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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题六 圆
第26讲 与圆有关的位置关系
聚焦核心
1.点与圆的位置关系
设圆的半径为，点到圆心的距离为 ，则点和圆的位置关系如下：
点在圆外___
点在圆上___
点在圆内___
点与圆的位置关系
2.直线与圆的位置关系
设圆的半径为，圆心到直线的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下：
直线和圆相交___
直线和圆相切___
直线和圆相离___
直线与圆的位置关系
3.圆的切线
圆的 切线 定义 直线和圆仅有____个公共点（即直线和圆______）
时，这条直线叫作圆的切线，这个唯一的公共点叫作
______
性质 圆的切线垂直于过切点的______
判定 经过半径的______并且______于这条半径的直线是圆
的切线
一
相切
切点
半径
外端
垂直
切线 长 定义 从圆外一点作圆的切线，这点和______之间的线段的
长
定理 从圆外一点可以作出____条圆的切线，它们的切线长
______，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角
切点
两
相等
平分
续表
4.三角形的外接圆和内切圆
种类 外接圆 内切圆
图形 ___________________________________ _____________________________________________
圆心名 称 外心：三角形外接圆的圆心， 即三角形三边____________的 交点 内心：三角形的内切圆的圆
心，即三角形三条__________
的交点
垂直平分线
角平分线
种类 外接圆 内切圆
性质 三角形的外心到三角形三个顶 点的距离相等 三角形的内心到三角形三边的
距离相等
角度关 系
2
续表
第26讲 与圆有关的位置关系
案例分析
考点一 点与圆、直线与圆的位置关系
名师指导
判断点与圆、直线与圆的位置关系，关键是求出点与圆心、直线与
圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，即可得出结论.
图1
例1 一题多问 如图1，在 中，
，，，为 的中点.
（1）以点为圆心，5为半径作，则点与 的位置关系是______
________.
点在上
图1
提示：在中， ，为 的中点，所以
.又因为的半径为5，所以点在 上.
思路点拨（1）只需求出的长，比较 的长与半径5的大小，即可得出结论.
（2）以点为圆心，为半径作，使点在内，点在 外，
则 的取值范围是___________.
图1
提示：因为点在内，点在外，所以 ，即
.
思路点拨 （2）根据点与圆的位置关系求半径的取值范围.由点在内，点 在外，得 .
思路点拨 （3）只需求出点到的距离，比较与半径 的大小，即可得解.
（3）以点为圆心，为半径作 .
图1
提示：如图40，过点作于点.在中， ，所以 .因为，所以 .
图40
①当时，直线与 的位置关系是______.
相交
【解析】因为，，所以.所以直线与 相交.
②当____时，直线与 相切.
【解析】当时，直线与 相切.
考点专练
1.若直线与半径为的有公共点，且点到直线的距离为6，则 的
取值范围是______.
2.（2025·广东广州·中考模拟）如图2，中，弦的长为，点 在
上，， .所在的平面内有一点 ，若
，则点与 的位置关系是( ).
图2
A.点在上 B.点在内 C.点在 外 D.无法确定
图2
提示：设与交于点D，因为弦的长为 ，
，所以 .因为
，所以 .所以
.所以.设 ，则
，在中， ，即
【答案】C
，解得（负值已舍去）.所以 .因
为，所以.所以点在 外.
考点二 切线的性质
名师指导
当题目中有直线与圆相切的条件时，通常连接圆心和切点或过圆心
作切线的垂线，得到垂直，进而借助垂径定理、勾股定理、全等三角形、
相似三角形等知识，综合解决有关线段或角的问题.
图3
例2 （2024·甘肃临夏·中考）如图3，直线与
相切于点，为的直径，过点作 于
点，延长交直线于点 .
（1）求证：平分 .
思路点拨（1）欲证平分 ，则需证 .由已知条件无法直接得出这两角相等，则考虑作辅助线.已知为的切线， , 且已知切点，则连接 ，得到垂直.由垂直关系可得到平行关系，再结合平行线的性质、“等边对等角”即可得证.
图3
证明：连接
直线与相切于点， .
又 ，∴
，
平分 .
（2）已知，，求 的半径.
图3
解：设的半径为，则.
在中， ，，， .
解得
的半径为4.
思路点拨 （2）已知，，要求（半径）长，由切线的性质可知 是直角三角形，则根据勾股定理列出关于半径的方程，求解即可.
