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综合·融通　天体运动中的三类典型问题
　　　　(融会课主题串知综合应用)
　　本课时学习天体运动中的三类典型问题:静止卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较,卫星的变轨与对接问题,双星、多星问题。通过本课时的学习要明确赤道上的物体、静止卫星、近地卫星之间的区别与联系;知道卫星变轨的原因,会分析卫星变轨前后的物理量变化;掌握双星及多星运动的特点,会分析解决相关问题。
　　　　　　　　　　　　　　　　
主题(一)　静止卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较
　　如图所示,a为近地卫星,轨道半径为r1;b为静止卫星,轨道半径为r2;c为赤道上随地球自转的物体,轨道半径为r3。
比较 项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 静止卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道 半径 r2>r1=r3
角速度 由G=mω2r得ω=,故ω1>ω2 静止卫星的角速度与地球自转角速度相同,故ω2=ω3
ω1>ω2=ω3
线速度 由G=m得v=,故v1>v2 由v=rω得 v2>v3
v1>v2>v3
向心 加速度 由G=ma得a=, 故a1>a2 由a=ω2r得 a2>a3
a1>a2>a3
　　
[例1]　(2024·北京高一阶段练习)如图所示,a为放在赤道上相对地球静止随地球自转的物体,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的同步卫星。地球是半径为R的均匀球体,同步卫星的轨道半径为r。下列说法中正确的是 (　　)
A.b卫星运动的线速度大于7.9 km/s
B.a做匀速圆周运动的加速度大小等于g
C.a、b做匀速圆周运动的向心加速度大小之比为
D.在a、b、c中,b的动能最大
听课记录:
　　[针对训练]
1.(多选)地球同步卫星与地心的距离为r,运行速率为v1,向心加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列关系式正确的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
主题(二)　卫星的变轨与对接问题
1.卫星变轨问题
卫星变轨时,先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化,进而使轨道半径r发生变化。
(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m减小,万有引力大于所需的向心力,卫星将做近心运动,向低轨道变迁。
(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,卫星将做离心运动,向高轨道变迁。
以上两点是比较椭圆轨道和圆轨道切点速度的依据。
特别提醒:卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时,受到的万有引力相同,所以加速度相同。
2.飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道航天器对接
如图甲所示,低轨道飞船通过合理地加速,沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道航天器与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与航天器对接
如图乙所示,后面的飞船先减速降低高度,再加速提升高度,通过适当控制,使飞船追上航天器时恰好具有相同的速度。
　　[例2]　2024年4月25日,长征二号F遥十八运载火箭将“神舟十八号”载人
飞船精准送入预定轨道。“神舟十八号”与火箭分离后,将进行多次变轨,与中国空间站进行径向交会对接。如图所示为“神舟十八号”对接前变轨过程的简化示意图,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴,“神舟十八号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的空间站实施对接。下列说法正确的是 (　　)
A.“神舟十八号”两次变轨过程中均需要点火减速
B.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期
C.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于空间站经过C点时的速率
D.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于空间站在C点时的加速度
听课记录:
[思维建模]
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道上的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时,可根据开普勒第二定律判断,即离中心天体越远,速度越小。
(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时,可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时,可根据a==G判断。
　　[针对训练]
2.(2024·安徽高考)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时 (　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
主题(三)　双星、多星问题
1.双星模型
(1)如图所示,宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球,它们离其他星球都较远,其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下,它们将围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动,通常,我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动,两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即r1+r2=L,两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法:双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力,即=m1ω2r1,=m2ω2r2。
2.多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统,在多星系统中:
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
