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辽宁省普通高中 2024-2025 学年下学期 7 月期末调研试题（4）
高一数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
2020

1 2 + 2i 2． 2 +(1- i) 1 ÷
=
è + i ÷
A．-10 + 2i B．-2+ i C．10 + 2i D．-2 - 2i
2．已知钟摆的高度 h(mm)与时间 t(s)之间的函数关系如图所示，若任意1s内钟摆的高度 h 至少有 6 次为
20mm，则钟摆的周期的最大值是
1
A． s
1
B． s C．1s D． 2s
3 2
3．已知VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c， a > b > c，VABC 的外接圆圆心为O，则
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A．OA ×OB > OA ×OC > OB ×OC B．OA ×OB > OB ×OC > OA ×OC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C．OB ×OC > OA ×OC > OA ×OB D．OA ×OC > OB ×OC > OA ×OB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4．已知平面向量 AB 、 AC 、 AD ， AB = AC =1， AB + AC =1，△BCD的面积为 2 3 ，则 AD 的最小
值为
3 7
A． B．2 C． D．4
2 2
（第 2 题图） （第 5 题图） （第 6 题图）
uuur uuur
5．如图，在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的向量分别是OA，OB，则复数 z1 × z2 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4， P ，Q 分别为棱 A1B1 ， DD1的中点，过 P ，Q， B 作正
方体的截面，则截面多边形的周长是
A 5 2 5 25 + 9 5 + 2 13． + + 4 2 B．10 + 4 5 + 13 C．10 + 2 5 + 13 D．
3
高一数学试卷 第 1 页（共 4 页）
uuur uuur uuur uuur uuur
7．已知平面直角坐标系 xOy 中， | OA |=| OB |= 2 ， | AB |= 2，设C(3, 4)，则 | 2CA + AB |的取值范围是
A．[6,14] B．[6,12] C．[8,14] D．[8,12]
BAC π π8．已知三棱锥 A - BCD，平面 ABC ^ 平面BCD， = ， BDC = ，BC = 2，则三棱锥 A - BCD
4 6
外接球的表面积为
A．16π B． 20π C． 28π D．32π
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E,F，且
EF 1= ，则下列结论中正确的是
2
A． AC ^ BE B．EF // 平面 ABCD
C． AE / /BF D．三棱锥 A - BEF 的体积为定值
10．已知 a,b,c分别是VABC 的三个内角 A, B,C 的对边，则下列命题错误的是
A．若VABC 为锐角三角形，则 a,b,c可以分别是 3，4，6
A πB．若 = ， a = 3，该三角形只有一解，则6 0 < b 3
π
C．若B = ，b = 2 ，则VABC 面积的最大值为
3 3
D．若 cos A - cos B
a - b
+ = 0，则VABC 为等腰三角形
c
11．1843 年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的
点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于 10 月 16 日跟妻子
在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在 Broughant Bridge．对
四元数u = a + bi + cj+ dk ， a,b,c, d R的单位 i, j,k ，其运算满足： i2 = j2 = k2 = -1， ij = k ， jk = i，
ki = j 2 2 2 2， ji = -k， kj = -i ， ik = - j；记u = a - bi - cj- dk， N u = uu = a + b + c + d ，
2 1u = a + b2 + c2 + d 2 -1，定义u = ，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有
u
A．集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元u,v V ，则有：u-1vu = v-1
C．若u,v V ，则有： N uv = N u N v
u-1 uD．若非零元u V ，则有： = u2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．若复数m - 2 + m2 - 4 i 0 ，则实数m 的值为 ．
13．已知函数 f x = 2sin wx +j w 0, j
π 1 1
> < ÷，T 为 f x

的最小正周期，且 f T = f T ，若 f x
