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2024-2025学年北京二中教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）在 ABCD中，∠A＝3∠B，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
3．（2分）如图，在数轴上找出表示3的点A，即OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的实数是（　　）
A．4 B． C． D．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3）．根据图象可知0＜kx+b＜3的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞1 C．x＜0或x＞1 D．0＜x＜1
5．（2分）如图，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
6．（2分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示：
成绩/米 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
人数 2 5 3 1
其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（　　）
A．众数和中位数 B．中位数和方差
C．众数和方差 D．众数和平均数
7．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力F（N）一定的情况下，物体对地面的压强P（Pa）与受力面积S（m2）；
②冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（℃）与冷冻时（t）（min）；
③在弹性限度内，弹簧原长度为6cm，弹簧挂重物后的长度y（cm）与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
8．（2分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作EF∥AD，MN∥AB，点E，F，M，N分别是边AB，CD，AD，BC上的点．连接BP，DP．设AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d．下面四个结论中正确的个数是（　　）
①当AE＝AM时，四边形AEPM是正方形；
②四边形BEPN与四边形DMPF的面积始终相等；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ．
10．（2分）已知点A（2，y1）和点（3，y2）在直线y＝﹣x+b上，则y1　 　 y2．（填＞、＜、＝）
11．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　 　 ．
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 192 195 195 193
方差 3.2 4.7 6.5 6.0
12．（2分）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：1：2：2：3的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝10，点Q是AB中点，点P为BC上任意一点，E、F分别是PQ、PD的中点，则EF的长是 　 　 ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，以AO为边作菱形OABC，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为　 　 ．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，点P是CD中点，点Q从点A开始，沿着A→B→C→P的路线匀速运动，设△APQ的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系xOy中，折线OEFG表示y与x之间的函数关系，当△APQ的面积是3时，x的值为　 　 ．
16．（2分）如图，已知AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，直线l是过点A的一条动直线（不与直线AB，AC重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E．在直线l运动的过程中，DE的最大值为　 　 ．
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）已知，如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
求作：矩形AOBE．
作法：①作AB的垂直平分线交AB于点F；
②连接OF并延长，在OF的延长线上截取点E，使EF＝OF；
③连接AE，BE．
四边形AOBE为所求作的矩形．
（1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明：
证明：∵AB的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝BF．
∵BF＝OF，
∴四边形AOBE是平行四边形．（ 　 　 ）（填推理依据）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，（ 　 　 ）（填推理依据）
∴∠AOB＝90°，
∴ AOBE是矩形．（ 　 　 ）（填推理依据）
20．（5分）如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中AB＝15m，AC＝20m，BC＝25m，小明想以B为起点挖一条水渠BD，点D在AC边上．水渠能将土地△ABC分成面积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠BD的准确长度．
21．（5分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM＝DN．
22．（5分）共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品种共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）A品牌的共享电动车每分钟收费 　 　 元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费 　 　 元．
（2）已知王老师家与学校的距离为4.5km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO，BE＝4，求CE的长．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中．一次函数y＝kx+b的图象平行于，且经过点A（4，1）．
（1）求一次函数解析式；
（2）点P为x轴上一点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，△ABP的面积是2，求点P坐标；
（3）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝m（x+1）（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
25．（6分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两数聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据．对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100）．
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85.85，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众败