　　[例3]　两个靠得很近的天体,离其他天体非常遥远,它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动,两者的距离保持不变,科学家把这样的两个天体称为“双星”,如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2,它们之间的距离为L,引力常量为G,求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
尝试解答:
　　[针对训练]
3.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则 (　　)
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
综合·融通　天体运动中的三类典型问题
主题(一)
[例1]　选C　由万有引力提供向心力有＝m，可知b卫星运动的线速度等于7.9 km/s，故A错误；a为放在赤道上相对地球静止随地球自转的物体，其做匀速圆周运动的加速度a＝R，其值远小于g，故B错误；设a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小分别为aa、ab 、ac，由题可知a、c具有相同的角速度，根据a＝rω2，可得aa∶ac＝R∶r，对于b、c由万有引力提供向心力有＝ma，可得ab∶ac＝r2∶R2，故a、b做匀速圆周运动的向心加速度大小之比为3，故C正确；由万有引力提供向心力有＝m，可得vb>vc，由v＝rω，可知b的线速度最大，由于不知道卫星的质量，所以无法判断它们动能的大小，故D错误。
[针对训练]
1．选AD　对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，根据G＝m，可得 ＝。对于地球同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，根据an＝ω2r，可得＝。故选A、D。
主题(二)
[例2]　选B　飞船从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟十八号”两次变轨过程中均需要点火加速，A错误；由于“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于空间站的轨道半径，根据开普勒第三定律＝k，可知“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期，B正确；“神舟十八号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速，故“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于空间站经过C点时的速率，C错误；由万有引力提供向心力有＝ma，得a＝，可知“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度等于空间站在C点时的加速度，D错误。
[针对训练]
2．选B　冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，解得在捕获轨道运行周期T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
主题(三)
[例3]　解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1有＝m1r1ω2
对m2有＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由＝m1r1
解得周期T＝2πL。
答案：r1＝　r2＝　T＝2πL
[针对训练]
3．选AC　任意两颗星体之间的万有引力为F＝，每一颗星体受到的合力为F1＝2Fcos 30°＝F＝，由几何关系知，每一颗星体做匀速圆周运动的半径为r＝R，根据牛顿第二定律可得＝m＝mr＝mω2r＝ma，解得v＝，T＝2π，ω＝，a＝，故加速度与它们的质量有关，故A、C正确，B、D错误。
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天体运动中的三类典型问题
(融会课——主题串知综合应用)
综合 融通
本课时学习天体运动中的三类典型问题:静止卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较,卫星的变轨与对接问题,双星、多星问题。通过本课时的学习要明确赤道上的物体、静止卫星、近地卫星之间的区别与联系;知道卫星变轨的原因,会分析卫星变轨前后的物理量变化;掌握双星及多星运动的特点,会分析解决相关问题。
1
主题(一)　静止卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较
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主题(二)　卫星的变轨与对接问题
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主题(三)　双星、多星问题
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课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一)　静止卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较
如图所示,a为近地卫星,轨道半径为r1;b为静止卫星,轨道半径为r2;c为赤道上随地球自转的物体,轨道半径为r3。
比较 项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 静止卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3 角速度 静止卫星的角速度与地球自转角速度相同,故ω2=ω3 ω1>ω2=ω3 线速度 由v=rω得v2>v3
v1>v2>v3 向心 加速度 由a=ω2r得a2>a3
a1>a2>a3 续表
[例1]　(2024·北京高一阶段练习)如图所示,a为放在赤道上相对地球静止随地球自转的物体,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径),c为地球的同步卫星。地球是半径为R的均匀球体,同步卫星的轨道半径为r。下列说法中正确的是 (　　)
A.b卫星运动的线速度大于7.9 km/s
B.a做匀速圆周运动的加速度大小等于g
C.a、b做匀速圆周运动的向心加速度大小之比为
D.在a、b、c中,b的动能最大
√
[解析]　由万有引力提供向心力有=m,可知b卫星运动的线速度等于7.9 km/s,故A错误;a为放在赤道上相对地球静止随地球自转的物体,其做匀速圆周运动的加速度a=R,其值远小于g,故B错误;设a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小分别为aa、ab 、ac,由题可知a、c具有相同的角速度,根据a=rω2,可得aa∶ac=R∶r,对于b、c由万有引力提供向
心力有=ma,可得ab∶ac=r2∶R2,故a、b做匀速圆周运动的向心加速度大小之比为,故C正确;由万有引力提供向心力有=m,可得vb>vc,由v=rω,可知b的线速度最大,由于不知道卫星的质量,所以无法判断它们动能的大小,故D错误。
[针对训练]
