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2024～2025学年度第二学期期末学业水平检测
高一数学试题
2025．07
本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的虚部为（ ）．
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）．
A. 1 B. 3 C. 8 D. 9
3 已知向量，，若，则（ ）．
A. 4 B. C. 1 D.
4. 已知的面积为，，，则（ ）．
A B. C. D. 1
5. 所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h．“拟柱体”的统一体积公式为（其中L，M，N分别为的上底面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积，如图．在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，点E到底面的距离是2，则该多面体的体积为（ ）．
A. 5 B. C. D. 6
6. 已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则（ ）．
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7. 在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）．
A. B. C. 或2 D. 或2
8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ）．
A.
B. 估计该校学生成绩的众数为70
C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3
D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间
10. 假设，，，则（ ）．
A. A与C互为对立 B. 若，则
C. 若，则 D. 若A，B相互独立，则
11. 已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（ ）．
A. 上底面边长 B. 下底面边长
C. 高为2 D. 体积为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______．
13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为______．
14. 已知三棱锥的体积为V，平面，，，若三棱锥的外接球半径最大值为，则V的最大值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9．
（1）请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
（2）若本科生竞聘成绩样本平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则，．
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
17. 如图，在平面四边形中，是等边三角形，点E，F分别是，的中点，，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
18. 如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，．
（1）若，求点P到平面的距离；
（2）若的面积为8，二面角的大小为．
（ⅰ）求的面积；
（ⅱ）求三棱锥体积的最大值．
19. 在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”．
（1）若，．求字母A正确接收的概率；
（2）若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小．
2024～2025学年度第二学期期末学业水平检测
高一数学试题
2025．07
本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】3
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）8，0.8
（2）平均数为6.5，方差为1.7．
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【19题答案】
【答案】（1）0.48
（2）答案见解析

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