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第三单元 因数与倍数
一、选择题
1．下面各数中，是5的倍数的数是( )
A．220 B．122 C．101
2．下列三组数中，（ ）组成的三位数一定是3的倍数。
A．5、2、8 B．3、1、7 C．4、1、9
3．自然数甲的质因数只包含两个2和三个3，自然数乙的质因数只包含三个2和两个3．它们的最大公因数是( )．
A．4 B．9 C．36
4．两个偶数，它们的最小公倍数是40，这两个偶数是（ ）。
A．4和8 B．4和10 C．8和10
5．有100张卡片，分别写着1到100，从这100张卡片中任取一张，取到3的倍数的可能性和取到9的倍数的可能性相比，（ ）。
A．取到3的倍数的可能性更大 B．取到9的倍数的可能性更大
C．一样大 D．无法确定
6．用2、5、0组成的三位数中，既是2的倍数又是5的倍数的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某公司生产了375瓶香油，选下面的（ ）包装盒能正好把它们装完。
A． B．
C． D．
8．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵（　　）人．
A．108 B．102 C．107 D．109
二、填空题
9．在3、4、12、15、17、53、320中，奇数有 ，偶数有 ；质数有 ，合数有 。
10．一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数可能是( )。
11．12 9 5 3 27 1 15 33 19 45 8 11
（1）33的因数有： ；
（2）45的因数有： ；
（3）既是45的因数又是27的因数有： ；
（4） 既不是质数也不是合数。
12．10和15的公因数有( )个，公倍数有( )个。
13．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成同样大小，边长是整厘米数的正方形，且纸没有剩余，正方形的边长最大为( )厘米，至少可以裁( )个。
14．体育课上，老师要同学们先按1－2报数，再按1－2－3报数，最后按1－2－3－4－5－6－7报数。老师问排在最后的学生：“这三次报数，你每次报的各是几？”那位同学说“每次都报1。”老师说：“我知道了，你们班今天缺勤1人。”这个班有学生( )名。
三、判断题
15．因为找一个数的因数是一对一对找的，所以一个数的因数有偶数个。( )
16．如果两个数互为质数，那么它们的积就是最小公倍数 . ( )
17．若24÷3＝8，则24是倍数，3和8是因数。( )
18．m÷13＝n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是13。( )
19．91除了1和它本身外，没有其他因数。( )
四、计算题
20．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。
20 29 45 53 91 102 117
21．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
12和56 13和14 34和51
8和9 6和24 30和45
五、作图题
22．黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，把两种棋子都走到的格子上涂上颜色。
23．把下面的长方形分成若干个同样大小的正方形，要使正方形尽可能大，可以怎样分？在图中画一画。
六、解答题
24．小玲的爸爸、妈妈在环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。他们同时从起点出发，都按逆时针方向跑，至少经过多少分钟又在起点相遇？
25．参加校庆文艺表演的同学超过100人，不足140人，将他们按每组12人分组多3人；按每组8人分组也多3人。此次参加校庆文艺表演的同学有多少人？
26．把60个苹果分成偶数份，使每份中苹果的个数相等。有多少种不同的分法？每份中分别有多少个苹果？
27．小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？
28．甲乙丙三人绕环形跑道竞走，甲走一圈要用1分钟，乙走一圈要用1分钟30秒，丙走一圈要用1分钟15秒。三人同时从起点出发，经过多少分钟又在起点相遇？相遇时他们各走了几圈？
29．张老师在体育课上给同学们分组，每3人一组，最后还多出2人。已知这个班的人数在40~52范围内，则这个班可能有多少人？
30．园林工人在长60米的小路两边每隔6米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？
31．大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？
“抱团”游戏的规则
当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。
答案与解析
1．A
【解答过程】根据2、3、5的倍数特征进行解答.在220,122,101中，是5的倍数的数是220．
故答案为A
2．A