1.(多选)地球同步卫星与地心的距离为r,运行速率为v1,向心加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列关系式正确的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
√
√
解析:对于卫星,其共同特点是万有引力提供向心力,根据G=m,可得 =。对于地球同步卫星和地球赤道上的物体,其共同特点是角速度相等,根据an=ω2r,可得=。故选A、D。
主题(二)　卫星的变轨与对接问题
1.卫星变轨问题
卫星变轨时,先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化,进而使轨道半径r发生变化。
(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m减小,万有引力大于所需的向心力,卫星将做近心运动,向低轨道变迁。
(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,卫星将做离心运动,向高轨道变迁。
以上两点是比较椭圆轨道和圆轨道切点速度的依据。
特别提醒:卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时,受到的万有引力相同,所以加速度相同。
2.飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道航天器对接
如图甲所示,低轨道飞船通过合理地加速,沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道航天器与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与航天器对接
如图乙所示,后面的飞船先减速降低高度,再加速提升高度,通过适当控制,使飞船追上航天器时恰好具有相同的速度。
[例2]　2024年4月25日,长征二号F遥十八运载火箭将“神舟十八号”载人飞船精准送入预定轨道。“神舟十八号”与火箭分离后,将进行多次变轨,与中国空间站进行径向交会对接。如图所示为“神舟十八号”对接前变轨过程的简化示意图,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴,“神舟十八号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的空间站实施对接。下列说法正确的是 (　　)
A.“神舟十八号”两次变轨过程中均需要点火减速
B.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期
C.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于空间站经过C点时的速率
D.“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于空间站在C点时的加速度
√
[解析]　飞船从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速,故“神舟十八号”两次变轨过程中均需要点火加速,A错误;由于“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于空间站的轨道半径,根据开普勒第三定律=k,可知“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期,B正确;“神舟十八号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速,故“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于空间站经过C点时的速率,C错误;由万有引力提供向心力有=ma,得a=,可知“神舟十八号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度等于空间站在C点时的加速度,D错误。
[思维建模]
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道上的运行速度大小时,可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时,可根据开普勒第二定律判断,即离中心天体越远,速度越小。
(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时,可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时,可根据a==G判断。
[针对训练]
2.(2024·安徽高考)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9 900 km,周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
√
解析:冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,解得在捕获轨道运行周期T2=T1≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,近月点的速度大于远月点的速度,B正确;鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动,在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误。
主题(三)　双星、多星问题
1.双星模型
(1)如图所示,宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球,它们离其他星球都较远,其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下,它们将围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动,通常,我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动,两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即r1+r2=L,两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法:双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力,即=m1ω2r1,=m2ω2r2。
2.多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统,在多星系统中:
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
[例3]　两个靠得很近的天体,离其他天体非常遥远,它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动,两者的距离保持不变,科学家把这样的两个天体称为“双星”,如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2,它们之间的距离为L,引力常量为G,求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
