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复习讲义
第二篇 专题突破
专题五 函数与几何
函数与几何综合题主要有两类：一类是以几何图形为背景，根据
其中的几何元素（线段、周长、面积等）的数量关系建立函数模型；
另一类是以函数为背景，用函数的图象与性质来探究几何图形中几何
元素之间的关系.
类型一 以几何知识为背景的函数问题
从题目形式看，以几何知识为背景的函数问题一般是先给定几何
图形，再结合几何图形的性质，得到相应几何元素之间的数量关系，
由此建立函数模型，结合函数的性质探究几何图形.在运用函数的性质
解决几何图形中的问题时，要结合图形确定自变量的取值范围.这类题
目考查的方向一般有：求几何元素之间满足的函数解析式或函数图
象，求几何图形中点的坐标；用函数的性质描述几何元素之间的关
系，根据函数图象求线段长，等等.
典题精析
图1
例1 （2025·六安·中考模拟）如图1， 是边长为4的等边三
角形，点，，分别在边，， 上运动，且满足
.
（1）求证： .
证明：是等边三角形，， .
又， ，即.
在和 中，，，， .
思路点拨（1）由等边三角形的性质，可得 ，又已知，则只需证明，即可用“ ” 证明 .
（2）设的长为，的面积为，求关于 的函数解析式.
图1
思路点拨 （2）求关于的函数解析式就是用含 的代数式表示的面积.直接求 的面积难度较大，可以考虑运用面积的和差法计算， .注意，要结合图形特征写出自变量 的取值范围.
图1
图113
解：如图113，分别过点，作， ，垂足分别为， .
在等边三角形中， ，
， ，
．
的长为， ，
.
.
同理可证
的面积为，∴ .
图113
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随 的增大如何变化.
图1
解：由（2）知，.
，这个函数图象的对称轴为直线， 当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大.
即当0时，的面积随 的增大而减小；当2时，的面积随 的增大而增大．
思维点拨：(3)由(2)可得y关于x 的函数所析式，根据此函数的性质描述△DEF的面积随AD的增大的变化情况即可.
针对训练
1.（2024·甘肃临夏·中考）如图2，在矩形中， 为其对角线，一
动点从点出发，沿着的路径行进，过点作 ，垂
足为.设点的运动路程为，为，与 的函数图象如图3，
则 的长为( ).
图2
图3
A. B. C. D.
提示：由图象可知，当时， .设
，则，.在 中，由勾股定理，
得.解得.所以 .
图2
图3
【答案】B
2.（2025·安徽·中考模拟）如图4，在中， ， ，
，是边上的高.点，分别在边， 上（不与端点重
合），且.设，四边形的面积为，则关于 的函
数图象为( ).
图4
A. B. C. D.
图4
提示：过点D作于点.在 中，
由勾股定理，得 .从而得
.在 中，由勾股定理，
得 .由此可得
.所以 .因此
，
.因为
，
，所以
.由此可得， .
故 .所以
.
又，所以随的增大而减小，且与 的
函数图象为线段（不含端点）.
【答案】A
图4
3.（2024·天津·中考）如图5，将一个平行四边形纸片 放置在平面
直角坐标系中，已知点，点，点， 在第一象限，且
， .
图5
图5
（1）填空：如图5，点 的坐标为 _______，点
的坐标为_______.
提示：过点作于点.在
中， ，
. 四边形
是平行四边形， ， 点到 轴的距离为
，点到轴的距离为，即点的坐标为 .
图6
（2）如图6，若为轴的正半轴上一动点，过点
作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点
的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为 .
设 .
①如图6，直线与边相交于点 ，当折叠后四边
形与重叠部分为五边形时， 与
相交于点.试用含有的式子表示线段 的长，
并直接写出 的取值范围.
解：由折叠的性质，得 ，
，
四边形 为平行四边形， ，
， .
是等边三角形.
， .
当点与点重合时，与的交点 与点重合，.
当点与点重合时，与的交点 与点重合，. 的取值范围为 .
图6
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）.
图6
图114
提示：如图114，直线与边相交于点 ，连接，过点作于点 ，此时 ， ，即. ，当时，随着的增大而增大. .
图115
如图115，直线与边相交于点.当 时.
， 随着的增大而增大. 当 时， . 如图116，当时，直线与边 相交于点，与相交于点，过点作 轴.
图116
图116
由①可知是等边三角形，∴ . . . ， 当时， 有最大值，最大值为.
又， 当 时， .
图117
如图117，当时，直线与边 相交与点
.
【答案】的取值范围为 .
， 随着的增大而减小.
当时， .综上所述，
.
