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2025年春季学期高二年级学业水平检测试卷
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 若集合，则集合真子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 15
3. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D. 7
5. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. 25 C. D. 50
7. 如图，已知抛物线的方程为，一束光沿着直线照射在点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 若在上存在唯一的零点，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）为10，7，8，10，x，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ）
A. B. 极差为4 C. 众数为10 D. 平均值为8.5
10. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，其公比为，则（ ）
A. ，，成等比数列 B.
C. D.
11. 已知双曲线的左、右焦点为，，左、右顶点分别为，．若在的右支上，，，且的纵坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，则（ ）
A. 的离心率为2
B. 的两条渐近线的夹角为
C. 过原点可以作的两条切线
D. 直线与交点在直线上
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____，的外接圆的面积为_____.
13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，且与所在直线互相垂直，则该棱台的体积为_____.
14. 已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则取值范围为_____.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知首项为1的正项数列满足.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）求数列的前项和.
16. DeepSeek App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，因而产生了强大的社会效应.公司新开发了一款算法，为了测试该算法在青年人和中年人中的应用效果，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）.
效果 用户 总计
青年人用户人数 中年人用户人数
有效
无效
总计 150 150 300
（1）求出，的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，请判断算法的效果在两组不同年龄段的用户中是否存在差异？
（3）先用分层抽样在所有接受调查的用户中抽取30人得到一个压缩样本，再在的青年人用户中一次性随机抽取3人，求恰有1人的体验效果为有效的概率.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6635 7.879 10.828
17. 如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接.
（1）在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等.
①用一个正的参数写出的方程；
②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若，判断的单调性；
（2）已知有两个零点，.
（i）证明：；
（ii）证明：.
2025年春季学期高二年级学业水平检测试卷
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】AB
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】 ①. ②. ##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）4 （2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）算法的效果在两组不同年龄段的用户中存在差异
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①;②.
【19题答案】
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

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