[答案]　r1=　r2=
T=2πL
[解析]　双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力,
对m1有=m1r1ω2
对m2有=m2r2ω2,
且r1+r2=L
解得r1=,r2=
由=m1r1
解得周期T=2πL。
[针对训练]
3.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则(　　)
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
√
√
解析:任意两颗星体之间的万有引力为F=,每一颗星体受到的合力为F1=2Fcos 30°=F=,由几何关系知,每一颗星体做匀速圆周运动的半径为r=R,根据牛顿第二定律可得=m=mr=
mω2r=ma,解得v=,T=2π,ω=,a=,故加速度与它们的质量有关,故A、C正确,B、D错误。
课时跟踪检测
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(选择题1~10小题,每小题5分。本检测卷满分70分)
1.神舟十六号载人飞船从核心舱下方采用“径向对接”的方式实现对接,“径向对接”指两对接口在地球半径的延长线上,对接前两者要在间隔一定距离的位置保持相对静止一段时间,如图所示,之后飞船再向上逐步接近核心舱实现对接,则(　　)
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A.相对静止时,飞船的速度大于核心舱的速度
B.相对静止时,飞船的向心加速度大于核心舱的向心加速度
C.飞船通过加速逐步向上靠近核心舱
D.速度大于7.9 km/s才能最终靠近核心舱
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解析:由题意可知,飞船与核心舱相对静止时,飞船的角速度与核心舱的角速度相等,根据v=ωr,a=ω2r,由于飞船的轨道半径小于核心舱的轨道半径,则飞船的速度小于核心舱的速度,飞船的向心加速度小于核心舱的向心加速度,故A、B错误;飞船逐步向上靠近核心舱时,r逐渐增大,则线速度逐渐增大,即飞船通过加速逐步向上靠近核心舱,故C正确;7.9 km/s是地球第一宇宙速度,是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度,而核心舱的线速度小于7.9 km/s,故飞船靠近核心舱的速度不需要大于7.9 km/s,故D错误。
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2.(2024·银川高一阶段练习)(多选)我国“神舟十八号”载人飞船的发射过程简化图如图所示:先由“长征”运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道Ⅰ,在远地点B将飞船送入预定圆轨道Ⅱ。下列说法正确的是 (　　)
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A.飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于超重状态
B.飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至B处时加速度相等
C.飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期相等
D.飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于第一宇宙速度
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解析:飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态,A错误;根据万有引力提供向心力有=ma,得a=,可知飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至B处时加速度相等,B正确;根据开普勒第三定律=k,飞船在轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半径不等,则运行的周期不相等,C错误;飞船在轨道Ⅰ上的B处加速才能进入轨道Ⅱ,可知飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于飞船在轨道Ⅱ的速度,根据G=m,v=,可知飞船在轨道Ⅱ的速度小于第一宇宙速度,从而可知飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于第一宇宙速度,D正确。
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3.未来人类将建立月球基地,并在绕月轨道上建造空间站。如图所示,关闭发动机的航天器在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近,并将在椭圆轨道的近月点B处与空间站对接。已知空间站绕月轨道半径为r,周期为T,引力常量为G。那么以下判断正确的是 (　　)
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A.航天器在由A处飞向B处时做减速运动
B.航天器到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速
C.月球的质量为M=
D.月球的第一宇宙速度为v=
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解析:航天器在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近,则速度增加,A错误;航天器到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速制动,B错误;根据G=mr,可得月球的质量M=,C正确;空间站的线速度为v=,因空间站轨道半径大于月球的半径,则月球的第一宇宙速度不等于,D错误。
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4.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km的地球静止轨道上。设“东方红一号”在远地点的加速度为a1,“东方红二号”的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为 (　　)
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A.a2>a1>a3　　　　　 B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3
解析:地球赤道上的物体和“东方红二号”静止卫星做圆周运动的周期相同,两者的角速度大小相同,即ω3=ω2,由a=ω2R可知半径大的向心加速度大,即得a32