类型二 以函数知识为背景的几何问题
从题目的形式看，以函数知识为背景的几何问题一般是先给定函
数图象或函数解析式，然后根据已知函数图象中几何图形的位置特
征，用函数解析式表示点的坐标（或线段的长），结合函数、几何图
象的性质运用数形结合方法解决有关函数与几何的问题.这类题目考查
的方向一般有：求函数的解析式、点的坐标；求图象上的点满足什么
条件时，几何图形是等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、
菱形、正方形等；已知两个三角形全等或相似，求点的坐标；探索线
段、面积等的最值问题；已知周长或面积之间满足一定关系时，求点
的坐标；等等.
典题精析
图7
例2 （2025·广西梧州·模拟）如图7，二次函数
的图象交轴于点， ，交
轴于点，点是直线 上方的二次函数图
象上的一个动点，过点作轴，垂足为点 ，
交于点 .
图7
（1）求这个二次函数的解析式和点 的坐标.
解：将，代入 ，得解得
.
令，即，解得 ，
点的坐标为 .
思路点拨（1）将， 代入可求得，的值，令 可求得点 的坐标.
（2）连接，交轴于点 .
图7
①当时，求点 的坐标.
思路点拨 （2）①观察图象，可发现 ，，且 ，由此可得相似三角形，从而得到相关线段的比例式.设点 的横坐标为，点在抛物线上，点是直线与线段 的交点，则可根据抛物线和直线对应的函数解析式，用含 的代数式表示出这两点的纵坐标，再表示出相关线段的长，根据列出关于 的方程，求解即可.
图7
解：由点在抛物线上，可设点 的坐标为，
，
，即 .
.
设直线 对应的函数解析式为.
将，代入，得解得
直线对应的函数解析式为
.
当 时，，解得， （舍去）.
则， 点的坐标为 .
图7
②连接，四边形有可能是正方形吗 如果有可能，那么此时
的正切值是多少 如果没有可能，那么请说明理由.
解：四边形有可能是正方形.
同①设点 的坐标为，则
思维点拨：②先设法证明四边形 是平行四边形，由 ，可得四边形 是矩形.则当时，矩形是正方形.由此建立关于 的方程，可求出四边形是正方形时 的值. 再求出，的长即可得 的正切值.
图7
图7
， 四边形是平行四边形.
， 四边形是矩形.
当时，矩形是正方形.
则 ，解得.
，.∵ ， .
.
针对训练
图8
4.（2025·武汉·中考模拟）如图8，过 的图象
上的点，分别作轴、轴的平行线交 的图象于
点，.以，为邻边的矩形 被坐标轴分割成
四个小矩形，面积分别记为，，， .若
，则 的值为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
图8
提示：设.在中，令，得 ;
令，得.所以， .所
以.所以，， .因为
，所以.解得 .经检
验， 是分式方程的解，且符合题意.
【答案】C
5.（2024·新疆·中考）如图9，抛物线与轴交于点 ，
与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点 下方），
且．当的值最小时，点 的坐标为______．
图9
图118
提示：如图118，作点关于抛物线对称轴的对称点 ，
点向下平移3个单位长度，得到点，连接 ，交
对称轴于点，此时 的值最小，
.在中，令 ，则
.从而得.令，则 ，解
得，.从而得.抛物线 的对称轴为直
线，由此可得，.设直线 对应的函数解析式为
，将，代入，得
解得所以直线 对应的函数解析式为
.当时，，所以点 的坐标为
．
【答案】
图118
6.（2024·黑龙江牡丹江·中考）如图10，在平面直角坐标系中，直线
与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点在 轴
的正半轴上，四边形是平行四边形，线段 的长是一元二次方程
的一个根.请解答下列问题.
图10
备用图
（1）求点 的坐标.
图10
解：解方程，得，
，即点 的坐标为.
把代入，得
.令 ，得
点的坐标为 .
（2）如图10，线段的垂直平分线交直线于点，交轴于点 ，交于点，点在第一象限，，连接，求 的值.
图10
图119
解：如图119，过点作于点
，，
，.
∴
图119
∵ 四边形是平行四边形， ，
，
是的垂直平分线， ，，即.
在和 中，，，，
， .
.
.
又，
∴
.
图119
（3）在（2）的条件下，点在直线上，在轴上是否存在点 ，使以
，，为顶点的三角形是直角边比为 的直角三角形？若存在，则直
接写出的个数和其中两个点 的坐标；若不存在，则说明理由.
图10
备用图
提示：如图120，当 时，符合题意的 有4个，
.如图121，当 时，符合题意的 有4个，
，，，.如图122，当 时，
符合题意的有4个，，，，
图120
图121
图122
【答案】存在，符合题意的的个数为12，点的坐标为 或
或或或 （写出两个即可）.