è 2 è 3 ÷ ÷ è 2
在区间(0,π)上恰有 3 个极值点，则w 的取值范围是 ．
14．如图，已知正四棱锥P - ABCD 的棱长均为 2，M , N 分别是BP, BC 的中点，T 是VAMC 所在平面内的
一点，则BT + NT 的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
C
记VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b , c， ab =1+ 2absin2 ， 3a - b cosC = ccosB ．
2
（1）求VABC 的面积；
（2）若 sinA ×sinB
1 a + b
= ，求 的值．
6 c
16．（本小题满分 15 分）
在共建文明城市活动中，某市计划在公园内建造如图所示的正四棱台 ABCD - A1B1C1D1建筑，已
知正四棱台的上、下底面的边长分别为 4m 和8m ，高 6m．
（1）求正四棱台 ABCD - A1B1C1D1的表面积和体积；
（2）在计划中需要用某种彩带从D到 B 沿着两边的侧面连起来，求所需彩带长度的最小值．
17．（本小题满分 15 分）
r r
已知 a
r
= 3,4 ， b = 2， ar,b π= ．
3
r r r r
（1）求 a ×b 的值， a + b 的值；
r r r r r r
（2）若 c = ta ， t R ，求 a - c × b - c 的最小值，并求取得最小值时 t的值．
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18．（本小题满分 17 分）
如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形， AA1 = A1C = 5， A1B = 4．
（1）证明： A1B ^ 平面 ABC ；
（2）求二面角 A - BC - B1的正弦值；
（3）若点 P 是棱 AA1上的动点（包括端点），求直线BP与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围．
19．（本小题满分 17 分）
我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若己知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确
定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记VABC
的面积为 S ，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，则 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，这里
p 1= (a + b + c)．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元 1
2
世纪的《测地术》中．在 13 世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论．根
据以上信息，回答下列问题．
（1）已知VABC 10 2的面积为 ，且 sin A : sin B : sin C = 9 :10 :11，求此三角形中大于 60°的角所对的
3
边长；
（2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段．若记VABC
的外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，证明：R 2r ；
（3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形 ABCD 的四边长分别 a，b，c，d，记
p 1= (a + b + c + d )．证明：此四边形的面积 S ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) ，并求出何时取得最
2
大值．
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辽宁省普通高中 2024-2025 学年下学期 7 月期末调研试题
（4）
高一数学
参考答案与解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C A D D B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的
得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ABD ABD ACD
1．B
【分析】根据复数的除法运算法则计算即可．
2020
2 + 2i 2 2 + 2i 2 1010 1010
【详解】 2 + ÷÷ = +

= i(1 i)
1+ +
(1- i) è1+ i -2i è 2i
÷ i ÷ è
= -1+ i + (-i)1010 = -1+ i -1 = -2 + i ．
故选：B
2．A
【详解】由图可知钟摆在一个周期内有 2 次高度为20mm，所以要达到至少有 6 次高度为
1 1
20mm，则至少有三个周期，从而3T 1，所以T ，即T
3 max
= ．
3
3．A uuur uuur uuur uuur
【分析】设VABC 的外接圆半径为1．得到OA ×OB = OA OB cos AOB = cos2C =1- 2sin2C ，