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5.(2024·山西晋中高一阶段练习)假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上,其中两颗星体围绕中央的星体转动,假设两颗星体做圆周运动的半径为R,每个星体的质量均为m,引力常量为G。忽略其他星体对该三颗星体的作用,则做圆周运动的星体的线速度大小为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
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解析:直线三星系统中星体做圆周运动,万有引力提供向心力,根据星体受到另两个星体的引力作用可得+G=m,星体做圆周运动的线速度大小为v=,故选C。
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6.(2024·山东滨州高一统考期末)(多选)某童话故事中的神奇豌豆可以一直向天空生长,长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实,其中果实2在地球同步轨道上。下列说法正确的是 (　　)
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A.果实3的向心加速度最大
B.果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行
C.果实2、果实3的加速度a2、a3与地球表面重力加速度g的大小关系为g>a2>a3
D.果实1成熟自然脱离豆秧后,将做近心运动
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解析:三颗果实与赤道共面且随地球一起自转,可知三颗果实的角速度相等,根据a=ω2r,可知果实1的向心加速度最大,故A错误;由于果实2在地球同步轨道上,可知果实2随地球一起自转所需的向心力刚好等于受到的万有引力,则果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行,故B正确;根据a=ω2r,可知a2>a3,根据万有引力提供向心力可得=ma,解得a=,可知g>a2,则果实2、果实3的加速度a2、a3与地球表面重力加速度g的大小关系为g>a2>a3,故C正确;
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对于果实2有=m2ω2r2,对于果实1有2
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7.(2024·陕西咸阳高一阶段练习)(多选)在银河系中,双星的数量非常多,研究双星,对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统,A、B绕连线上一点O做圆周运动,测得A、B两颗恒星间的距离为L,恒星A的周期为T,恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍,忽略其他星球对A、B的影响,则下列说法正确的是 (　　)
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A.恒星B的周期为
B.A、B两颗恒星质量之比为1∶2
C.恒星B的线速度是恒星A的2倍
D.A、B两颗恒星质量之和为
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√
√
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解析:由于A、B两恒星连线始终过O点,运动周期相同,均为T,故A错误;根据a=ω2r=r,可知A、B两颗恒星做匀速圆周运动的半径之比为rA∶rB=2∶1,根据A、B两颗恒星间的万有引力提供向心力,设A、B两颗恒星间的距离为L,有=mArA,=mBrB,联立解得A、B两颗恒星质量之比为mA∶mB=1∶2,A、B两颗恒星的质量之和为mA+mB=,故B、D正确;根据v=,解得A、B两颗恒星线速度之比为vA∶vB=2∶1,故C错误。
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8.(多选)北斗导航系统第41颗卫星为地球静止轨道卫星,第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星,它们的轨道半径约为4.2×107 m,运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角,如图所示。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是 (　　)
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A.根据题目数据不可估算出地球的质量
B.地球静止轨道卫星不可能经过北京上空
C.倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道正上方同一位置
D.倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度
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解析:根据=mr,解得M=,则根据题目数据可估算出地球的质量,故A错误;地球静止轨道卫星一定在地球赤道平面上,不可能经过北京上空,故B正确;倾斜地球同步轨道卫星若某时刻经过赤道正上方某位置,经过半个周期,地球恰好也转了半个周期,因此又会经过赤道上方的同一位置,即其一天2次经过赤道正上方同一位置,故C正确;地球的第一宇宙速度是近地卫星围绕地球运行的最大速度,则倾斜地球同步轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度,故D错误。
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9.地球赤道上有一物体随地球自转,向心力大小为F1,向心加速度大小为a1,线速度大小为v1,角速度大小为ω1;在地球表面附近绕地球做圆周运动的人造卫星(高度忽略),向心力大小为F2,向心加速度大小为a2,线速度大小为v2,角速度大小为ω2;地球同步卫星的向心力大小为F3,向心加速度大小为a3,线速度大小为v3,角速度大小为ω3。地球表面的重力加速度大小为g,第一宇宙速度为v,假设物体、人造卫星、同步卫星三者质量相等,则 (　　)
A.F1=F2>F3 B.a1=a2=g>a3
C.v1=v2=v>v3 D.ω1=ω3<ω2
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解析:根据题意可知物体、人造卫星、同步卫星的轨道半径关系为r1=r2T2,根据ω=,有ω1=ω3<ω2,D正确。
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10.(多选)如图所示,甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图,轨迹圆半径都为R,中心天体质量为M,环绕天体质量均为m,已知M m,则 (　　)
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A.乙、丙图中环绕天体的周期之比为2∶
