分成如下四组：，，，．
下面给出了部分信息：
的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上信息解决下列问题：
请补全频数分布直方图；
所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分；
请估计全校名学生的模型设计成绩不低于分的人数；
根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按：的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩单位：分如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩
乙的成绩
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
24.本小题分
在中，，分别是，边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的面积．
25.本小题分
某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价元
日销售量件
求与的关系式；
若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润；
由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的倍，在日销售量件与销售单价元保持中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于元，求销售单价的取值范围．
26.本小题分
如图，直线与双曲线交于点将直线向上平移个单位长度，与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点，连接，，．
求，的值；
若．
求的值；
求的面积．
27.本小题分
如图，等腰三角形，，点在上，且，为的外接圆，过点作交于点，的延长线交于点，交于点，连接，．
求证：为的切线；
求证：；
若，，求的长．
28.本小题分
如图，已知抛物线经过点，对称轴为，顶点为，与轴的交点为，连接．
求抛物线的解析式；
连接，点在轴下方的抛物线对称轴上，且，求点的坐标；
将抛物线沿直线平移，平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与原抛物线的交点为，请直接写出当时，点的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是无理数，故此选项符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、，是有理数，故此选项不符合题意；
D、是有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选B．
3.【答案】
【解析】该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：左视图是从物体左面看所得到的图形．
从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：一个不透明袋子中装有个白球，个红球，个绿球，个黑球，共有个球，
从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为，
摸出红球的概率为，
摸出绿球的概率为，
摸出黑球的概率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
的说法正确；
的绝对值等于，
的说法错误；
两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，
的说法错误；
任何一个不为的实数的零次幂都为，
的说法错误；
综上可知，说法正确的有个，
故选：．
7.【答案】
【解析】观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图，发现甲的波动小于乙的波动，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
的取值范围是，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可知，，，
四边形为菱形，，
，
过点作于点，连接交于，如图，
则，
，
设菱形的边长为，
，
点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，
，
解得负值舍去，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：函数中，，随的增大而增大，
当时，最小值为，最大值为，
则，解得，故正确；
，，
当时，函数最小值为，最大值为，
则，
是“差函数”；故正确；
当时，反比例函数是“差函数”，
，
当时函数有最大值为，则，解得，
当时函数有最大值为，则，
整理得，，无解，
的值为；故正确；
二次函数是“差函数”，且最大值为，
，
即，
．
，
，
即，
此时，
对称轴为直线，
当，即时，
则当时，取最大值，
，
不合题意，舍去，
当，
即时，
若，
即时，则当时，取最大值，，
解得，
，
，
，
即时，则当时，取最大值，，
不合题意，舍去，
综上，的值为故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
这个数是，
则的算术平方根等于；
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：由数轴可得，
图中表示的不等式组的解集是，
该不等式组的所有整数解是，，，，
该不等式组所有整数解的和为，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
是的中位线，
，
，
，
，，
∽，
：：，
：：，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，设，，则，
，
在中，，，
，
圆锥的体积为，即，
，
，
半圆面积为，
即圆锥的侧面积为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
原式．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：连接，如图，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形和四边形都为矩形，
，
四边形为正方形，
，，，
，
由、和弧所围成的图形的面积由、和弧所围成的图形的面积，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：由所给图形可知，
第幅图中菱形的个数为：，
第幅图中菱形的个数为：，
第幅图中菱形的个数为：，
第幅图中菱形的个数为：，
，
所以第幅图中菱形的个数为个为大于等于的整数．
当时，
个，
即第幅图中菱形的个数为个．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：延长到，使得，连接，过作，交延长线于，交延长线于，作关于的对称图形，在上取对称点，连接，如图：
，，，
，
，，
为等腰三角形，
，
，
为的中位线，
，，，
在上移动，
和关于对称，
，
，
当，，，共线，且时，最小，
由对称的性质可知，，
，，
，
又，，
，
验证点是否存在：
过作于，如图：
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
点存在，
，
的周长最小值为：．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：原式
．
20.【答案】．
【解析】解：原式
，
原式
．
21.【答案】解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：弧形椅的单价为元，条形椅的单价为元．
22.【答案】大树的高度为米．
【解析】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
米，
米，
答：大树的高度为米．
23.【解析】解：，而有人，
有，
补全图形如下：
，
而的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
个成绩按照从小到大排列后，排在第个，第个数据分别是：，；
中位数为：，
故答案为：；
全校名学生的模型设计成绩不低于分的人数为：
人；
甲的成绩为：分；
乙的成绩为：分；
甲的综合成绩比乙高．
24.【解析】证明：，分别是，边的中点，
是的中位线，
，，
即，
又，
四边形为平行四边形；
解：由可知：，四边形为平行四边形，
，，，
，设，
，
点是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，不合题意，舍去，
，
的面积为：．
25.解：设函数的表达式为，
由题意可得：，
解得，
故与的关系式为；
设公司销售该商品获得的最大日利润为元，
则，
，，，
，
，
故抛物线开口向下，
故当时，随的增大而增大，
当元时，的最大值为元；
当时，，
解得，，
，
答：销售单价的取值范围为．
26.【解析】将代入双曲线得，解得，
将代入直线得：，解得．
由可知平移后直线解析式为，则，
．
，
点在反比例函数的图象上，
，
解得已舍去负值，
如图，作轴，轴，垂足分别为、，
由可得，，
点、都在反比例函数图象上，
，
．
27.证明：，
，
，
，
，
，
．
为圆的直径，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
为的切线；
证明：设与交于点，如图，
由知：，
，
，，，
，
，
由知：，，
，
，
．
，
．
，
∽，
，
，
，
；
解：过点作于点，如图，
由知：，
，
为圆的直径，
，
，
设，则，
，
，，
，，
设，则，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
28.【解析】对称轴为，
，
解得，
，
将点代入，
，
解得，
；
的对称轴为直线，
，
当时，，
，
过点作交于点，
，，
在中，，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点关于轴的对称点，
，
过点作轴交于点，过作交于点，
，，
，
，
，
点坐标为；
设向右平移个单位长度，则向上平移个单位长度，
，
平移后的函数解析式为，
当时，解得，
，
过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得或舍，
点横坐标为；
设向左平移个单位长度，则向下平移个单位长度，
，
平移后的函数解析式为，
当时，解得，
，
同理可求或舍，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或．
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