考点专练
图4
3.（2025·福建·中考模拟）如图4，已知点，在 上，
，直线与相切，切点为，且 为
的中点，则 的度数为( ).
A
A. B. C. D.
4.一题多问 如图5，与相切于点 .
图5
（1）若 ，则____ .
（2）若的半径为6，，则 ____.
（3）若 ，，则 _____.
65
10
考点三 切线的判定
名师指导 判定圆的切线的两种思路：
（1）若已知直线与圆的交点，则作出过该点的半径，证明直线与
该半径垂直，即“作半径，证垂直”；
（2）若不能确定直线与圆的交点，则过圆心作直线的垂线段，证
明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”.
图6
例3 （2025·榆林·中考模拟）如图6，平分， 与相切于点，延长交于点，过点 作，垂足为 .
（1）求证：是 的切线.
证明: 与相切于点， ．
又 平分 ，，
是的半径.
是 的切线.
思路点拨（1）要证明是 的切线，只要证明由点向所作的垂线段是 的半径即可.由切线的性质知，是 的半径，因此需要证明 .
（2）已知的半径为4，，求 的长.
图6
解：（方法一） 的半径为4，
，， ,
∵ ，
，即.
解得 ．
思路点拨 （2）由已知条件可求的长和 的长.所以求 的长有两个思路：思路一，利用 ，列比例式求解；思路二，在 中利用勾股定理，列方程求解.
图6
（方法二）设
，为的切线， .
同方法一知，,.在 中，由勾股定理，得，即.
解得 .
考点专练
5.如图7，点在上，点在外.下列条件不能判定是 的切
线的为( ).
D
图7
A. ，
B.
C.
D.与的交点是 的中点
图8
6.（2024·齐齐哈尔·模拟）如图8，已知经过 上
的点，.连接，分别交于点， ，
并且.延长交于点，连接 并延长交
于点 .
（1）求证：是 的切线.
证明：连接， ，， .
又 是 的半径， 是 的切线.
（2）已知，，求 的长.
图8
解：设， ，， ， .
在R中， ，即.
解得
，
，，
，.
∴ ，.
∴ ，.
∴ .
图8
考点四 切线长定理
名师指导 切线长定理中的“钻石”图形：
如图9，，为 的切线，此图形是切线长定理的基本图形.
此图形含有如下元素：
（1）两个等腰三角形和 ；
（2）一条特殊的角平分线平分和 ；
（3）三对互相垂直的线段 .
图9
图10
例4 （2024·四川泸州·中考）如图10，，是 的
切线，切点为，，点，在 上.若
，则 的度数为( ).
A. B. C. D.
思路点拨
提示：连接.因为四边形是 的内接四边形，
所以 .因为
，所以 .因为 ，
是的切线，所以 .所以
.所以
.
答案：C
图10
考点专练
7.（2025·山东泰安·中考模拟）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、
光盘和三角尺按图11所示放置于桌面上，并量出 ，则这张光
盘的半径约是____.（结果精确到，参考数据： ）
图11
图41
提示：如图41，设光盘的圆心为 .由题意知，
，分别切于点，，连接， ，
.因为，分别为的切线，所以 为
的平分线，， .又
，所以
. 在 中，
， ，所以
.故这张光盘的半径约是
．
答案：6.9
考点五 三角形的内切圆与外接圆
名师指导 三角形内切圆的半径、外接圆的半径 的计算公式：
任意三角形的 内切圆 _________________________________________
直角三角形的 内切圆
直角三角形的 外接圆 _________________________________
等边三角形的 内切圆与外接 圆 ________________________________________
续表
图12
例5 传统文化（2025·湖南娄底·中考模拟）如图12，等边三
角形 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三
角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形
的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与
的面积之比是( ).
A. B. C. D.
图12
思路点拨 可设的边长为，则 的内切圆
半径为，的高为，用含 的代数式表示
圆中黑色部分的面积和 的面积，再求出它们的
比值.
图12
提示：设的边长为，则的高为 .所以
的面积为 .因为圆内切于等边
三角形，所以圆的半径为 .所以圆中黑色部分
的面积为 .故圆中黑色部分的面积
与的面积之比是 .
【答案】A
考点专练
图13
8.（2025·山东聊城·中考改编）如图13，点是 外接圆
的圆心，点是的内心，连接， .若
，则 的度数为( ).
