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复习讲义
第二篇 专题突破
专题一 选择题解题方法
方法一 直接法
根据选择题的已知条件，运用所学的各类公式、定理、定义等，
通过计算或推理直接求得结论，再与选项对照来确定正确的答案.这种
方法叫作直接法.
典题精析
例1 （2025·怀化·中考改编）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这
些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是
( ).
A.1 B. C. D.
提示：将，代入，得（取出红球） .
B
思路点拨 直接运用概率公式 计算.
针对训练
1.（2024·广西·中考）激光测距仪发出的激光束以 的速度
射向目标，后测距仪收到反射回的激光束.则到的距离 与
时间 的关系式为( ).
A
A. B.
C. D.
提示：激光由到所用的时间为，速度为，则与 的
距离 .
方法二 观察法
有些选择题，通过观察函数图象或几何图形的特征，代数式、方
程或函数解析式的结构特点，结合相关数学知识可直接得出结论.这种
方法叫作观察法.
思路点拨 对于关于的一元二次方程，当，
异号时，的值一定大于0.因此对于方程 ，若
， 异号，则可确定这个方程有两个不相等的实数根.
典题精析
例2 （2025·四川自贡·中考模拟）对于关于 的一元一次方程
根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
提示：对于方程，，，即， 异号，则
的值一定大于0.故这个方程有两个不相等的实数根.
A
针对训练
图1
2.（2025·广西南宁·模拟）铜鼓是我国古代南方少数民族使用
的打击乐器和礼器，迄今发现的世界上最大的古代铜鼓出土于
广西.图1是铜鼓的实物图，它的左视图是( ).
B
A. B. C. D.
图2
3.（2025·广东广州·模拟）函数 与
的图象如图2所示，当，均随着 的增大而减
小时， 的取值范围是( ).
D
A. B.
C. D.
方法三 排除法
根据单项选择题有且只有一个正确选项的特征，我们可以考虑从
选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、
判断，对所给选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的选项逐一排除，
从而获得正确结论.这种方法叫作排除法，也叫淘汰法或筛选法.
典题精析
例3 跨学科题（2025·广西钦州·模拟）由化学知识可知， 表示溶液酸
碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当 时溶液呈酸性.将
给定的溶液加水稀释，下列图象中，能大致反映溶液的
与所加水的体积 之间对应关系的是( ).
A. B.
C. D.
思路点拨 溶液是呈碱性的，由此可排除表示溶液呈酸性的图象，即的情况.加水稀释后，溶液中 的浓度降低，溶液的碱性越来越弱，即随着所加水的体积 的增大而减小.
提示：因为 溶液是呈碱性的，所以排除选项A，C.随着所加水的体积的增大，溶液的碱性越来越弱，故排除选项B，正确答案为选项D.
答案：D
针对训练
4.（2025·江苏扬州·中考模拟）函数 的大致图象是( ).
A. B.
C. D.
提示：由自变量不能取0，排除选项B，C.因为 可取负值，所以排除选项D.故选A.
A
方法四 特殊值法
特殊值法：根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作
出特殊图形进行计算、推理的方法.当选择题的题设与字母的取值范围
有关时，我们可以赋予字母特殊值，利用特殊值排除错误答案.
选择特殊值时，要注意：（1）必须满足题目的所有条件，（2）
能使计算更简便.
典题精析
图3
例4 数学文化（2024·山东滨州·中考）刘徽是我国魏晋时
期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一.刘徽
在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的
是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径
的多种表达形式.如图3，中， ， ，
，的长分别为，，.可以用含，，的式子表示 的内切
圆直径 ，下列各式错误的是( ).
图3
A. B.
C. D.
提示： 令，， .选项A中， ；选项B中， ；选项C中， ；选项D中， .只有选项D与其他选项不一致，故选D.
【答案】D
图3
思路点拨 本题直接推理难度较大，可用特殊值法快速
得解.由是直角三角形，可令， ，
，代入各式计算出 的值，所得值与其他三个选
项不同的即为错误的式子.
针对训练
5.（2025·广西桂林·模拟）把因式分解得 ，
则 的值为( ).
B
A.2 B.4 C.6 D.8
提示：由题意，得.令 ，则
.解得 .
6.（2025·河北·中考）若为任意整数，则 的值总能
( ).
B
A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除
提示：由为任意整数，设，则 ，显然能被3整除.
方法五 数形结合法
数形结合是一种把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研
究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质的数学思想方法.它可
以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化.当选择题的题设与图形或
函数图象有关时，可以考虑用数形结合法解题.数形结合常与以下内容
有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系，（2）函数与图象的对应
关系，（3）曲线（双曲线、抛物线）与方程、不等式的对应关系，等
等.
典题精析
例5 （2024·广西·中考）已知点，在反比例函数
的图象上，若 ，则有( ).
A. B. C. D.
提示：画出反比例函数的草图如图86所示.观察点， 的位置，可得 .
图86
A
思路点拨 画出反比例函数的草图，并标出和 的大致位置，观察图象即可比较， 与0的大小.
针对训练
图4
7.若二次函数 的部分图象如图4所示，则
关于的方程 的解为( ).
B
A., B.,
C., D.,
提示：由题图可知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线
与轴的一个交点坐标为，由此可得抛物线与 轴的另
一个交点坐标为，即当或3时，函数值 .
故关于的方程的解为， .
