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2025年上学期高一年级期末联考
数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（ ）
A.，，使得 B.、，使得
C.，，都有 D.、，都有
3.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（ ）
A.9π B. C. D.
4.从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（ ）
A.1.3 B.1.06 C.0.95 D.0.8
5.已知空间中两条不同的直线m，l和三个不同的平面α、β、γ，满足，，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分.
9.对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ）
A.若，满足，且，反向，则 B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为
11.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ）
A.过点E有且只有一条直线与直线AB和都相交
B.过点E有且只有一个平面与直线AB和所成角相等
C.过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为
D.点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设，为纯虚数，则______．
13.若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______．
14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，则周长的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的最值及相应x的值．
16.（15分）2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数；
（2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数；
（3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率．
17.（15分）如图三棱柱中，侧面底面ABC，底面三角形ABC不是直角三角形，．
（1）求证：三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积；
（2）若底面ABC为正三角形，，P为线段BF上一动点，且满足四棱锥的体积为，求平面PAB与平面ABC所成二面角的正切值．
18.（17分）定义在定义域D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数．
（1）已知的定义域为R，且的图象关于直线对称．证明：为型函数；
（2）若，，且为型函数．
①证明：；
②若，对于，，求a的取值范围．
19.（17分）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，且，．
（1）求边c的长度；
（2）求；
（3）设E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．
2025年上学期高一年级期末联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.【答案】B
【解析】显然，，故选B．
2.【答案】D
【解析】将“ ”与“ ”互换，“＝”与“≠”互换，可得否定命题为、，都有，故选D．
3.【答案】C
【解析】记二者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得，故圆锥的表面积，故选C．
4.【答案】A
【解析】显然抽取A队3人，B队2人，整体平均数，故总方差，故选A．
5.【答案】C
【解析】令，，取γ内一点P使得，，由，可得，由可知，同理，而，，，故，故易得“”是“”的充要条件，故选C．
6.【答案】D
【解析】甲前两轮胜利的概率，甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率，于是甲胜利的概率，故选D．
7.【答案】B
【解析】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为，在中，设，则，得，于是，解得，，．由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动，故，可得，故选B．
8.【答案】B
【解析】原方程可化为，而的解为或或，若，则或或e，由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解，当时，，此时有3个实数解，不合题意．当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然．
当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足，故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时，注意到，且，故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意．故选B．
9.【答案】BD
【解析】对于A选项，向量之间无法比较大小，A错误，对于B选项，，B正确，对于C选项，当，时，，，C错误，对于D选项，取平面内三点A，B，C，令，，则，而由可得，D正确，故选BD．
10.【答案】ACD
【解析】对于A选项，由图象可得，解得，A正确，对于B选项，由可得，且由，和可得，B错误，对于C选项，显然，故，C正确，对于D选项，，由偶函数性质可得，，于是，当且仅当时，等号成立，D正确，故选ACD．
11.【答案】ACD
【解析】对于A选项，记点Q为上一点，QE与AB相交于点P，易知此时Q在平面ABE上，而直线与平面ABE有且仅有唯一交点，故有且仅有一个点Q符合条件，于是满足条件的直线有且仅有一条，A正确，
对于B选项，平面，平面BDE均符合要求，B错误，对于C选项，可取BC中点为F，显然，故该截面的面积可等价为梯形的面积，而，，，故由平面几何知识可知该梯形的高为，其面积，C正确，对于D选项，易知，，，平面，平面，故平面，故由可知点Q的轨迹为线段，长度为，D正确，故选ACD．
12.【答案】
【解析】】，由其为纯虚数可知，故填．
13.【答案】
【解析】易知该正三棱柱的高为，不妨记下底面的顶点为A，B，C，易知内切球与外接球的球心重合，记为O，显然的内切圆半径为2，记内切圆圆心为，则，故外接球半径，故外接球体积，故填．
14.【答案】
【解析】显然，由可知，故，而，故，于是的周长，故填．
15.解析：（1）因为
，
所以令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为：，，
（2）因为，所以，
令，则函数在单调递增，在单调递减；
所以时，；
时，；
所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为．
16.解析：（1）由频率分布直方图中数据可知：（人）
（2）成绩小于80的频率为，成绩在的频率为，因为，
所以这100名学生成绩的第85百分位数在内．
所以随机抽取的200名学生成绩的第85百分位数为．
（3）因为成绩在，，的学生人数所占比例为3：2：1，
所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人．
记抽取成绩在的3人为a，b，c，成绩在的2人为d，e成绩在的1人为f．
从这6人中随机抽取3人的所有可能为：
（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），（a，d，f）（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）．
共20种情况，且每种情况的发生是等可能的．
抽取的3人中至少有1人的成绩在：
（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（a，d，e），（a，d，f）（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）．
共16种等可能的情况．
所以抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率为：．
17.解析：（1）证明：过B作，垂足为O，
因为三角形ABC不是直角三角形，所以O与A，C不重合，
又因为侧面底面ABC，
所以面ACFD，所以，
又∵，，∴，而，
所以面ABC，即三棱柱为直三棱柱，
设侧面面积分别为，，，则由于三棱柱为直三棱柱，
所以，，，
又∵，，，
∴，，，
所以三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积；
（2）解：过P作，垂足为N，过N作，
垂足为M，连接PM，易知面ABC，所以，
又因为，所以面PMN，所以，
即为平面PAB与平面ABC所成平面角；
设P到平面ACFD的距离为h，因为，
即得，可知P为线段BF的中点，则N为线段BC的中点，
所以，，
在中，
所以平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角的正切值为．
18.解析：（1）因为的图象关于直线对称，定义域为R，
所以，∴，
所以为型函数；
（2）①因为为型函数，
所以存在实数m，使得为奇函数，即有
∴成立，
又因为，
所以代入整理得：，
即，
又因为，当且仅当时取等号，
所以不恒为0，则，
所以，而，
所以；
②当时，，
又因为成立，
所以，
∴，即，
所以，
令，则，（），
所以，
即，令（），
则，而，
当且仅当时取等号；∴；
所以a的取值范围为．
19.解析：（1）∵，
由余弦定理：，
∵，∴．
（2）在中，由正弦定理可得：
（1）
在△ADC中，由正弦定理可得：
，∵，（2）
将（1）、（2）两式相除可得：．
若为钝角，则，
在三角形ADC中，由余弦定理得：
在三角形ABD中，由余弦定理得：
∴
，显然与已知矛盾．
∴为锐角，．∴，
又，．
∴，
∵为三角形内角，∴．
（3）设，，（λ，）
∴，，
，
∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得，
，
．
∴
，
∵，而，
∴，∴．

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