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2025年7月济南市高一期末学习质量检测
数学试题
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2. 某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ）
A. 45 B. 60 C. 90 D. 135
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A. 30米 B. 35米 C. 45米 D. 70米
6. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（ ）
A. B. C. D.
7. 抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，平分线交于点为的中点．若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ）
A. B. 众数是230
C. 中位数是210 D. 跳远距离在区间的人数为168
10. 已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足//平面，则（ ）
A. 点到平面的距离为定值
B. 存在点，满足
C. 二面角的取值范围为
D. 过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为________．
13. 若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为________．
14. 设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 袋中有5个大小质地完全相同小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球．
（1）求至少一个是白球的概率；
（2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由．
16. 已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若锐角三角形．
（ⅰ）求角A的取值范围；
（ⅱ）设，求面积的取值范围．
18. 某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）：
211 209 210 208 210 210 209 208 210 215
（1）计算该组数据的平均值和方差；
（2）考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选：
①记（其中s为样本标准差，，）；
②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效．
对照表
n 3 4 5 6 7 8 9 10
1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 222 2.29
（ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）；
（ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由．
（参考数据：）
19. 在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角（角用弧度制表示）．例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为，所以正四面体在该顶点的曲率为．
（1）如图1，该多面体由边长相等的10个正三角形和2个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
（2）如图2，在正三棱台中，，，点A与处的曲率之差为π．若D为侧面（含边界）内一动点，且直线BD与平面所成角的正切值为2，求动点D的轨迹长度；
（3）某多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为4π，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．
绝密★启用并使用完毕前
2025年7月济南市高一期末学习质量检测
数学试题
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）A与B是相互独立的，理由见解析
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【18题答案】
【答案】（1）平均数为210，方差为3.6
（2）（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）12，32和92

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