专题练习五 函数与几何
类型一 以几何知识为背景的函数问题
图1
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考）如图1，
在等腰直角三角形 中，
， ，动点， 同
时从点出发，分别沿射线和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点 也随之停止运动，连接，以为边向下画正方形. 设点 运动的路程为，正方形和等腰直角三角形 重合部分的面积为.下列图象能反映与 之间函数关系的是( ).
B.
C D.
图1
图1
提示：当正方形与等腰直角三角形 的重合部分全部在 内部时，重合部分的面积即为正方形的面积，此时正
【答案】A
方形的边长随着 的增大而增大，对应的函数解析式为
，这一部分是开口向上的抛物线，只有选项A，B符合. 当重合部分是正方形 的一部分时，重合部分是一个矩形，且随着 的增大，这个矩形的长在增大，宽在减小，对应的函数解析式为 ，这一部分是开口向下的抛物线，故选项A符合.
2.（2024·重庆·中考）如图2，在中，，，为 上
一点，，过点作交于点.点，的距离为 ，
的周长与的周长之比为 .
图2
（1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并写出自变量 的取值范围.
提示： ， ，. ，. ， 为上一点， .
图2
答案：，.
（2）在图3的平面直角坐标系中，画出函数， 的图象，并分别写出
函数， 的一条性质.
图3
解：函数，的图象如图138所示.
的图象性质：当时，随 的增大而增大.
的图象性质：当时，随 的增大而减小.
图138
（3）结合函数图象，请直接写出时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）.
图3
解：当时，的取值范围为 .
3.（2025·广西河池·模拟）如图4，已知是边长为 的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿， 匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点 时，，两点都停止运动.设运动时间为 ，解答下列问题：
图4
（1）设的面积为，求与 的函数解析式.
解：如图139，过点作于点.
由题意，得，.
是等边三角形， ， .
，
，即 .
图139
（2）作交于点，连接，当为何值时， .
图4
解： ， ， .
是等边三角形.
.
，
.
图4
又 ， 四边形是平行四边形.
.
又 ， 四边形是矩形.
.
当时， ，又
， .
解得.
当 时， .
类型二 以函数知识为将背景的几何问题
图5
4.如图5，已知直线与轴、 轴分别交于
，两点，是以 为圆心，1为半径的圆上
一动点，连接，.则 面积的最大值是
( ).
A. B.
C.10.5 D.11.5
图140
提示：将代入，得 .故点B
的坐标为.令，则 ，解得
.故点A的坐标为.由此可得， ，
.在 中，由勾股定理，得
.如图140，过点C作 于点，连接 .
由三角形面积公式，得 ，即
.解得.上的点到直线 的最大
距离是.故面积的最大值是 .
【答案】C
5.（2024·江苏苏州·中考）如图6，中， ，， ，，反比例函数 的图象与交于点，与交于点 .
图6
（1）求， 的值.
解： ，，
，
， ，.
设直线 对应的函数解析式为，将， 代入，得
图6
解得
∴直线 对应的函数解析式为.
将点代入，得. 解得
.
将代入，得.解得 .
图6
（2）为反比例函数 图象上
一动点（点在点，之间运动，不与， 两点
重合），过点作，交轴于点，过点
作轴，交于点，连接，求
面积的最大值，并求出此时点 的坐标.
解：如图141，延长交轴于点，交于点 .
， ， .
轴， ， .
， .
图141
，即
.
设点的坐标为，， ，则，，
.
当 时，有最大值，为，此时点的坐标为， .
图141
6.（2025·广西贵港·模拟）在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于点和点（点在点 的左侧），
与轴交于点.若线段，，的长满足 ，则这样的
抛物线称为“黄金”抛物线.如图7，抛物线 为“黄
金”抛物线，其与轴的交点分别为点，点（其中点在点 的右侧），
与轴交于点，且 .
图7
备用图
（1）求抛物线 对应的函数解析式.
解：将代入，得
为“黄金”抛物线， .
又 ，
，
点在点 的右侧， ，.
将，代入 ，得
解得
该抛物线对应的函数解析式为 .
图7
（2）为上方抛物线上的动点，过点作 ，垂足为 .
图7
①求 的最大值.
图142
解：如图142，过点作轴于点，交 于点，则 ，
.
由（1）知，，∴ .
.
，即.
要使最大，只要 最大即可.
设直线对应的函数解析式为 ，将
，代入，得 解得
直线对应的函数解析式为 .
设，，则，，
为上方抛物线上的动点，∴
当时，有最大值，为
∴ 的最大值为 .
图142
②连接，当与相似时，求点 的坐标.
图143
解：当时，， 轴.
点与点的纵坐标相等，为2.将 代入，得 .
解得， 点的坐标为 .
当时， .
如图143，过点作轴于点，交于点
轴，
， .
在和 中， ， ，，
.
设点的坐标为，，则 ， .
，即
， .
则.
点的坐标为， .
综上所述，点的坐标为或， .
图143

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