甲 86 85 a
乙 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．m＝　 　 ．
（2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分，220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数是多少？
（3）如果让你选择一款AI聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由．
26．（6分）请同学们探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象，通过列表、描点、画图，观察图象，并利用函数性质解决问题．
（1）画出函数y＝2|x+1|﹣3的图象．
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1 ﹣1 1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
（2）利用函数y＝2|x+1|﹣3的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质　 　 ；
②当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是　 　 ；
③若点M（x1，y1）与N（x2，y2）是函数y＝2|x+1|﹣3图象上的两个点，若对于﹣3≤x1≤0，a≤x2≤a+1，都有y1＜y2，则a的取值范围是　 　 ．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点（不与BC重合），过点C作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接BF，作DG⊥FC交FC的延长线于点G．
（1）补全图形并用等式表示线段AF，CF，AD的数量关系并证明：
（2）用等式表示线段BF与CG的数量关系并证明．
2024-2025学年北京二中教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D C A B B
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下：
A、，因16＝42，可化简为4，不是最简二次根式；
B、，因27＝9×3＝32×3，不是最简二次根式；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D、，被开方数10＝2×5，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件；
故选：D．
2．（2分）在 ABCD中，∠A＝3∠B，则∠D的度数为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【解答】解：在平行四边形 ABCD中，∠A与∠B为邻角，故∠A+∠B＝180°；
设∠B＝x，则∠A＝3x，代入得方程：3x+x＝180°，
解得：x＝45°，
因此，∠B＝45°，∠A＝3×45°＝135°；
根据平行四边形对角相等，∠D＝∠B＝45°；
综上，∠D的度数为45°；
故选：A．
3．（2分）如图，在数轴上找出表示3的点A，即OA＝3，过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的实数是（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得，OB，
∵以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C，
∴OC＝OB，
∴点C表示的实数是，
故选：B．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3）．根据图象可知0＜kx+b＜3的解集为（　　）
A．x＜0 B．x＞1 C．x＜0或x＞1 D．0＜x＜1
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），
∴0＜kx+b＜3的解集0＜x＜1．
故选：D．
5．（2分）如图，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
【解答】解：∵四边形ABCD的边长为5，AC＝6，
∴，OA⊥OB，AB＝BC＝5；
∴；
∵，
∴，
故选：C．
6．（2分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如下表所示：
成绩/米 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
人数 2 5 3 1
其中两个数据被污染了，根据这些数据，一定能确定这15名运动员成绩的（　　）
A．众数和中位数 B．中位数和方差
C．众数和方差 D．众数和平均数
【解答】解：根据题意可知：
被污染的数有4个，则众数是1.85，它出现了5次；
2+4＜2+4+5，则中位数是第8个数据，中位数也是1.85，
根据以上数据，一定能确定这15名运动员成绩的众数与中位数；
故选：A．
7．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：
①在压力F（N）一定的情况下，物体对地面的压强P（Pa）与受力面积S（m2）；
②冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（℃）与冷冻时（t）（min）；
③在弹性限度内，弹簧原长度为6cm，弹簧挂重物后的长度y（cm）与弹簧受到的拉力x（N）．
其中，两个变量之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【解答】解：①压强P与受力面积S的关系为（F为定值），不符合一次函数的形式，不符合题意；
②温度T与时间t的关系为T＝﹣2t（每分钟下降2℃），此式为T＝﹣2t+0，符合一次函数y＝kx+b的形式（b＝0），符合题意；
③弹簧长度y与拉力x的关系为y＝kx+6（k为弹性系数），符合一次函数的形式，符合题意；
综上，符合一次函数的是②③，
故选：B．
8．（2分）如图，在矩形ABCD中，点P是对角线AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作EF∥AD，MN∥AB，点E，F，M，N分别是边AB，CD，AD，BC上的点．连接BP，DP．设AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d．下面四个结论中正确的个数是（　　）
①当AE＝AM时，四边形AEPM是正方形；
②四边形BEPN与四边形DMPF的面积始终相等；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝a，BE＝b，AM＝c，DM＝d，
∴∠BAD＝90°，S△ABC＝S△ADC，BC＝AD＝AM+DM＝c+d，CD＝AB＝AE+BE＝a+b；
∵EF∥AD，MN∥AB，
∴四边形AEPM是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEPM是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PM＝AE＝a，PE＝AM＝c；
同理得四边形BEPN，四边形MPFD，四边形PNCF均是矩形；
∵AE＝AM，
∴四边形AEPM是正方形（一组邻边相等的菱形是正方形）；
故①正确；
∵S△AEP＝S△AMP，S△PNC＝S△PFC，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AEP﹣S△PNC＝S△ADC﹣S△AMP﹣S△PFC，
即四边形BEPN与四边形DMPF的面积相等；
故②正确；
∵PE＝AM＝c，
∴；
在△BPE中，BE+PE＞PB，
即；
故③错误；
连接BD，
∵，；
在△PBD中，PB+PD≥BD，当点P位于对角线BD上时，等号成立；
∴；
故④不正确；
综上，正确的有2个；
故选：B．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）函数y中，自变量x的取值范围是 　x　 ．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，