B.乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度
C.甲图中m的角速度大于丙图中m的角速度
D.乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为∶2
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解析:根据万有引力提供向心力,对题图乙所示的模型有G=
mR,可得题图乙中环绕天体的周期为T'=4π,对题图丙所示的模型有G=mR,可得题图丙中环绕天体的周期为T″=2π,则有T'∶T″=2∶,故A错误;题图乙中环绕天体的周期比题图丙中的大,根据ω=可知,题图乙中环绕天体的角速度比题图丙中环绕天体的角速度小,故B错误;
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根据万有引力提供向心力,对题图甲所示的模型有G=mω2R,解得ω=,对题图丙所示的模型有G=mω'2R,解得ω'=,由于M m,则题图甲中m的角速度大于题图乙中m的角速度,故C正确;题图乙、丙中环绕天体的运动半径相同,线速度之比为周期的反比,故题图乙、丙中环绕天体的线速度之比为∶2,故D正确。
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11.(8分)如图甲所示为北斗七星位置示意图,它们只是宇宙中七颗普通的恒星,而且它们之间没有任何关系。其中天玑星是一个双星系统的天体结构,在天玑星周围有一颗质量较小的伴星,天玑星和它的伴星绕着它们二者之间连线的某点O做相同周期的匀速圆周运动,如图乙所示。现测得天玑星的质量为M,二者之间
连线的距离为L,二者绕O点做
匀速圆周运动的周期为T,引力
常量为G。试求天玑星的伴星
的质量。
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答案:-M
解析:设伴星的质量为m,天玑星的轨道半径为R,伴星的轨道半径为r,对伴星,由万有引力提供向心力有G=mr
对天玑星,由万有引力提供向心力有G=MR
由题意知R+r=L
联立解得m=-M。
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12.(12分)已知月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动,A点距月球表面的高度为月球半径的3倍,飞船到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G,把月球看作质量分布均匀的球体,求:
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(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速;
答案:减速　减速　
解析:由轨道Ⅰ到轨道Ⅱ,需要卫星做近心运动,所需要的向心力小于万有引力,故要减速才可实现,即第一次点火是减速;由轨道Ⅱ到轨道Ⅲ,卫星在B点的速度减小,即第二次点火是减速。
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(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率;
答案:　
解析:由题意可知轨道Ⅰ的轨道半径为4R,由万有引力提供向心力,设月球质量为M,飞船的质量为m,运行速率为v,根据牛顿第二定律有G=m,在月球表面质量为m1的物体所受到的重力近似等于月球对它的引力,即m1g0=G,解得v=。
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(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
答案:2π
解析:由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R,设运行周期为T,根据牛顿第二定律有G=mR,解得T=2π。
2
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4课时跟踪检测(十五)　天体运动中的三类典型问题
(选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分70分)
1.神舟十六号载人飞船从核心舱下方采用“径向对接”的方式实现对接，“径向对接”指两对接口在地球半径的延长线上，对接前两者要在间隔一定距离的位置保持相对静止一段时间，如图所示，之后飞船再向上逐步接近核心舱实现对接，则(　　)
A．相对静止时，飞船的速度大于核心舱的速度
B．相对静止时，飞船的向心加速度大于核心舱的向心加速度
C．飞船通过加速逐步向上靠近核心舱
D．速度大于7.9 km/s才能最终靠近核心舱
2．(2024·银川高一阶段练习)(多选)我国“神舟十八号”载人飞船的发射过程简化图如图所示：先由“长征”运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道Ⅰ，在远地点B将飞船送入预定圆轨道Ⅱ。下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于超重状态
B．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至B处时加速度相等
C．飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行的周期相等
D．飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于第一宇宙速度
3.未来人类将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天器在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆轨道的近月点B处与空间站对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G。那么以下判断正确的是(　　)
A．航天器在由A处飞向B处时做减速运动
B．航天器到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须加速
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
4.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km的地球静止轨道上。设“东方红一号”在远地点的加速度为a1，“东方红二号”的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)
A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
5．(2024·山西晋中高一阶段练习)假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其中两颗星体围绕中央的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为R，每个星体的质量均为m，引力常量为G。忽略其他星体对该三颗星体的作用，则做圆周运动的星体的线速度大小为(　　)