uuur uuur uuur uuur
同理可得,OB ×OC ，OA ×OC ,再由 a > b > c ,即可判断选项．
【详解】如图，设VABCuuur uuur uuur uuur 的外接圆半径为1．则
OA ×OB = OA OB cos AOB = cos2C =1- 2sin2C ，
同uuu理r u可uur得, uuur uuur
OB ×OC = cos2A =1- 2sin2 A，OA ×OC = cos2B =1- 2sin2B．
又由 a > b > c，可知 sinA > sinB > sinC > 0．uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故1- 2sin2 A <1- 2sin2B <1- 2sin2C ，所以OA ×OB > OA ×OC > OB ×OC ．
故选:A．
答案第 1 页，共 12 页
4．C uuur uuur
【分析】通过 AB + AC =1平方，求得 BAC ，结合余弦定理求得BC = 3 ，再结合面积公
式求得点 D 到BCuuur 的距uuu离r ，进而uu可ur 求u解uur．
【详解】已知 AB = AC =1， AB + AC =1，
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur
对 AB + AC 2 2平方得 AB + AC = AB + AC = AB + 2AB × AC + AC ．
uuur2 uuur 2 uuur2 uuur 2
因为 AB = AB =1， AC = AC =1，
uuur uuur uuur uuur
设 BAC = q ，0 q π，则 AB × AC = AB AC cosq = cosq ，
uuur uuur 2 1 2π
所以 AB + AC =1+ 2cosq +1 =1，即2+2cosq =1，解得 cosq = - ，有q = ．
2 3
b2 2VABC +c -a
2 1
在 中，由余弦定理有cosq = = - ，可得BC = 3 ，
2bc 2
设点A 到BC
1
的距离为h1，有 h1 = 2 ．
已知 SVBCD = 2 3 ，设点 D 到BC 的距离为 h ，
1
由 SVBCD = BC ×h = 2 3 ，解得 h = 4，2
uuur 1 7
则 AD 的最小值为 h - h1 = 4 - = ．2 2
故选：C
5．A
【分析】利用复数的几何意义求出 z1 ， z2 ，然后利用复数的乘法法则求出 z1 × z2 ，最后利用
复数的几何意义求解即可．
uuur uuur
【详解】由题意OA = (2,-1)，OB = (1,1) ．\ z1 = 2 - i， z2 =1+i．
\复数 z1 × z2 = (2 - i)(1+ i) = 3+ i 所对应的点 (3,1)位于第一象限．
故选：A
6．D
【分析】先利用平面性质作出截面图形，然后利用勾股定理求出各个边长，即可得解．
【详解】取CD的中点为 T，取B1P 的中点为 S，取CD上靠近 D 的四等分点为 M，
取C1D1上靠近D1的四等分点为 G，取 A1D1上靠近D1的三等分点为 N，
连接BM ,QM , NQ, PN , B1G, D1T , D1S ．
如图
由正方体性质可知D1T / /BP，在VD1TD 中，Q,M 分别为D1D, DT 的中点，
所以D1T / /QM ，所以 BP / /QM ，故B, P,Q, M 四点共面，
在正方形 A1B1C1D1中，D1G / /B1S 且D1G = B1S ，所以D1SB1G 为平行四边形，
所以B1G / /D1S ，由正方体性质可知D1S / /BM ，
答案第 2 页，共 12 页
在VD1A1S 中，P, N 分别为 A1S , A1D1 的三等分点，所以D1S / /PN ，所以BM / /PN ，
故B, P, N , M 四点共面，
所以五边形PBMQN 为所求的截面多边形．
4 8
易知CM = 3，DM =1，D1N = ， A1N = ，B1P = A3 3 1
P = DQ = D1Q = 2，
2
故BP = 16 + 4 = 2 5 ，BM = 16 + 9 = 5，QM = 1+ 4 = 5 ，QN 4 2 13= ÷ + 4 = ，
è 3 3
2
PN 8 4 10= + = ．
è 3 ÷ 3
PBMQN 25 + 9 5 + 2 13所以截面五边形 的周长为 ．
3
故选：D．
7．D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先根据 AB = OB - OA，求出 áOA,OB ，进而可以用向量OA,OB表示出 2CA + AB，
即可解出． uuur
【详解】因为 | OA |=| OB |= 2 ， | AB |= 2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur π
由 AB = OB - OA平方可得，OA ×OB = 0 ，所以 áOA,OB = ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2
2CA + AB = 2 OA - OC + OB - OA = OA + OB - 2OC OC = 32， + 42 = 5，
uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur
所以， 2CA + AB = OA + OB + 4OC - 4 OA + OB ×OC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= 2 + 2 + 4 25 - 4 OA + OB ×OC =104 - 4 OA + OB ×OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur又 OA + OB ×OC OA + OB OC = 5 2 + 2 =10，即-10 OA + OB ×OC 10 ，
uuur uuur 2 uuur uuur
所以 2CA + AB 64,144 ，即 2CA + AB 8,12 ，
故选：D．
8．B
【分析】求出两个三角形外接圆的半径，利用外接球的性质确定球的半径，进而可得答案．
【详解】
设VABC,VBCD 的外接圆圆心分别为O1,O2 ，三棱锥 A - BCD外接球球心为O，
过O1作平面 ABC 的垂线，过O2作平面BCD的垂线，两垂线的交点即为三棱锥 A - BCD外接
球的球心．
取BC 中点E ，则EO1 ^ BC ，
因为平面 ABC ^ 平面BCD，平面 ABC I平面BCD = BC ， EO1 平面 ABC ，
所以EO1 ^平面BCD，
所以EO1 / /OO2 ，同理，EO2 / / OO1 ，
答案第 3 页，共 12 页
因为EO2 平面BCD，所以EO1 ^ EO2 ，故四边形EO1OO2 为矩形．
BC
因为VABC 的外接圆半径 r1 = = 2 ，即O B = 2 ，2sin BAC 1
所以EO = OO = O B2 21 2 1 - BE = 2 -1 =1．
r BC因为△BCD的外接圆半径 2 = = 2，即O2B = 2，2sin BDC
所以OB = OO22 + O2B
2 = 5 ，即球O的半径 r = 5 ，
所以三棱锥 A - BCD外接球的表面积为 4πr 2 = 4π 5 = 20π ．
故选：B．
9．ABD
【分析】根据线线、线面垂直、线面平行、锥体体积、异面直线概念等知识对选项进行分析，
从而确定正确答案．
【详解】A 选项，根据正方体的性质可知 AC ^ BD ；又BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面
ABCD，
故 AC ^ BB1，由于BD BB1 = B，BD, BB1 平面BDD1B1，所以 AC ^平面BDD1B1，
由于BE 平面BDD1B1，所以 AC ^ BE ，所以 A 选项正确．
B 选项，根据正方体的性质可知EF //BD，
由于EF 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以EF // 平面 ABCD，所以 B 选项正确．
C 选项，由于BF 平面BDD1B1，E 平面BDD1B1，且E BF ，A 在平面BDD1B1外，
故 AE, BF 为异面直线，C 错误；
1 1 1
D 选项，对于三棱锥 A - BEF ，三角形BEF 的面积为 1 = ，为定值，
2 2 4
A 2到平面BEF 的距离即为A 到平面BDD1B1的距离，为定值 ，2
所以三棱锥 A - BEF 的体积为定值，所以 D 选项正确．
故选：ABD
10．ABD
【分析】对于 A，由余弦定理求得 cosC 即可判断；对于 B，由正弦定理即可求解；对于 C，
由余弦定理求得 ac 4即可判断；对于 D，由余弦定理展开化简即可判断．
a2 +b2 -c2 9+16-36 π
【详解】对于 A，易知C 为最大角，cosC = = < 0，即C > ，则VABC
2ab 2 3 4 2
不是锐角三角形，A 选项错误．
ìsin B <1
对于 B，因为VABC 只有一解，所以 sin B =1或 í
b a
，
b b 1
当 sin B =1时，即 sin A = =1a 2 ，解得b = 2 3 ；3
ì b b 1
ìsin B <1 sin B = sin A = <1
当 í 时，即 í a 3 2b a ，得 0 < b 3，
b 3
综上0 < b 3或b = 2 3 ，B 选项错误．
1 1 3 3
对于 C，在VABC 中，由正弦定理得， S△ABC = acsin B = × ac = ac，2 2 2 4
2
cos B a + c
2 - b2 1
由余弦定理得， = = ，即 a2 + c2 - 4 = ac 2ac - 4，有 ac 4，
2ac 2
当且仅当 a = c = 2 3时等号成立，所以 SVABC = 4 = 3 ，C 选项正确．max 4
答案第 4 页，共 12 页
a - b
对于 D， cos A - cos B + = 0，在VABC 中，由余弦定理可得，
c
b2 +c2 -a2 a2 +c2 -b2 a -b
- + = 0，
2bc 2ac c
等式两边同乘 abc，经整理得， a 2b - a 3 + b3 - ab 2 + ac 2 - bc 2 = 0 ，
a2即 (b-a)+b2(b-a)=c2(b-a)，则有，
① b - a = 0，即b = a，所以VABC 为等腰三角形；
② b - a 0，则 a2 + b2 = c2，即VABC 为直角三角形．
综上，VABC 为等腰三角形或直角三角形，所以，D 选项错误．
故选：ABD
11．ACD
【分析】对于 A，利用已知条件求出所求集合为 1,i, j, k, -1, -i, - j, -k 即可；对于 B，直接给
出反例u =1，v = 2即可；对于 C，利用 N u 的定义计算即可；对于 D，利用 C 选项的结果
验证即可．
【详解】对于 A，由于 i2 = j2 = k2 = -1， ji = -k， kj = -i ， ik = - j，故集合 1,i, j, k 的元素