方法六 极端处理法
对于涉及动点的选择题，可以在满足题设条件的前提下，将动点
置于特殊位置或极端位置去思考，往往能快速得出正确答案，这种方
法称为极端处理法或极限法.
典题精析
图5
例6 （2025·广西桂林·模拟）如图5，已知函数
的图象与一次函数 的图象
有三个交点，则 的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
思路点拨 画出一次函数 的极端图象如图6所示（图中的虚线），
再根据图象的特征求出 的取值范围.
图5
提示： 当时，函数，故 .
当一次函数的图象经过点A时， ，
解得.当一次函数的图象与 的
图象只有一个交点时， ，
，解得 .综上可
【答案】D
得，当时，函数 的图象与
一次函数 的图象有三个交点.
针对训练
图7
8.（2025·安徽·模拟）如图7，在矩形 中，对角线
，相交于点，，，点是边 上
一点，过点作于点，于点 ，则
的值是( ).
A.2.4 B.2.5 C.3 D.4
图87
提示：如图87，点是边上任意一点，不妨设点 与
点D重合，过点D作于点，此时 的
值即为线段 的长.由勾股定理，得
.由
【答案】A
，得 .所以
的值是2.4.
图8
9.如图8，矩形的边在轴上， 的中点
与原点重合，，.若过定点 和
动点的直线与矩形 的边有公共点，则
的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
图88
提示：根据题意，得 ，
即，.如图88，当直线 过点D时，
点与点重合.设直线 对应的函数解析式为
，将代入，得 ，
即.故直线 对应的函数解析式为
.令，得，即 .当直线
过点C时，点与点重合，设直线 对应的
函数解析式为，将 代入，
得，即.故直线 对应的函
数解析式为.令，得 ，即
.结合图象可得，当过定点 和动点
的直线与矩形的边有公共点时， 的
取值范围是 ．
【答案】D
图88
专题练习一 选择题解题方法
方法一 直接法
图1
1.（2024·江苏苏州·中考）如图1， ，若
， ，则 的度数为( ).
A.45 B. C. D.
提示：由， ，得
.所以
.
B
2.（2024·四川达州·中考）抛物线与 轴交于两点，其
中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正
确的是( ).
A
A. B. C. D.
提示：设抛物线与轴交于和 两点，且
，则，.由此可得 ，
即.由根与系数的关系可得， .所
以 .
方法二 观察法
3.（2024·广西·中考）端午节是我国传统节日，下列与端午节有关的文
创图案中，成轴对称的是( ).
B
A. B. C. D.
4.若，，则 的值为( ).
D
A.0 B.1 C.4 D.9
提示：观察代数式，发现各项有公因式 ，提取公
因式，得.因式分解，得 .
图2
5.（2025·湖北武汉·中考模拟）如图2，一个圆柱体水槽底部叠放
两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象
能大致反映水槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是
( ).
D
A. B. C. D.
方法三 排除法
图3
6.（2024·黑龙江牡丹江·中考）如图3，在平面直角坐标系中，抛
物线与轴交于， 两点，
与轴的交点的纵坐标在到 之间.有以下结论：
A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
；；③若且 ，则
；④若直线与抛物线 的一
个交点的坐标为，则 . 其中正确的结论是( ).
图3
提示：每个选项都含有①，因此不需要验证①.由抛物线经
过， ，得
.所以 ，
.由点C的纵坐标在到 之间，得
.所以，即 .故②正确.由
【答案】A
此排除选项B.由，得 ，
即.从而得.又 ，
所以 .故③错误.由此排除选项C，D.故选A.
方法四 特殊值法
7.（2025·天津·中考模拟）计算 的结果等于( ).
C
A. B. C. D.
提示：令，则 .此时只有选项C的结果为1.
故选C.
8.（2025·呼和浩特·模拟）已知点，， 在同一
个函数图象上，则这个函数图象可能是( ).
A. B.
C. D.
提示：令，则，， .因此这个函数图象经过第四象限，与轴有2个交点.故排除选项B，C.点 在第四象限，且位于直线 的右侧，因此只有选项A符合题意.
A
方法五 数形结合法
9.（2025·广西百色·中考模拟）图4是利用割补法求图形面积的示意图，下列
公式中与之相对应的是( ).
A
图4
A. B.
C. D.
10.（2024·四川泸州·中考）已知二次函数
（是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，则实数 的取值范围为
( ).
A. B. C. D.
提示：画出二次函数 的草图如图115.
图115
由此可得，故 .
【答案】A
方法六 极端处理法
图5
11.教材变式［人教版八下第63页实验与探究变式］如
图5，正方形的对角线，交于点，是
上的一点，连接，过点作交于点 .若
，则四边形 的面积为( ).
B
A. B.1 C.2 D.4
提示：取极端情形，设点与点B重合，则点 与点C重合，此种情形符
合题意，显然 .
图6
12.如图6，在平面直角坐标系中，直线 与双曲
线交于，两点，是以点 为圆心，1为
半径的圆上一动点，连接，为 的中点．若线段
长度的最大值为2，则 的值为( ).
A. B. C. D.
图6
提示：解：连接 .由反比例函数图象的对称性可
知，是的中点，则是 的中位线.所以
.当B,C,三点共线时，最大，则 最大，
而的最大值为2，故 的最大值为4.从而得
.设点B的坐标为 ，
【答案】A
则.所以.故 .

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