【解题思路】一个数的各个数位上的数相加的和如果是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【解答过程】A．5＋2＋8＝15，15能被3整除，5，2，8组成的是一定是3的倍数；
B．3＋1＋7＝11，11不能被3整除，3，1，7组成的数不是3的倍数；
C．4＋1＋9＝14，14不能被4整除，4，1，9组成的数不是3的倍数。
故答案为：A
【要点提示】本题考查3的倍数特征，根据3的倍数特征进行解答。
3．C
4．C
【解题思路】能被2整除的数叫偶数；根据求两个数的最大公因数和求最小公倍数的方法：求两个数的最大公因数和求两个数的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。由此解答。
【解答过程】A．4和8是倍数关系，最小公倍数是8，不符合题意；
B．4＝2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×5＝20，不符合题意；
C．8＝2×2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×2×5＝40。不符合题意。
故答案为：C
5．A
【解题思路】由题意知：9的倍数一定是3的倍数，而3的倍数不一定是9的倍数。据此解答。
【解答过程】在1到100的数中，3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。
9的倍数有：9、18、37、36、45、54、63、72、81、90、99
故答案为：A
【要点提示】了解3的倍数不一定是9 的倍数，而9的倍数一定是3的倍数是解答本题的关键。
6．B
【解题思路】一个数既是2的倍数还是5的倍数，这个数的末尾一定是0，由此即可确定这个三位数的个位是0，由此即可解答。
【解答过程】由分析可知，这个三位数的个位是0，即这个三位数可能是：250或520。
故答案为：B
【要点提示】本题主要考查2和5的倍数特征，熟练掌握它们的倍数特征并灵活运用。
7．B
【解题思路】要使375瓶香油用包装盒能正好把它们装完，也就是用375除以每种包装盒能装的瓶数，所得商是整数没有余数，据此解答。
【解答过程】A．每个包装盒装2个，因为375的个位是5，所以375不是2的倍数，即375÷2结果不是整数，不符合题意；
B．每个包装盒装3个，因为3＋7＋5＝15，15÷3＝5，所以375是3的倍数，即375÷3结果是整数，符合题意；
C．每个包装盒装4个，因为375的个位是5，所以375不是4的倍数，即375÷4结果不是整数，不符合题意；
D．每个包装盒装6个，因为375的个位是5，所以375不是6的倍数，即375÷6结果不是整数，不符合题意。
故答案为：B
8．A
【解题思路】排成5列不足2人，表示排成5列余3人；排成7列不足4人，表示排成7列余3人，即总人数减去3后，既能被3整除，又能被5整除，还能被7整除，并且在90-110之间，用3、5、7的最小公倍数加3既符合要求。
【解答过程】5-2=3（人） 7-4=3（人）
3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105
105+3=108（人）
故答案为A。
9． 3、15、17、53 4、12、320 3、17、53 4、12、15、320
【解题思路】奇数：末尾是1、3、5、7、9的数；
偶数：末尾是0、2、4、6、8的数；
质数：只有1和它本身两个因数；
合数：除了1和它本身外还有其他因数；
据此选择合适的数填写即可。
【解答过程】奇数有：3、15、17、53；
偶数有：4、12、320；
质数有：3、17、53；
合数有：4、12、15、320
【要点提示】掌握奇数、偶数、质数和合数的特征是解决此题的关键。
10．4、12、36
【解析】列举出36的所有因数，再从中找出是4的倍数的数。
【解答过程】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
其中4的倍数有：4、12、36。
【要点提示】找因数通常用的是成对枚举的方法，类似于36这样的完全平方数有奇数个因数。
11． 3、1、33、11 9、5、3、1、15、45 9、3、1 1
【解题思路】根据求一个数的因数的方法，依次列举出33和45的因数，再在所给数据中找出；列出45和27的公有的因数，对比所给数据，找出即可；1既不是质数也不是合数。
【解答过程】（1）33＝1×33＝3×11；
所以33的因数有：3、1、33、11；
（2）45＝1×45＝3×15＝5×9；
所以45的因数有：9、5、3、1、15、45；
（3）27＝1×27＝3×9，
45＝1×45＝3×15＝5×9；
故45和27的公因数是：9、3、1；
（4）1既不是质数也不是合数。
【要点提示】此题主要考查学生对因数、公因数的意义的理解，掌握找一个数的因数的方法，以及求两个数的公因数的方法。
12． 2 无数
【解题思路】两个数公有的因数叫做这两个数的公因数；两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数；据此作答。
【解答过程】10的因数：1，2，5，10；
15的因数：1，3，5，15；
10和15的公因数：1，5；
10的倍数：10，20，30，40，50，60…；
