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第3节　万有引力理论的成就(赋能课精细培优科学思维)
课标要求 层级达标
1.认识发现万有引力定律的重要意义。 2.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 学考层级 1.理解“称量”地球质量的基本思路。 2.理解计算太阳质量的基本思路。
选考层级 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星回归。 2.能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
一、“称量”地球的质量
1.思路:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于　　　　　　　。
2.关系式:mg=G。
3.地球的质量:m地=　　　　,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
[微点拨]
　　卡文迪什测出引力常量G,也就意味着称出了地球的质量。
二、计算天体的质量
1.太阳质量的计算
(1)依据:设m太是太阳的质量,m是某个行星的质量,r是行星与太阳之间的距离,行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,即　　　　　=mω2r,ω=。
(2)结论:m太=　　　　　,测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r,就可以算出太阳的质量。
2.行星质量的计算:如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离,可计算行星的质量。
[情境思考]
　　如图是我们测量物体质量的常用工具,地球这么大,我们如何“称量”地球的质量呢 卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生　　　　和法国年轻的天文学家　　　　,根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的　　　在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.预言哈雷彗星回归
英国天文学家　　　,依据万有引力定律计算彗星的轨道,准确预言了彗星的回归时间。
3.意义:　　　　的发现和　　　　　的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
[质疑辨析]
　　判断下列说法是否正确。
(1)“笔尖下发现的行星”是冥王星。 (　　)
(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。 (　　)
(3)英国天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归时间。 (　　)
强化点(一)　天体质量和密度的计算
[要点释解明]
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力,得mg=G,解得天体的质量为M=,g、R是天体自身的参量,所以该方法俗称“自力更生法”。
　　特别提醒:若天体表面的重力加速度g未直接给出,一般可以让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动,从而计算出该天体表面的重力加速度。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外援法”。常见的情况如下:
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v 轨道半径r G=m M=
角速度ω 轨道半径r G=mrω2 M=
周期T 轨道半径r G=mr M=
2.天体密度的计算
若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入上式可得ρ=。
当卫星环绕天体表面附近运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=。
　　[典例]　半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T,已知引力常量为G,求该天体的质量和密度。
尝试解答:
[变式拓展]　在[典例]中,假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星,它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
[思维建模]
1.明确中心天体质量的求解
根据行星的轨道半径r和运行周期T,求出的是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量。
2.明确天体半径与轨道半径的区别
为了正确并清楚地运用天体半径与轨道半径,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用r表示,这样就可以避免代错数据;只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时,如近地卫星,轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
　
[题点全练清]
1.(2024·济宁高一检测)天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据,根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G,用M表示月球的质量。关于月球质量,下列正确的是 (　　)
A.M=　　　　　 B.M=
C.M= D.M=
2.(多选)已知月球半径为R,地心与月球中心之间的距离为r,月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T1,嫦娥六号飞船绕月球表面的运行周期为T2,引力常量为G,由以上条件可知正确的选项是 (　　)
A.地球质量为
B.月球质量为
C.地球的密度为
D.月球的密度为
强化点(二)　天体运行参量的分析
[要点释解明]
1.基本分析思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
2.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r 的关系 G=m v= r越大, v越小
ω与r 的关系 G=mrω2 ω= r越大, ω越小
T与r 的关系 G=mr T=2π r越大, T越大
a与r 的关系 G=ma a= r越大, a越小
　　
[典例]　火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的 (　　)
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
听课记录:
[题点全练清]
1.(2023·广东1月学考)中国空间站运行轨道近似为圆形。为补充物资,货运飞船需定期与空间站交会对接,对接后形成的组合体仍在原轨道运行。与对接前的空间站相比,组合体运行 (　　)
A.周期变大
B.线速度变大
C.向心加速度变大
D.所需的向心力变大
2.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是 (　　)
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
第3节　万有引力理论的成就
一、1.地球对物体的引力　3.