按乘法可以得到集合 1,i, j, k, -1, -i, - j, -k ，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集
合中，故集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到的集合是八元集合 1,i, j, k, -1, -i, - j, -k ，故 A 正确；
-1 -1 1 -1 -1
对于 B，取u =1， v = 2，则u vu =1 × 2 ×1 =1×2 ×1 = 2 = 2 = v ，故 B 错误；
2
对于 C，若u,v V ，设u = a + bi + cj+ dk ， v = x + yi + zj+ wk ，则
N uv = N a + bi + cj+ dk x + yi + zj+ wk
= N ax - by - cz - dw + ay + bx + cw - dz i + az + cx + dy - bw j+ aw + dx + bz - cy k
= ax - by - cz - dw 2 + ay + bx + cw - dz 2 + az + cx + dy - bw 2 + aw + dx + bz - cy 2
= a2x2 + b2x2 + c2x2 + d 2x2 + a2 y2 + b2 y2 + c2 y2 + d 2 y2 + a2z2 + b2z2 + c2z2 + d 2z2 + a2w2 + b2w2 + c2w2 + d 2w2
= a2 + b2 + c2 + d 2 x2 + y2 + z2 + w2
= N a + bi + cj+ dk N x + yi + zj+ wk
= N u N v ，故 C 正确；
2
对于 D，根据题目中的定义有 N u = u ，从而
u uu uu N u N uu N u × = = = = = =1
u2 u2 N u2 N u2 N u ×u N u N u ．
u-1 u所以 = u2 ，故 D 正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的
问题．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．2
【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再建立方程求解参数即可．
【详解】因为复数m - 2 + m2 - 4 i 0 ，
2
且只能是实数才能比较大小，所以m - 2 + m - 4 i为实数，
答案第 5 页，共 12 页
ìm2 - 4 = 0
得到 í ，解得m = 2 ，即实数m 的值为 2．
m - 2 0
故答案为：2
17 , 2313 ．
è 6 6
【解析】由题意可得： f x 2π的最小正周期T = ，
w
f 1 T = f 1 T 1 T 1 1 1因为 ，且 - T = T < T ，
è 3 ÷ è 2 ÷ 2 3 6 2
1 T 1+ T
则 x 5= 2 3 = T 为 f x 的一条对称轴，
2 12
w 5π j 5π π所以 + = +j = + kπ(k Z) j
π
，解得 = - + kπ(k Z) ，
12 6 2 3
j π j π又 < ，则 = - ，故 f x = 2sin wx
π
-
2 3 3 ÷
，
è
因为 x 0, π π π π，则- < wx - < wπ - ，
3 3 3
5π π 7π
若函数 f x 在区间上恰有 3 个极值点，则 < wx - ，
2 3 2
17 < w 23 17 23解得 ，故w 的取值范围是 ( , ]．
6 6 6 6
17 23
故答案为： ( , ]．
6 6
14． 3
【分析】由已知可证得BP ^ 平面MAC ．则B, P关于平面MAC 对称，可得
BT + NT = PT + NT PN 即可得出结果.
【详解】如图，连接PN ．因为△PBC ，VPAB 都为正三角形，M 为BP的中点，
所以CM ^ BP， AM ^ BP ， AM CM = M ，所以BP ^ 平面MAC ．
所以B, P关于平面MAC 对称，BT = PT ，BT + NT = PT + NT PN = 3 ，
当且仅当P,T , N 三点共线时，等号成立，即BT + NT 的最小值为 3．
故答案为： 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
（1） 2
6
（2）
2
1
【分析】（1）由正弦定理边化角可得 cosC = ，再结合三角形面积公式即可求解；
3
（2）由余弦定理得到 a2 + b2 - c2 = 2，法一：由正弦定理得到， ab = 4R2sinAsinB进而得到
答案第 6 页，共 12 页
2
c = 4 c ab即可求解，法二：由正弦定理得到 2 = 求得 c
2 = 16进而可求解，法三：通
sin C sinAsinB
过边化角得到 2 2sin2A - cos2A = 0 ，再由 sinA + sinB = sinA + sin A + C 化简求解即可．
2 C 2 C
【详解】（1）由 ab =1+ 2absin ，得 ab 1- 2sin =12 è 2 ÷
所以abcosC = 1
由正弦定理 a = 2RsinA，b = 2RsinB， c = 2RsinC
得 3sinA - sinB cosC = sinCcosB
所以3sinAcosC = sinBcosC + cosBsinC = sin B + C = sin p - A = sinA
sinA 0 cosC 1由 > ，得 =
3
1
所以 ab = = 3