A. B. C. D.
6．(2024·山东滨州高一统考期末)(多选)某童话故事中的神奇豌豆可以一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。下列说法正确的是(　　)
A．果实3的向心加速度最大
B．果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行
C．果实2、果实3的加速度a2、a3与地球表面重力加速度g的大小关系为g>a2>a3
D．果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动
7．(2024·陕西咸阳高一阶段练习)(多选)在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，忽略其他星球对A、B的影响，则下列说法正确的是(　　)
A．恒星B的周期为
B．A、B两颗恒星质量之比为1∶2
C．恒星B的线速度是恒星A的2倍
D．A、B两颗恒星质量之和为
8．(多选)北斗导航系统第41颗卫星为地球静止轨道卫星，第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107 m，运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是(　　)
A．根据题目数据不可估算出地球的质量
B．地球静止轨道卫星不可能经过北京上空
C．倾斜地球同步轨道卫星一天2次经过赤道正上方同一位置
D．倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度
9．地球赤道上有一物体随地球自转，向心力大小为F1，向心加速度大小为a1，线速度大小为v1，角速度大小为ω1；在地球表面附近绕地球做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，向心力大小为F2，向心加速度大小为a2，线速度大小为v2，角速度大小为ω2；地球同步卫星的向心力大小为F3，向心加速度大小为a3，线速度大小为v3，角速度大小为ω3。地球表面的重力加速度大小为g，第一宇宙速度为v，假设物体、人造卫星、同步卫星三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2＞F3 B．a1＝a2＝g＞a3
C．v1＝v2＝v＞v3 D．ω1＝ω3＜ω2
10．(多选)如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为R，中心天体质量为M，环绕天体质量均为m，已知M m，则(　　)
A．乙、丙图中环绕天体的周期之比为2∶
B．乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度
C．甲图中m的角速度大于丙图中m的角速度
D．乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为∶2
11．(8分)如图甲所示为北斗七星位置示意图，它们只是宇宙中七颗普通的恒星，而且它们之间没有任何关系。其中天玑星是一个双星系统的天体结构，在天玑星周围有一颗质量较小的伴星，天玑星和它的伴星绕着它们二者之间连线的某点O做相同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。现测得天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，二者绕O点做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。试求天玑星的伴星的质量。
12．(12分)已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，A点距月球表面的高度为月球半径的3倍，飞船到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，把月球看作质量分布均匀的球体，求：
(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
课时跟踪检测(十五)
1．选C　由题意可知，飞船与核心舱相对静止时，飞船的角速度与核心舱的角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r，由于飞船的轨道半径小于核心舱的轨道半径，则飞船的速度小于核心舱的速度，飞船的向心加速度小于核心舱的向心加速度，故A、B错误；飞船逐步向上靠近核心舱时，r逐渐增大，则线速度逐渐增大，即飞船通过加速逐步向上靠近核心舱，故C正确；7.9 km/s是地球第一宇宙速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，而核心舱的线速度小于7.9 km/s，故飞船靠近核心舱的速度不需要大于7.9 km/s，故D错误。
2．选BD　飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，A错误；根据万有引力提供向心力有＝ma，得a＝，可知飞船在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至B处时加速度相等，B正确；根据开普勒第三定律＝k，飞船在轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半径不等，则运行的周期不相等，C错误；飞船在轨道Ⅰ上的B处加速才能进入轨道Ⅱ，可知飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于飞船在轨道Ⅱ的速度，根据G＝m，v＝，可知飞船在轨道Ⅱ的速度小于第一宇宙速度，从而可知飞船在轨道Ⅰ经过B处时的速度小于第一宇宙速度，D正确。