A. B. C. D.
图42
提示：如图42，连接.因为点是 的内心，所以平分．又因为 ，所以
．因为点是 外接圆的圆心，所以 ．因为 ，所以 ．
【答案】C
图14
9.教材变式［人教版九上第103页第14题变式］如
图14，为的内切圆，切点分别为 ，
，，且 ，， ，则
____.
图14
提示：（方法一）在 中，
.由为 的内切圆，
得，，.设 ，
则， .因为
，所以.解得.故 .
（方法二）同方法一得. 连接，.由为 的内切
圆，可证得四边形是正方形.则，即 的长为圆的半径长.
由直角三角形内切圆半径公式，得 .所以
.
10
第26讲 与圆有关的位置关系
靶向锤炼
靶向练
1.已知的半径为4， .下列四个图形中，正确的可能是( ).
B
A. B. C. D.
2.若的半径为，直线到圆心的距离为，则直线 与
的位置关系是( ).
C
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
图1
3.（2024·山西·中考）如图1，已知，以 为直径
的交于点，与相切于点，连接 .若
，则 的度数为( ).
D
A. B. C. D.
图2
4.如图2，为外一点，为的切线， 为切点，
交于点， ，，则线段 的长
为( ).
A
A.3 B. C.6 D.9
图3
5.如图3，，分别切于点，，切
于点，且分别交，于点，.若 ，则
的周长为( ).
C
A.5 B.7 C.12 D.10
提示：因为，分别切于点A，B， 切
于点，所以， ，
.故的周长为 .
图4
6.如图4，是的直径，交于点，
于点，要使是 的切线，还需补充一个条件，则
补充的条件不可能是( ).
A
A. B. C. D.
图5
7.以为中心点的量角器与直角三角尺 按如图5所示方式摆放，直角顶点 在零刻度线所在直线上，且量角器与三角尺只有一个公共点 ，若点处量角器的读数为 ，则 的度数是_________.
提示：连接.由题意知， ， 是量角器所在半圆的切线，所以 .因为 ，所以 .故 .
图6
8.教材变式·一题多问［湘教版九下第74页例6变式］
如图6，已知 .
（1）求作：作的内切圆 .（保留作图痕迹，
无需写出作图过程）
【答案】如图55， 即为所求作.
图55
图6
（2）若 ，则_____ .
125
（3）若 ，则_________.（用含 的
代数式表示）
（4）若的内切圆的半径为， 的周长为
，则____.（用含， 的代数式表示）
图7
9.（2024·湖北武汉·中考节选）如图7， 为
等腰三角形，是底边的中点，腰 与半圆
相切于点，底边与半圆交于， 两点.
求证：与半圆 相切.
证明：如图56，连接，，过点 作于点
为等腰三角形， 是底边的中点， 平分.
因为与 相切于点， .
又，
是的半径.
与 的相切.
图56
攻坚练
图8
10.（2025·广西玉林·中考模拟）如图8，在网格中，各
小正方形的边长均为1，点，，，，， 均
在格点上，点是 的外心.在不添加其他字母
的情况下，除外,把你认为外心也是点 的三
角形都写出来：_______________________.
，，
图9
11.（2024·内蒙古包头·中考）如图9，四边形 是
的内接四边形，点在四边形内部，过点
作的切线交的延长线于点，连接， .若
， ，则 的度数为
______.
图9
提示：连接.由为的切线，得 ，即
.由此可得，
. 因为 ，所以
.因为 ，
，所以 ，从而得
.故 .
图10
12.（2024·四川眉山·中考）如图10，是 的直
径，点在上，点在 的延长线上，
，平分交于点 ，连接
.
（1）求证：是 的切线.
证明：如图57，连接
是的直径， .
.
，
，
.
∴ .
是的半径， 是 的切线.
图57
图10
（2）当，时，求 的长.
解： ，，∴
.
. .
如图57，连接， 平分，
.
是的直径， .
.
图57
拔尖练
图11
13.（2024·四川巴中·中考）如图11， 内接于
，为的中点，连接，，平分 交
于点，过点作交的延长线于点 .
（1）求证：是 的切线.
证明：如图58，连接
为的中点，
， .
又是的半径， 是 的切线.
（2）求证： .
图11
证明： 为的中点， .
平分，
，，
.
图58
（3）当，时，求 的长.
图11
解：如图59，连接
，， ，
，
，
四边形为的内接四边形， .
，
，即. .
图59

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