15的倍数：15，30，45，60…；
10和15的公倍数：30，60…；
因此，10和15的公因数有2个，公倍数有无数个。
13． 6 20
【解题思路】求出30和24的最大公因数，就是每个正方形的边长；用30和24分别除以正方形边长，得到的数字相乘就是最少可以裁成的正方形个数，据此解答。
【解答过程】30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
30和24的最大公因数是：3×2＝6
30÷6＝5
24÷6＝4
5×4＝20（个）
【要点提示】灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题。
14．44
【解题思路】根据题意可知，出勤人数比2、3、7的最小公倍数多1，再加1就是全班人数，据此解答。
【解答过程】2×3×7＋1＋1
＝42＋1＋1
＝44（名）
这个班有学生44名。
【要点提示】此题考查了最小公倍数的实际应用，明确问题所求，能够把实际问题转化成数学问题是解题关键。
15．×
【解题思路】虽然找一个数的因数是一对一对找的，但是这一对有时相同，算一个。比如9的因数有1、3、9三个数，即9的因数的个数不是偶数个。据此判断即可。
【解答过程】由分析可知：
因为找一个数的因数是一对一对找的，所以一个数的因数有偶数个。此说法错误。
故答案为：×
16．对
17．×
【解题思路】根据因数与倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数；b就叫做a的因数；即因数与倍数是相对而说，不能单独存在。
【解答过程】24÷3＝8，3和8是24的因数，24是3和8的倍数。
原题干说法错误。
故答案为：×
【要点提示】本题考查因数和倍数的意义。
18．×
【解题思路】根据条件“m÷13＝n（m、n是非零自然数）”可知，m是n的倍数，则n是它们的最大公因数，m是它们的最小公倍数，据此判断。
【解答过程】由分析可得：m÷13＝n（m、n是非零自然数），m和n的最大公因数是n，原题说法错误。
故答案为：×
19．×
【解题思路】将91写成两个数相乘的形式，进而根据求一个数的因数的方法，依次写出91的因数即判断。
【解答过程】91＝1×91＝7×13
所以，91的因数有：1、7、13、91，共4个；
所以91除了1和它本身外还有7和13两个因数，原题说法错误。
故答案为：×
【要点提示】此题考查的是找一个数的因数的方法，应注意基础知识的积累。
20.【解题思路】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。
【解答过程】
20＝2×2×5
45＝3×3×5
91＝7×13
102＝2×3×17
117＝3×3×13
21．见详解
【解题思路】两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。当两个数互质时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积；当两个数是倍数关系时，较大数是最小公倍数，较小数是最大公因数，据此解答。
【解答过程】12＝2×2×3
56＝2×2×2×7
12和56的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×2×7＝168；
13和14是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是13×14＝182；
34＝2×17
51＝3×17
34和51的最大公因数是17，最小公倍数是2×17×3＝102；
8和9是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72；
6和24是倍数关系，它们的最大公因数是6，最小公倍数是24。
30＝2×3×5
45＝3×3×5
30和45的最大公因数是3×5＝15，最小公倍数是2×3×5×3＝90。
22．见详解
【解题思路】由题意可知，黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，两种棋子都走到的格子上涂上颜色，涂色的数字必须是3和4的公倍数，先找到3和4的最小公倍数，再进一步解答即可。
【解答过程】3和4的最小公倍数是12，则两种棋子都走到的格子必须是12的倍数（不超过36）
12×1＝12
12×2＝24
12×3＝36
作图如下：
23．见详解
【解题思路】分成同样大小，且没有剩余，就是分成的小正方形的边长是48和30的公因数，要使正方形尽可能大，就是以48和30的最大公因数为小正方形的边长，根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数为1；据此求出小正方形的边长；然后用长方形的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形的长边可以分成几个，宽边可以分成几个，最后把它们乘起来即可．画图即可。
【解答过程】48＝2×2×2×2×3
30＝2×3×5
48和30的最大公因数是2×3＝6；正方形的边长为6厘米；
长可分：48÷6＝8（个）；宽可分：30÷6＝5（个）
8×5＝40（个）
如图：
24．12分钟