二、1.(1)G　(2)
[情境思考]
提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝G，可得m地＝。
三、1.亚当斯　勒维耶　伽勒　2.哈雷　3.海王星　哈雷彗星　
[质疑辨析]
(1)×　(2)√　(3)√
强化点(一)
[典例]　解析：设卫星的质量为m0，天体的质量为M，卫星距天体表面的高度为h时，由万有引力提供向心力有
G＝m0(R＋h)
则该天体的质量M＝
则该天体的密度ρ＝＝＝。
答案：　
[变式拓展]　解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M′，
卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，
则该天体的质量M′＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝。
答案：　
[题点全练清]
1．选A　在月球表面，物体的重力与月球对物体的引力相等，则有G＝mg，可得月球的质量为M＝，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动时，根据地球对月球的万有引力提供向心力得＝Mr，r表示月球绕地球运转的轨道半径，可得地球的质量M地＝，无法求月球质量，故C、D错误。
2．选AD　月球绕地球做匀速圆周运动，由地球对月球的万有引力提供向心力得G＝m月r，解得地球的质量m地＝，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；设嫦娥六号飞船的质量为m0，嫦娥六号飞船绕月球表面运行，由月球对嫦娥六号飞船的万有引力提供向心力得G＝m0R，解得月球的质量m月＝，则月球的密度ρ＝＝＝，D正确。
强化点(二)
[典例]　选C　火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A错误；火星和地球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝ ，所以火星与地球线速度大小之比为∶，角速度大小之比为2∶3，向心加速度大小之比为4∶9，故B、D错误，C正确。
[题点全练清]
1．选D　与对接前的空间站相比，组合体运行的轨道半径不变，根据F向＝G＝m＝mr＝ma，可得T＝2π ，v＝，a＝，可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变，因组合体的质量变大，则所需的向心力变大，故选D。
2．选C　根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知该卫星与月球的向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球的质量不一定相等，则该卫星与月球的向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
5 / 6(共64张PPT)
万有引力理论的成就
(赋能课——精细培优科学思维)
第 3 节
课标要求 层级达标 1.认识发现万有引力定律的重要意义。 2.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。 学考层级 1.理解“称量”地球质量的基本思路。
2.理解计算太阳质量的基本思路。
选考层级 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星回归。
2.能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
1
课前预知教材
2
课堂精析重难
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材
一、“称量”地球的质量
1.思路:若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力mg等于__________________。
2.关系式:mg=G。
3.地球的质量:m地=______,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
地球对物体的引力
[微点拨]
　　卡文迪什测出引力常量G,也就意味着称出了地球的质量。
二、计算天体的质量
1.太阳质量的计算
(1)依据:设m太是太阳的质量,m是某个行星的质量,r是行星与太阳之间的距离,行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,即________=mω2r,ω=。
G
(2)结论:m太=________,测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r,就可以算出太阳的质量。
2.行星质量的计算:如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离,可计算行星的质量。
[情境思考]
如图是我们测量物体质量的常用工具,地球这么大,我们如何“称量”地球的质量呢 卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么
提示:若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力,因为地球表面的重力加速度g已知,地球的半径R已知,由mg=G,可得m地=。
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现
英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家_________,根据天王星的观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚,德国的_____在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
亚当斯
勒维耶
伽勒
2.预言哈雷彗星回归
英国天文学家_____,依据万有引力定律计算彗星的轨道,准确预言了彗星的回归时间。
3.意义________的发现和__________的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
哈雷
海王星
哈雷彗星
[质疑辨析]
判断下列说法是否正确。
(1)“笔尖下发现的行星”是冥王星。 ( )
(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正
确性。 ( )
(3)英国天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归时间。 ( )
×
√
√
课堂精析重难
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g,根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力,得mg=G,解得天体的质量为M=,g、R是天体自身的参量,所以该方法俗称“自力更生法”。
强化点(一)　天体质量和密度的计算
要点释解明
特别提醒:若天体表面的重力加速度g未直接给出,一般可以让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动,从而计算出该天体表面的重力加速度。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量,俗称“借助外援法”。常见的情况如下:
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v 轨道半径r
角速度ω 轨道半径r
周期T 轨道半径r
2.天体密度的计算
若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入上式可得ρ=。
当卫星环绕天体表面附近运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=。
[典例]　半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T,已知引力常量为G,求该天体的质量和密度。