cosC
由 sinC > 0，得 sinC 1 2 2= 1- cos2C = 1- =
9 3
S 1 1 2所以VABC 的面积 = absinC = 3 2 = 2
2 2 3
a2 + b22 - c
2
（ ）由余弦定理得 abcosC = ab =1
2ab
化简得 a2 + b2 - c2 = 2
方法一：边运算
设VABC 的外接圆的半径为 R
由正弦定理得 a = 2RsinA，b = 2RsinB， c = 2RsinC
4R2 ab 3= = =18
所以 ab = 4R2sinAsinB，解得 sinAsinB 1
6
所以 2R = 3 2
所以 c
2
= 2RsinC = 3 2 2 = 4
3
所以 a2 + b2 = 2 + c2 = 2 +16 =18
所以 a + b 2 = a2 + b2 + 2ab =18 + 6 = 24
由 a + b > 0，得 a + b = 2 6
a + b 2 6 6
所以 = =
c 4 2
方法二：边运算
a b c
由正弦定理 = = ，
sinA sinB sinC
c2 ab 3
得 sin2
= = =18
C sinAsinB 1
6
c2 =18sin2 8所以 C =18 =16
9
所以 a2 + b2 = 2 + c2 = 2 +16 =18
所以 a + b 2 = a2 + b2 + 2ab =18 + 6 = 24
由 a + b > 0，得 a + b = 2 6
a + b 2 6 6
所以 = =
c 4 2
答案第 7 页，共 12 页
方法三：角运算
由（1）知 cosC
1
= sinC 2 2，3 = 3
所以 sinAsinB = sinAsin A + C 1= sin2 A 2 2+ sinAcosA
3 3
1
= 1 2- cos2A + sin2A 1 1= + 2 2sin2A - cos2A 1=6 3 6 6 6
化简得 2 2sin2A - cos2A = 0
因为 sinA + sinB = sinA + sin A C 4 sinA 2 2+ = + cosA 2 2= 2sinA + cosA 3 3 3
所以 sinA + sinB 2 8= 2sin2 A + cos2 A + 2sin2A9
8 é1 cos2A 1= ê - + 1+ cos2A + 2sin2A

9 2
8 2 2sin2A - cos2A 3 8 3 4
=
9
+ = =
2 2 ÷÷ 9 2 3 è
由 sinA + sinB > 0，得 sinA + sinB 2 3=
3
2 3
a + b sinA + sinB 3 6
所以由正弦定理得 = = =
c sinC 2 2 2
3
16．（本小题满分 15 分）
（1）表面积 80 + 48 10 m2 ，体积 224m3
2 32 110（ ） m
11
【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求表面
积；
（2）把该四棱台沿侧棱DD1展开在同一平面，可得彩带的路径必须沿DB路径，计算DB的
长度，可得最短彩带的长度．
【详解】（1）由题可知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1的体积
V 1 2 2 2 2 3
正四棱台ABCD- A1B1C1D
= 4 + 8 + 4 8 6 = 224m ，1 3
记O1、O分别为棱台上、下底面的中心，分别取B1C1,BC中点M , N ，连接O1M ,ON ，
MN ，在梯形O1MNO 中，过M 作MH ^ ON 于 H ，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且O1O = MH = 6m,O1M = 2m,ON = 4m ，所以HN = 2m ，
所以MN = MH 2 + HN 2 = 40 = 2 10m，
答案第 8 页，共 12 页
所以正四棱台 ABCD - A1B1C1D1的表面积 S 42 82 4
1
= + + 4 + 8 2 10 = 80 + 48 10 m2．2
（2）把该四棱台沿侧棱DD1展开，得到如图所示的图形，要使这种彩带长度最小，则彩带
的路径必须沿如图所示的DB路径．在等腰梯形 ABB1A1中，设 A1AB = a ，易知
sina 110= ．
11
在VDAB中， AD = AB = 8m, DAB = 2a ，
又 cos2a =1- 2sin2a
9
= - ，
11
9 16 110
由余弦定理得DB = AD2 + AB2 - 2AD × AB cos DAB = 82 + 82 - 2 82 -11÷
= m ，
è 11
2DB 32 110所以彩带最少需要 = m．
11
17．（本小题满分 15 分）
（1）5； 39
3
（2）当 t = ，最小值为-4
5
【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，以及向量的数量积的运算律，
即可求解r； r r r r r r r r
（2）由 c = ta ，得到 (a - c) × (b - c) = (1- t)a × (b - ta) = 5 (5t 2 - 6t +1) ，结合二次函数的性质，
即可求解．
r r r r
【详解】（1）解：因为向量 a = 3,4 ， b = 2， a,b π= r，则 a = 32 + 42 = 5，
3
r r r r r
可得 a ×b = a b cos a
r,b 5 2 cos π= = 5，
3
r r r r r 2 ra + b = (a + b)2 = ar 2 + b + 2ar ×b = 25 4 2 5 1+ + 2 = 39 ．
