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内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市四校联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若式子 在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．5，12，11 B．6，8，10
C．， 2， D．15，17，18
5．在下列给出的条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　）
A．10 B．14 C．20 D．22
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ）
A．5 B．3 C．2.5 D．2.4
8．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．计算： ．
12．已知，求 ．
13．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，若，，则的周长为 ．
14．如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是 ．
15．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是 ．
16．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 cm．
17．如图，矩形的对角线交于点O，，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 ．

三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
21．如图，在中，平分，于点，是的中点．的延长线与相交于点D，求证：．
22．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长．
23．已知，如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
24．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
25．如图1，在矩形中，，，E是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点G，连接．
(1)求线段的长．
(2)求证：四边形是菱形．
(3)如图2，M、N分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
解：、是最简二次根式，该选项符合题意；
、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、被开方数含开方开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
故选：．
2．C
A.和无法直接相加，故错误，不符合题意；
B. ，而选项结果为，显然不等，故错误，不符合题意；
C. ，化简正确，故正确，符合题意；
D. ，结果为而非，故错误，不符合题意．
故选C．
3．D
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故选：．
4．B
解：A．，而 ，故不是勾股数，不符合题意；
B．，而 ，故是勾股数，符合题意；
C．，均非正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D． ，而 ，故不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
5．B
解：如图：

A、根据，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据，不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、，，
又，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
6．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长为．
故选：B．
7．C
∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
,
点D为斜边AB上的中点,
．
故选C．
8．C
解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
9．D
由折叠得，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在中，，
，
解得，
故选：D．
10．B
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
11．5
根据二次根式的性质（为任意实数），对于，这里，则，
又因为绝对值的定义是：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，是负数，
所以，即．
故答案为：．
12．1
解：由题意可得
解得
∴
∴
故答案为1．
13．15
解：∵在中，D，E，F分别是，，的中点，
∴ ， ， ，
∵，，
，
即的周长为15．
故答案为：15．
14．5．
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
,
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ,
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5．
15．25
解：大正方形的面积是13，
，
小正方形的面积是1，
，
，
，
，
故答案为：25．
16．10
解：已知如图：
∵圆柱底面直径为cm、高BC=12cm，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是cm，BP=6cm，
∴AB=×2×π×=8(cm)，
在Rt△ABP中，AP==10（cm），
∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，
故答案为：10．
17．
解：在矩形中，，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：
18．(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）
．
19．，45
原式
．
当，时
原式．
20．证明见解析.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴AF-OA＝CE-OC，
即OF＝OE，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE＝DF．
21．见解析
证明：平分，于点，
∴，，
又∵，
∴，
，，
∵是的中点，
∴，
．
22．2.2米
解：由题意可得：在中，，米，米，
∴（米），
∴米，
∵米，
∴（米），
∴（米）．
23．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，即，
在和中，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
24．（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
25．(1)；
(2)见解析；
(3)存在，或
（1）解：四边形是矩形，，，
，，
将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
；
（2）证明：由折叠的性质可得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：如图所示，当时，则，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当时，
同理可得，，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
解得；
综上所述，在这样的点N，使是直角三角形，此时或．

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