[答案]　　
[解析]　设卫星的质量为m0,天体的质量为M,卫星距天体表面的高度为h时,由万有引力提供向心力有G=m0(R+h)
则该天体的质量M=
则该天体的密度ρ===。
[变式拓展]　在[典例]中,假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星,它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
答案:　
解析:设卫星的质量为m,天体的质量为M',
卫星贴近天体表面运动时有G=mR,
则该天体的质量M'=
天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ==。
[思维建模]
1.明确中心天体质量的求解
根据行星的轨道半径r和运行周期T,求出的是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量。
2.明确天体半径与轨道半径的区别
为了正确并清楚地运用天体半径与轨道半径,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半径用R表示,轨道半径用r表示,这样就可以避免代错数据;只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时,如近地卫星,轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1.(2024·济宁高一检测)天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据,根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G,用M表示月球的质量。关于月球质量,下列正确的是 (　　)
A.M=　　　　　　 B.M=
C.M= D.M=
题点全练清
√
解析:在月球表面,物体的重力与月球对物体的引力相等,则有G=mg,可得月球的质量为M=,故A正确,B错误;月球绕地球做圆周运动时,根据地球对月球的万有引力提供向心力得=Mr,r表示月球绕地球运转的轨道半径,可得地球的质量M地=,无法求月球质量,故C、D错误。
2.(多选)已知月球半径为R,地心与月球中心之间的距离为r,月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T1,嫦娥六号飞船绕月球表面的运行周期为T2,引力常量为G,由以上条件可知正确的选项是 (　　)
A.地球质量为 B.月球质量为
C.地球的密度为 D.月球的密度为
√
√
解析:月球绕地球做匀速圆周运动,由地球对月球的万有引力提供向心力得G=m月r,解得地球的质量m地=,A正确,B错误;地球的半径未知,所以无法求解地球的密度,C错误;设嫦娥六号飞船的质量为m0,嫦娥六号飞船绕月球表面运行,由月球对嫦娥六号飞船的万有引力提供向心力得G=m0R,解得月球的质量m月=,则月球的密度ρ===,D正确。
1.基本分析思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
要点释解明
强化点(二)　天体运行参量的分析
2.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r 的关系 r越大,
v越小
ω与r 的关系 r越大,
ω越小
T与r 的关系 r越大,
T越大
a与r 的关系 r越大,
a越小
[典例]　火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的 (　　)
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
√
[解析]　火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比,A错误;火星和地球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=ma=m=mω2r,解得a=,v= ,ω= ,所以火星与地球线速度大小之比为∶,角速度大小之比为2∶3,向心加速度大小之比为4∶9,故B、D错误,C正确。
1.(2023·广东1月学考)中国空间站运行轨道近似为圆形。为补充物资,货运飞船需定期与空间站交会对接,对接后形成的组合体仍在原轨道运行。与对接前的空间站相比,组合体运行 (　　)
A.周期变大　　　　　　 B.线速度变大
C.向心加速度变大 D.所需的向心力变大
题点全练清
√
解析:与对接前的空间站相比,组合体运行的轨道半径不变,根据F向=G=m=mr=ma,可得T=2π ,v=,a=,可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变,因组合体的质量变大,则所需的向心力变大,故选D。
2.(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是 (　　)
A.质量　　　　　 B.向心力大小
C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小
√
解析:根据G=ma,可得a=,因该卫星与月球的轨道半径相同,可知该卫星与月球的向心加速度大小相同;因该卫星的质量与月球的质量不一定相等,则该卫星与月球的向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。
课时跟踪检测
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12
(选择题1~8小题,每小题4分;10~11小题,每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,已知其运动周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为(　　)
A.　 B.
C. D.
√
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12
解析:设该行星的质量为M,半径为R,飞船绕该行星表面做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有G=mR,解得M=,则该行星的平均密度为ρ===,故选D。
1
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2.(选自教科版教材“自我评价”)(多选)已知引力常量G和下列某组数据,就能计算出地球的质量。这组数据是 (　　)
A.地球绕太阳运行的周期及地球与太阳之间的距离
B.月球绕地球运行的周期及月球与地球之间的距离
C.人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D.若不考虑地球自转,已知地球的半径及重力加速度
2
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√
√
√
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解析:地球绕太阳运行时,中心天体为太阳,不可以计算地球的质量,A错误;由G=m=mr,可得M==,又r=,知道月球绕地球运行的周期及月球到地球的距离或知道人造地球卫星在地面附近绕行的速度和周期,均可计算出地球的质量,B、C正确;若不考虑地球自转,由地面上的物体所受的重力近似等于地球对物体的引力,有mg=G,得M=,已知地球半径及重力加速度,便可计算出地球的质量,D正确。
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3.(2024·济南高一检测)某国际科研团队发现了两颗距离地球约100光年的类地新行星,其中一颗可能适合生命生存,被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍,绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天,公转轨道半径约为日、地之间距离的,则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的(　　)