3．选C　航天器在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，则速度增加，A错误；航天器到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速制动，B错误；根据G＝mr，可得月球的质量M＝，C正确；空间站的线速度为v＝，因空间站轨道半径大于月球的半径，则月球的第一宇宙速度不等于，D错误。
4．选D　地球赤道上的物体和“东方红二号”静止卫星做圆周运动的周期相同，两者的角速度大小相同，即ω3＝ω2，由a＝ω2R可知半径大的向心加速度大，即得a3＜a2；“东方红二号”和“东方红一号”的远地点相比，根据万有引力提供向心力，由＝ma得a＝，即离地面越近，加速度越大，即a2＜a1，故D正确。
5．选C　直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力提供向心力，根据星体受到另两个星体的引力作用可得＋G＝m，星体做圆周运动的线速度大小为v＝，故选C。
6．选BC　三颗果实与赤道共面且随地球一起自转，可知三颗果实的角速度相等，根据a＝ω2r，可知果实1的向心加速度最大，故A错误；由于果实2在地球同步轨道上，可知果实2随地球一起自转所需的向心力刚好等于受到的万有引力，则果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行，故B正确；根据a＝ω2r，可知a2>a3，根据万有引力提供向心力可得＝ma，解得a＝，可知g>a2，则果实2、果实3的加速度a2、a3与地球表面重力加速度g的大小关系为g>a2>a3，故C正确；对于果实2有＝m2ω2r2，对于果实1有7．选BD　由于A、B两恒星连线始终过O点，运动周期相同，均为T，故A错误；根据a＝ω2r＝r，可知A、B两颗恒星做匀速圆周运动的半径之比为rA∶rB＝2∶1，根据A、B两颗恒星间的万有引力提供向心力，设A、B两颗恒星间的距离为L，有＝mArA，＝mBrB，联立解得A、B两颗恒星质量之比为mA∶mB＝1∶2，A、B两颗恒星的质量之和为mA＋mB＝，故B、D正确；根据v＝，解得A、B两颗恒星线速度之比为vA∶vB＝2∶1，故C错误。
8．选BC　根据＝m2r，解得M＝，则根据题目数据可估算出地球的质量，故A错误；地球静止轨道卫星一定在地球赤道平面上，不可能经过北京上空，故B正确；倾斜地球同步轨道卫星若某时刻经过赤道正上方某位置，经过半个周期，地球恰好也转了半个周期，因此又会经过赤道上方的同一位置，即其一天2次经过赤道正上方同一位置，故C正确；地球的第一宇宙速度是近地卫星围绕地球运行的最大速度，则倾斜地球同步轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故D错误。
9．选D　根据题意可知物体、人造卫星、同步卫星的轨道半径关系为r1＝r2＜r3，物体与人造卫星比较，由于赤道上物体所受的万有引力和支持力的合力提供向心力，而人造卫星只受万有引力，故F1＜F2，由牛顿第二定律，可知a1＜a2，A、B错误；根据向心力公式F＝m，由于m1＝m2，r1＝r2，故v1＜v2，C错误；同步卫星与地球角速度相等，即ω1＝ω3，根据周期公式T＝2π，可知轨道半径越大，周期越大，故T3＞T2，根据ω＝，有ω1＝ω3＜ω2，D正确。
10．选CD　根据万有引力提供向心力，对题图乙所示的模型有G＝mR，可得题图乙中环绕天体的周期为T′＝4π，对题图丙所示的模型有G＝mR，可得题图丙中环绕天体的周期为T″＝2π，则有T′∶T″＝2∶，故A错误；题图乙中环绕天体的周期比题图丙中的大，根据ω＝可知，题图乙中环绕天体的角速度比题图丙中环绕天体的角速度小，故B错误；根据万有引力提供向心力，对题图甲所示的模型有G＝mω2R，解得ω＝，对题图丙所示的模型有G＝mω′2R，解得ω′＝，由于M m，则题图甲中m的角速度大于题图乙中m的角速度，故C正确；题图乙、丙中环绕天体的运动半径相同，线速度之比为周期的反比，故题图乙、丙中环绕天体的线速度之比为∶2，故D正确。
11．解析：设伴星的质量为m，天玑星的轨道半径为R，伴星的轨道半径为r，对伴星，由万有引力提供向心力有G＝mr
对天玑星，由万有引力提供向心力有G＝MR
由题意知R＋r＝L
联立解得m＝－M。
答案：－M
12．解析：(1)由轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，需要卫星做近心运动，所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火是减速；由轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，卫星在B点的速度减小，即第二次点火是减速。
(2)由题意可知轨道Ⅰ的轨道半径为4R，由万有引力提供向心力，设月球质量为M，飞船的质量为m，运行速率为v，根据牛顿第二定律有G＝m，在月球表面质量为m1的物体所受到的重力近似等于月球对它的引力，即m1g0＝G，解得v＝。
(3)由题意可知轨道Ⅲ的轨道半径为R，设运行周期为T，根据牛顿第二定律有G＝mR，解得T＝2π。
答案：(1)减速　减速　(2)　(3)2π
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