r r r r r r r r r 2 r r
（2）解：因为 c = ta ，可得 a - c = a - ta = (1- t)a ，b - c = b - ta，
r r r r r r r r r r 2
则 (a - c) × (b - c) = (1- t)a × (b - ta) = (1- t)a ×b - (1- t) × ta = 5 (5t 2 - 6t +1)，
设 f t = 5t 2 - 6t +1 3 3 4，由二次函数的性质得，当 t = 时，函数 f x 取得最小值 f ( ) = - ，
5 5 5
r r r r 3
所以 a - c × b - c 的最小值为-4，此时 t = ．5
18．（本小题满分 17 分）
（1）证明见解析
8 91
（2）
91
é3 273 5 273
（3） ê ,
91 91
【分析】（1）由勾股定理得到 AB ^ A1B，BC ^ A1B 即可求证；
答案第 9 页，共 12 页
（2）取BC 的中点D，证明 ADC1 是二面角 A - BC - B1的平面角，即可求解；
（3）过点A 作 AH ^ C1D，交C1D 的延长线于点 H ，证明点 P 到平面 BB1C1C 的距离为 AH ，
AH
直线BP与平面BB1C1C 所成角的正弦值为 ，分析BP的最大、最小值，即可求解．BP
2 2
【详解】（1）证明：在△ABA1中， AB = 3， AA1 = 5， A1B = 4，所以 AA1 = AB + A1B
2
，所
以 AB ^ A1B，
在VA1BC 中，BC = 3， A1C = 5 2 2 2， A1B = 4，所以 A1C = BC + A1B ，所以BC ^ A1B ，
又 AB ，BC 平面 ABC ， AB BC = B ，所以 A1B ^ 平面 ABC ．
（2）如图，连接BC1，取BC 的中点D，连接 AD,C1D, AC1．
因为 A1B ^ 平面 ABC ，平面 ABC∥平面 A1B1C1， A1C1 平面 A1B1C1，所以 A1B ^ A1C1，
因为 A1B = 4， A1C1 = 3，所以BC1 = 5，
因为 AB = AC = 3，CC1 = BC1 = 5，D是BC 的中点，所以 AD ^ BC ，C1D ^ BC ，
所以 ADC1 是二面角 A - BC - B1的平面角．
在等边VABC 中， AB = 3，BD = CD AD 3 3，所以 = ，
2
在VBCC
3 9 91
1中，因为CC = 5，CD = ，所以C D = CC 2 21 2 1 1
- CD = 25 - = ，
4 2
2 2 2
在平行四边形 AA1C C cos A
3 + 5 - 5 3
1 中， 1AC = = ，2 3 5 10
所以 cos
3
AA1C = - ， AC1 = 3
2 + 52 - 2 3 5 3- = 43 ，10 è 10 ÷
2 2
3 3 91 2
+2 ÷ ÷
- 43
在△ ADC 21 中，cos ADC = è è 3 3= - ，1
2 3 3 91 91
2 2
所以 sin ADC 2 8 911 = 1- cos ADC1 = ，91
8 91
故二面角 A - BC - B1的正弦值为 ．
91
（3）如图，过点A 作 AH ^ C1D，交C1D 的延长线于点 H ．
因为BC ^ AD ，BC ^ C1D， AD IC1D = D ， AD ，C1D 平面 AC1D，所以BC ^平面
AC1D．
因为 AH 平面 AC1D，所以 AH ^ BC ．
又 AH ^ C1D，BC I C1D = D，BC ，C1D 平面BB1C1C ，
所以 AH ^平面BB1C1C ， sin
8 91
ADH = sin ADC1 = ，91
AH ADsin ADH 3 3 8 91 12 273所以 = = = ．
2 91 91
因为 AA1∥BB1，BB1 平面BB1C1C ， AA1 平面BB1C1C ，所以 AA1∥平面BB1C1C ．
12 273
又因为点 P 在棱 AA1上，所以点 P 到平面BB1C1C 的距离为 AH = ，
91
AH 12 273
所以直线BP与平面BB1C1C 所成角的正弦值为 = ，
BP 91BP
当BP ^ AA
3 4 12
1时，BP最短，为 = ，5 5
答案第 10 页，共 12 页
12 273 5 273
=
可得直线BP与平面BB1C1C 所成角的正弦值的最大值为 91 12 91
，
5
当点 P 与 A1重合时，BP最长，为 4，
BP 12 273 3 273可得直线 与平面BB1C1C 所成角的正弦值的最小值为 = ，
91 4 91
é3 273 5 273
故直线BP与平面BB1C1C 所成角的正弦值的取值范围为 ê ,91 91 ．
19．（本小题满分 17 分）
11
（1） ．
3
（2）证明见解析
（3）证明见解析， cos(A + C) = -1
【分析】（1）按比例设边，算半周长，用海伦公式得面积含 k 表达式，由已知面积求 k ，进
而求得大于 60°的角所对的边长．
（2）用面积与 r
r
、 R 关系及海伦公式得 表达式，换元后用均值不等式证明．
R
1
3 2 2 2 2（ ）在两个三角形用余弦定理得等式① ad cos A - bc cosC = a - b - c + d ，算四边形2
面积得等式② ad sin A + bc sin C = 2S ，①②平方相加，用三角函数性质和不等式推导，结
合半周长得面积最大值及取等条件．
【详解】（1）已知 a : b : c = 9 :10 :11，设 a = 9k ，b =10k ， c = 11k ， k > 0 ，