A.　　　 B.
C.　　　 D.
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解析:由万有引力提供向心力得G=mr,可得M=,故==≈,故选A。
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4.金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
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√
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解析:金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力,则有G=man=m,解得an=G,v=,结合题中R金a地>a火,v金>v地>v火,故A正确,B、C、D错误。
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5.已知M、N两星球的半径之比为2∶1,在星球
表面竖直上抛物体时,其上升的最大高度h与初速度
的二次方v2的关系如图所示(不计空气阻力),则M、
N两星球的密度之比为 (　　)
A.1∶1 B.1∶4
C.1∶8 D.1∶16
2
3
4
√
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5
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12
解析:由竖直上抛运动规律和题图可知=2gM·2h0,=2gN·h0,所以gM∶gN=1∶2,根据星球表面物体所受的重力近似等于星球对物体的引力有mg=,又由ρ=,V=πR3,可得ρ=,则ρM∶ρN=∶=·=,故选B。
2
3
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1
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6.(2024·周口高一检测)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响,则航天器的 (　　)
A.线速度v= B.运行周期T=2π
C.角速度ω= D.向心加速度a=
2
3
4
√
1
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解析:探月航天器与月球之间的万有引力提供探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动的向心力,由牛顿第二定律有=m,解得v=,故A错误;探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动时,探月航天器受到的重力近似等于万有引力,则有=mg=mR=mRω2=ma,解得T=2π,ω=,a=,故B正确,C、D错误。
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7.假设某航天员到达一自转较慢的星球后,在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落,测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍,地球表面重力加速度g=10 m/s2,该星球的质量和地球质量的比值为 (　　)
A.100∶1 B.75∶1
C.125∶1 D.150∶1
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
解析:依题意,可求得该星球表面重力加速度大小为g'==50 m/s2,在星球表面由万有引力等于重力可得G=mg',在地球表面由万有引力等于重力可得G=mg,可得该星球的质量和地球质量的比值==,C正确,A、B、D错误。
2
3
4
1
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8
9
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11
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8.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 (　　)
A. B.
C. D.(1+k)3
2
3
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√
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8
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10
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12
解析:设月球的半径为R,质量为M,对嫦娥六号分析,根据万有引力提供向心力有G=m·(k+1)R,月球的体积V=πR3,月球的平均密度ρ=,联立可得ρ=(1+k)3。故选D。
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9.(12分)两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动,已知它们的轨道半径之比r1∶r2=4∶1,求这两颗卫星的:
(1)线速度大小之比;
答案: 1∶2　
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解析:地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力,设地球的质量为M,两卫星的质量分别为m1、m2,线速度大小分别为v1、v2,由牛顿第二定律得G=m1
G=m2
可得===1∶2。
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(2)角速度之比;
答案:1∶8　
解析:由角速度与线速度的关系ω=,得两卫星的角速度分别为ω1=
ω2=
可得==×=1∶8。
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(3)向心加速度大小之比。
答案:1∶16
解析:由向心加速度的公式a=rω2,得两卫星的向心加速度大小分别为
a1=r1
a2=r2
可得==×4=1∶16。
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B级——选考进阶
10.(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
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√
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解析:根据万有引力公式=mr,整理得M=,因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等,故=,故选D。
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11.(多选)我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)已发现多颗毫秒脉冲星,若某毫秒脉冲星自转周期为T,半径为R。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为G。下列说法正确的是 (　　)
A.无法计算该星体的质量
B.可以计算该星体的密度
C.该星体的质量M=
D.该星体的最小密度ρ=
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√
√
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解析:在星球上的物体随着星球自转时的向心力为万有引力的一个分量,即万有引力大于等于向心力,根据牛顿第二定律有G≥m··R,解得M≥,可得该星体最小质量为Mmin=,又因为有V=πR3,可得该星体的最小密度为ρmin==,综上,无法计算该星体的质量和密度,可以计算该星体的最小质量和最小密度,故A、D正确。
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12.(14分)(2024·江苏常州高一阶段练习)假设航天员在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图所示。已知引力常量为G,星球M的半径为R。求:
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(1)弹簧的劲度系数;
答案:
解析:由题图可知,当弹簧压缩量为0时,M星球表面上的重力加速度g=3a0
当弹簧的压缩量为x0时,物体的加速度为0,则弹簧的弹力F=mg,所以弹簧的劲度系数
k==。
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(2)星球M的密度。
答案:
解析:对星球表面的物体,有=mg
解得星球的质量M==
又M=ρ·,联立解得星球的密度ρ=。
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4课时跟踪检测(十三)　万有引力理论的成就
(选择题1～8小题，每小题4分；10～11小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级——学考达标
1．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其运动周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
2．(选自教科版教材“自我评价”)(多选)已知引力常量G和下列某组数据，就能计算出地球的质量。这组数据是(　　)
A．地球绕太阳运行的周期及地球与太阳之间的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球与地球之间的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
3．(2024·济南高一检测)某国际科研团队发现了两颗距离地球约100光年的类地新行星，其中一颗可能适合生命生存，被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍，绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天，公转轨道半径约为日、地之间距离的，则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的(　　)