解得：x，
故答案为：x．
10．（2分）已知点A（2，y1）和点（3，y2）在直线y＝﹣x+b上，则y1　＞　 y2．（填＞、＜、＝）
【解答】解：由条件可知y随x增大而减小，
∵点A（2，y1）和点（3，y2）在直线y＝﹣x+b上，且2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
11．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择　乙　 ．
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 192 195 195 193
方差 3.2 4.7 6.5 6.0
【解答】解：根据题意可知：从平均数角度看应该从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，应该选择乙参赛，
故答案为：乙．
12．（2分）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：1：2：2：3的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　8.1　 ．
【解答】解：根据加权平均数的计算方法可得：
，
故答案为：8.1．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝10，点Q是AB中点，点P为BC上任意一点，E、F分别是PQ、PD的中点，则EF的长是 　　 ．
【解答】解：连接DQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵Q是AB的中点，AB＝10，AD＝12，
∴，
∴，
∵E、F分别是PQ、PD的中点，
∴EF为△PDQ的中位线，
∴，
故答案为：．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，以AO为边作菱形OABC，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为　　 ．
【解答】解：∵以AO为边作菱形OABC，若点C在x轴上，点B在第二象限，
∴只有一种情况，如图所示：
延长BA交y轴于点E，
∴BE⊥y轴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，
∴AO＝AB＝2，
∴BE＝3，
∵点B在第二象限，
∴，
故答案为：．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，点P是CD中点，点Q从点A开始，沿着A→B→C→P的路线匀速运动，设△APQ的面积是y，点Q经过的路线长度为x，在平面直角坐标系xOy中，折线OEFG表示y与x之间的函数关系，当△APQ的面积是3时，x的值为　2或7　 ．
【解答】解：由函数图象可得，AB＝4，S△ABP＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴BC＝3；
由条件可知；
当点Q在AB上，且y的值为3时，则，解得x＝2；
当点Q在BC上，且y的值为3时，则，解得x＝7；
当点Q在CD上，且y的值为3时，则，解得x＝7；
综上所述，x的值为2或7，
故答案为：2或7．
16．（2分）如图，已知AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，直线l是过点A的一条动直线（不与直线AB，AC重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E．在直线l运动的过程中，DE的最大值为　　 ．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵过点B，C作直线的垂线，垂足为D，E，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∴∠CAE＝∠B，
∵AB＝AC＝3，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，如图，
当直线l在∠BAC 内部时，D1E1＝AD1﹣AE1，
当直线l在∠BAC外部时，D2E2＝AD2+AE2，
∴DE 的值最大时，直线l在∠BAC 外部，
设AD2＝CE2＝x，BD2＝AE2＝y，
∴D2E2＝AD2+AE2＝x+y，
∵AB＝AC＝3，
∴x2+y2＝32＝9，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2﹣2xy≥0，即2xy≤9，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝9+2xy≤18，
∵BD+AD＞AB，
∴，
∴DE的最大值为，
故答案为：．
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式
．
18．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝3
＝6
＝5．
19．（5分）已知，如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
求作：矩形AOBE．
作法：①作AB的垂直平分线交AB于点F；
②连接OF并延长，在OF的延长线上截取点E，使EF＝OF；
③连接AE，BE．
四边形AOBE为所求作的矩形．
（1）按要求利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明：
证明：∵AB的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝BF．
∵BF＝OF，
∴四边形AOBE是平行四边形．（ 　对角线互相平分的四边形为平行四边形　 ）（填推理依据）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，（ 　菱形的对角线互相垂直平分　 ）（填推理依据）
∴∠AOB＝90°，
∴ AOBE是矩形．（ 　有一个内角为90°的平行四边形为矩形　 ）（填推理依据）
【解答】（1）解：如图，四边形AOBE为所；
（2）证明：∵AB的垂直平分线交AB于点F，
∴AF＝BF．
∵BF＝OF，
∴四边形AOBE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直平分），
∴∠AOB＝90°，
∴ AOBE是矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形为平行四边形，菱形的对角线互相垂直平分，有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
20．（5分）如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中AB＝15m，AC＝20m，BC＝25m，小明想以B为起点挖一条水渠BD，点D在AC边上．水渠能将土地△ABC分成面积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠BD的准确长度．
【解答】解：∵AB＝15m，AC＝20m，BC＝25m，
∴AB2+AC2＝152+202＝225+400＝625，BC2＝252＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵BD平分△ABC的面积，
∴BD是△ABC中线，
∴ADAC＝10m，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD5（m），
答：水渠BD的准确长度为m．
21．（5分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM＝DN．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
又在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS），
∴BM＝DN．