p a + b + c 9k +10k +11k半周长 = = = 15k ．
2 2
根据海伦公式 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，把值代入得 S = 15k × 6k × 5k × 4k = 30 2k 2 ．
1
又已知VABC 10 2 10 2面积为 ，即30 2k 2 = ，解得 k = ，
3 3 3
2
cos B 9 +11
2 -102 51 1
因为 = = > ，所以 B < 60°，故 A < B < 60° < C ，
2 9 11 99 2
11
所以所求边 c = 11k = ．
3
S = pr S 1 absinC abc（2）由 ， = = ，结合 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ，
2 4R
r 4S 2 4( p - a)( p - b)( p - c)
可得 = = ．
R pabc abc
p - a = x r 4xyz设 ， p - b = y ， p - c = z(x, y, z > 0)，则 =R (x + y)(y + z)(z + x) ．
根据均值不等式 x + y 2 xy ， y + z 2 yz ， z + x 2 zx ，
r 4xyz 1
所以 =R 2 xy 2 yz 2 zx 2 ，× ×
即R 2r ，当 x = y = z 即 a = b = c时等号成立．
（3）连结 BD，在△BDA、VBDC 中对 BD 算两次，
用余弦定理得 a2 + d 2 - 2ad cos A = b2 + c2 - 2bc cosC ，
ad cos A bc cosC 1化简得①式 - = a2 - b2 - c2 + d 2 ．
2
四边形面积 S
1
= ad sin A 1+ bc sin C ，
2 2
化简得②式 ad sin A + bc sin C = 2S ．
答案第 11 页，共 12 页
将①、②平方相加，利用 cos2 a + sin2 a =1及不等式 cos(A + C) -1，
1 2 2 2 2 2a - b - c + d + 4S 2 = a2d 2 + b2c2得到 - 2abcd cos A + C ad + bc 2，4
故16S 2 2ad + 2bc 2 - a2 - b2 - c2 + d 2 2 = é a + d
2 - b - c 2 é b + c
2 - a - d 2 ．
即16S 2 (-a + b + c + d )(a - b + c + d )(a + b - c + d )(a + b + c - d )
1
因为 p = (a + b + c + d )，所以 S ( p - a)( p - b)( p - c)( p - d ) ，
2
当 cos(A + C) = -1，即四边形是圆内接四边形时等号成立．
答案第 12 页，共 12 页
辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（4） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
高一数学答题卡
（续 15题） 17．（本小题满分 15分）
姓 名 准考证号
填 正确填涂
涂 错误填涂示例
要
求 条 形 码 粘 贴 处
缺考考生由监考
缺考标记
员用 2B 铅笔填
涂右侧缺考标记
1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在
注 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、
意
笔迹清楚。
事 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 16．（本小题满分 15分）
项 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。
4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。
第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂）
1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写）
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
三、填空题：每小题 5分，共 15分．
12． ． 13． ．
14． ．
四、解答题（共 77分）
15．（本小题满分 13分）
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
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请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
（续 17题） （续 18题） （续 19题）
18．（本小题满分 17分）
19．（本小题满分 17分）
请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效
·监制 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页）

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