A. B.
C. D.
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火。由此可以判定(　　)
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
5.已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度的二次方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，则M、N两星球的密度之比为(　　)
A．1∶1 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
6．(2024·周口高一检测)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　　)
A．线速度v＝
B．运行周期T＝2π
C．角速度ω＝
D．向心加速度a＝
7．假设某航天员到达一自转较慢的星球后，在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落，测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，该星球的质量和地球质量的比值为(　　)
A．100∶1 B．75∶1
C．125∶1 D．150∶1
8．(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.(1＋k)3
9．(12分)两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的：
(1)线速度大小之比；
(2)角速度之比；
(3)向心加速度大小之比。
B级——选考进阶
10．(2024·山东高考)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
11．(多选)我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)已发现多颗毫秒脉冲星，若某毫秒脉冲星自转周期为T，半径为R。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．无法计算该星体的质量
B．可以计算该星体的密度
C．该星体的质量M＝
D．该星体的最小密度ρ＝
12．(14分)(2024·江苏常州高一阶段练习)假设航天员在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图所示。已知引力常量为G，星球M的半径为R。求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)星球M的密度。
课时跟踪检测(十三)
1．选D　设该行星的质量为M，半径为R，飞船绕该行星表面做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝mR，解得M＝，则该行星的平均密度为ρ＝＝＝，故选D。
2．选BCD　地球绕太阳运行时，中心天体为太阳，不可以计算地球的质量，A错误；由G＝m＝mr，可得M＝＝，又r＝，知道月球绕地球运行的周期及月球到地球的距离或知道人造地球卫星在地面附近绕行的速度和周期，均可计算出地球的质量，B、C正确；若不考虑地球自转，由地面上的物体所受的重力近似等于地球对物体的引力，有mg＝G，得M＝，已知地球半径及重力加速度，便可计算出地球的质量，D正确。
3．选A　由万有引力提供向心力得G＝mr，可得M＝，故＝＝≈，故选A。
4．选A　金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝man＝m，解得an＝G，v＝，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，故A正确，B、C、D错误。
5．选B　由竖直上抛运动规律和题图可知v＝2gM·2h0，v＝2gN·h0，所以gM∶gN＝1∶2，根据星球表面物体所受的重力近似等于星球对物体的引力有mg＝，又由ρ＝，V＝πR3，可得ρ＝，则ρM∶ρN＝∶＝·＝，故选B。
6．选B　探月航天器与月球之间的万有引力提供探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有＝m，解得v＝，故A错误；探月航天器绕月球表面做匀速圆周运动时，探月航天器受到的重力近似等于万有引力，则有＝mg＝mR＝mRω2＝ma，解得T＝2π，ω＝ ，a＝，故B正确，C、D错误。
7．选C　依题意，可求得该星球表面重力加速度大小为g′＝＝50 m/s2，在星球表面由万有引力等于重力可得G＝mg′，在地球表面由万有引力等于重力可得G＝mg，可得该星球的质量和地球质量的比值＝＝，C正确，A、B、D错误。
8．选D　设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。故选D。
9．解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M，两卫星的质量分别为m1、m2，线速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得G＝m1
G＝m2
可得＝＝＝1∶2。
(2)由角速度与线速度的关系ω＝，得两卫星的角速度分别为ω1＝
ω2＝
可得＝＝×＝1∶8。
(3)由向心加速度的公式a＝rω2，得两卫星的向心加速度大小分别为a1＝r1ω
a2＝r2ω
可得＝＝2×4＝1∶16。
答案：(1)1∶2　(2)1∶8　(3)1∶16
10．选D　根据万有引力公式＝mr，整理得M＝，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故＝，故选D。
11．选AD　在星球上的物体随着星球自转时的向心力为万有引力的一个分量，即万有引力大于等于向心力，根据牛顿第二定律有G≥m··R，解得M≥，可得该星体最小质量为Mmin＝，又因为有V＝πR3，可得该星体的最小密度为ρmin＝＝，综上，无法计算该星体的质量和密度，可以计算该星体的最小质量和最小密度，故A、D正确。
12．解析：(1)由题图可知，当弹簧压缩量为0时，M星球表面上的重力加速度g＝3a0
当弹簧的压缩量为x0时，物体的加速度为0，则弹簧的弹力F＝mg，所以弹簧的劲度系数k＝＝。
(2)对星球表面的物体，有＝mg
解得星球的质量M＝＝
又M＝ρ·，联立解得星球的密度ρ＝。
答案：(1)　(2)
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