22．（5分）共享电动车方便出行，是一种新理念下的交通工具．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．A，B两种品种共享电动车所收费用y（元）与骑行时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）A品牌的共享电动车每分钟收费 　0.4　 元；骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费 　6　 元．
（2）已知王老师家与学校的距离为4.5km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？求出此时使用两种品牌的共享电动车的价格差．
【解答】解：（1）根据图象得：8÷20＝0.4元，
骑行时间不超过10分钟时，B品牌的共享电动车一律收费6元，
故答案为：0.4；6；
（2）选择B品牌共享电动车会更省钱．理由如下：
王老师从家骑行到学校所需时间为，
观察函数图象可知，当x＝15时，yA＜yB，
所以选择A品牌共享电动车会更省钱，
设yA＝kx，将点（20，8）代入得：8＝20k，
解得：k＝0.4，
∴yA＝0.4x，
设yB＝mx+n，由条件可得：，
解得：，
∴yB＝0.2x+4，
当x＝15时，yA＝6，yB＝7，
yB﹣yA＝1元．
23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO，BE＝4，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，BC＝CD，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴，
∴，
设CE＝x，则BC＝CD＝BE﹣CE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得：，
∴CE的长为．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中．一次函数y＝kx+b的图象平行于，且经过点A（4，1）．
（1）求一次函数解析式；
（2）点P为x轴上一点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，△ABP的面积是2，求点P坐标；
（3）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝m（x+1）（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y，
∴k，
把A（4，1）代入yx+b得，b＝﹣1，
∴一次函数的表达式为：yx﹣1；
（2）令yx﹣1中y＝0，则x＝2，
∴B（2，0），
设点P的坐标为（n，0），则BP＝|n﹣2|，
∵△ABP的面积是2，
∴BP yA2，
解得：n＝6或n＝﹣2，
∴点P坐标为（6，0）或（﹣2，0）．
（3）如图：
，
把x＝1代入y，求得y，
把（1，）代入y＝m（x+1）（m≠0）得，2m，
解得m，
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝m（x+1）（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，
∴m的取值范围是m且m≠0．
25．（6分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两数聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据．对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100）．
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中的数据：64，70，75，76，78，78，80，82，84，85，85.85，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：87，88，84，87，89，87，81，90．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众败
甲 86 85 a
乙 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　85　 ，b＝　85.5　 ．m＝　20　 ．
（2）在此次测验中，有200人对甲款进行评分，220人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数是多少？
（3）如果让你选择一款AI聊天机器人，你会选择哪一款？请利用数据说明理由．
【解答】解：（1）甲款评分数据中，85分出现次数最多，则a＝85，
A组B组共有20×（10%+30%）＝8人，
将C组包含的所有数据排序为：81，84，87，87，87，88，89，90，
第十个和第十一个评分分别为84、87，
所以中位数．
乙款聊天机器人中，C组包含8个数据，所占比例为，
∴m%＝1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：85，85.5；20；
（2）D组有20×20%＝4人，
甲数据中D组有6人，
∴非常满意用户总人数人．
（3）甲乙款平均数都相同，但是乙的中位数85.5，甲的中位数85，
∴选择乙款聊天机器人．
26．（6分）请同学们探究函数y＝2|x+1|﹣3的图象，通过列表、描点、画图，观察图象，并利用函数性质解决问题．
（1）画出函数y＝2|x+1|﹣3的图象．
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1 ﹣1 1 3 …
请补全表格：
②根据表格的数据，请在平面直角坐标系中描出对应点并连线，画出该函数图象．
（2）利用函数y＝2|x+1|﹣3的图象，探索函数性质并解决问题：
①写出该函数的一条性质　函数图象关于x＝﹣1对称（答案不唯一）　 ；
②当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是　﹣3≤y＜3　 ；
③若点M（x1，y1）与N（x2，y2）是函数y＝2|x+1|﹣3图象上的两个点，若对于﹣3≤x1≤0，a≤x2≤a+1，都有y1＜y2，则a的取值范围是　a＞1或a＜﹣4　 ．
【解答】解：（1）①当x＝﹣2时，y＝2×|﹣2+1|﹣3＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝2×|﹣1+1|﹣3＝﹣3，
补全表格如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣1 1 3 …
②函数图象如图所示：
（2）①函数图象关于x＝﹣1对称（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于x＝﹣1对称；
②由函数图象得，当﹣2＜x＜2时，﹣3≤y＜3，
故答案为：﹣3≤y＜3；
③∵﹣3≤x1≤0，
∴﹣3≤y1≤1，
结合图象得：a＞1或a＜﹣4，
故答案为：a＞1或a＜﹣4．
27．（7分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点（不与BC重合），过点C作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接BF，作DG⊥FC交FC的延长线于点G．
（1）补全图形并用等式表示线段AF，CF，AD的数量关系并证明：
（2）用等式表示线段BF与CG的数量关系并证明．
【解答】（1）解：补全图形如下：
连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵CF⊥AE，
∴AF2+CF2＝AC2＝2AD2，
∴AF2+CF2＝2AD2；
（2）过点B作BH⊥AF于点H，过点B作BM⊥CF于点M，如图所示：
∴∠AHB＝∠BMC＝90°，
∴∠ABH+∠CBH＝90°，
∵CF⊥AE，
∴四边形BMFH为矩形，
∴∠HBM＝90°，
∴∠ABH＝∠MBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴△ABH≌△CBM（AAS），
同理得：△DCG≌△CBM（AAS），
∴△ABH≌△CBM≌△DCG，
∴BH＝CG＝BM，
∴四边形BMFH为正方形，
∴．

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