【解题思路】爸爸跑一圈需3分钟，那么爸爸每次到达起点的时间都是3的倍数。妈妈跑一圈用4分钟，那么，妈妈每次到达起点的时间都是4的倍数。因此，要想两人同时在起点相遇，则这个时间必须既是3的倍数，也是4的倍数，即是3和4的公倍数，时间至少，则找3和4的最小公倍数即可。
【解答过程】3和4的最小公倍数是12；
答：至少经过12分钟又在起点相遇。
25．123人
【解题思路】根据题意可知：参加校庆文艺表演的同学有多少人，即求100～140之间的比12和8的公倍数多3的数，据此解答即可。
【解答过程】12＝2×2×3，
8＝2×2×2，
则12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24，
则100～140之间的24的倍数是120，
120＋3＝123（人）；
答：参加校庆文艺表演的同学有123人。
26．8种；
分为60份，每份1个苹果；
分为30份，每份2个苹果；
分为20份，每份3个苹果；
分为12份，每份5个苹果；
分为10份，每份6个苹果；
分为6份，每份10个苹果；
分为4份，每份15个苹果；
分为2份，每份30个苹果。
【解题思路】由于“每堆个数相同”且“分成偶数堆”知本题是要求60的偶因数的个数，因为每个偶因数对应于一种符合条件的分法，所以先找出60的因数，其中的偶数是符合条件的，即可知答案。
【解答过程】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
其中偶数有：2，4，6，10，12，20，30，60。
所以有8种分法。
分为60份，每份1个苹果；
分为30份，每份2个苹果；
分为20份，每份3个苹果；
分为12份，每份5个苹果；
分为10份，每份6个苹果；
分为6份，每份10个苹果；
分为4份，每份15个苹果；
分为2份，每份30个苹果。
答：有8种分法，每份可以有1个、2个、3个、5个、6个、 10个、15个、30个。
【要点提示】此题考查了找一个数因数的方法，用到的知识点：偶数的含义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。
27．14921000
【解题思路】八位数的每个数位的数字在0到9之间，第一位数既不是质数也不是合数的数是1；最小的合数是4；既是奇数又是合数是9；既是偶数又是质数是2，8的最小因数是1；最小的自然数是0。
【解答过程】第一位数既不是质数也不是合数的数：1；
第二位最小的合数：4；
第三位既是奇数又是合数：9；
第四位既是偶数又是质数：2；
第五位8的最小因数：1；
其他三位最小的自然数：0；
则小明家无线网的密码是多少14921000。
28．15分钟；甲走15圈；乙走10圈；丙走12圈
【解题思路】由题意可知，经过的分钟数应该是三人所用时间的最小公倍数，再根据总时间除以走一周用的时间即可得到各走的周数。再根据据此解答即可。
【解答过程】1分钟＝60秒
1分30秒＝90秒
1分15秒＝75秒
60＝2×2×3×5
90＝2×3×3×5
75＝3×5×5
60、90、75的最小公倍数是：2×2×3×3×5×5＝900
900秒＝15分钟
甲：900÷60＝15（圈）
乙：900÷90＝10（圈）
丙：900÷75＝12（圈）
答：三人同时从起点出发，经过15分钟又在起点相遇.相遇时甲走了15圈，乙走了10圈，丙走了12圈。
【要点提示】考查了最小公倍数在实际生活中的应用；注意单位的换算和统一。
29．41人或44人或47人或50人
【解题思路】由题可知，这个班的人数是比3的倍数多2的数，且这个数在40到52之间。所以先找出在这个范围内符合比3的倍数多2的最小数，由于每3人一组，所以只要在最小数的基础上依次加3，得到的数也会满足比3的倍数多2且在40到52之间这个条件。
【解答过程】在40到52之间，3的倍数有39、42、45、48、51等。39是3的倍数，因为人数是比3的倍数多2，39＋2＝41，41在40到52这个范围内，所以41是符合条件的数。41＋3＝44（人）、44＋3＝47（人）、47＋3＝50（人），44、47、50在40到52之间，符合要求。
答：已知这个班的人数在40~52范围内，则这个班可能有41人或44人或47人或50人。
30．12棵
【解题思路】不用移栽的树的间隔距离应是4和6的公倍数，用60除以4和6的公倍数，再加上1，就是一边不用移栽的树；因为在路两边都栽树，计算出结果再乘2即可。
【解答过程】4＝2×2
6＝2×3
因为4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
60÷12＝5（棵）
5＋1＝6（棵）
6×2＝12（棵）
答：不用移栽的树有12棵。
31．24人
【解题思路】根据题意，口令为3，4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是3、4和6的公倍数，同时该公倍数应该在20和30之间，据此解答即可。
【解答过程】由分析可得：
3＝1×3
4＝2×2
6＝2×3
3、4或6的最小公倍数是：2×2×3＝12；
则3、4或6的公倍数有：12、24、36、48、60…
三个数的公倍数在20和30之间的为：24，所以有24人。
答：有24人在玩游戏。
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