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广东省深圳市福田区2024-2025学年八年级下学期数学期末教学质量检测
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的.)
1． 下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3． 下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4． 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5． 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行
6． 如图，一次函数 (b是常数)，与正比例函数 (k是常数，) 的图象相交于点 M(2， 1)，则关于x的不等式 的解集是（　　）
A． B． C． D．
7． 某企业要购进两款机器狗共 5 只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（　　）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
8． 如图，在中，，，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B'C'与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分.
9．因式分解：x2-x=　 　．
10． 如图，八角窗花的窗格是中国古代建筑中一抹独到的风景，其外观是一个正八边形，则它的每一个外角为 　 　.
11． 如果不等式组的解集是 ，则 m 的值可以是 　 　（写出一个符合要求的值即可）.
12． 如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　 　.
13． 如图，点P是长方形ABCD边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是1cm/s.当运动时间t为5s或35s时，点P均满足，则AB的长为 　 　cm.
三、解答题(本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分)
14．下面是小明解不等式，的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：不等式①，去分母，得， （第一步）
移项，合并同类项，得， （第二步）
系数化为1，得， （第三步）
解不等式②，得， （第四步）|
所以原不等式组无解. （第五步）
根据以上材料，解答下列问题：
（1） 第一步去分母的依据是　 　.
（2） 在解答过程中，从第　 　步开始出错，错误原因是　 　.
（3） 解不等式组：
15． 先化简，再求值：，其中.
16．如图 ，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 A(3，4)，B(4，1)，C(1，2).
⑴ 将 先向左平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到 ，其中点 ，， 的对应点分别是 ，，，请在图中画出 ；
⑵将 绕点 (0，0) 顺时针旋转 得到图形 ，其中点 ，， 的对应点分别是 ，，，请在图中画出 ；
⑶ 观察线段 和线段 ，它们所在直线的位置关系为 ▲ .
17．【阅读材料】
我们知道，多项式可以因式分解为.当一个二次三项式(如)不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
.
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：
（1） 填空：
①) -②
=
.
③ -④+ 5 .
（2） 将下列各式因式分解：
①▲；
②.
18．已知平行四边形 ABCD.
（1） 如图 所示，请你用无刻度的直尺和圆规在 CD 边上找一个点 F，使得点 F 到直线 AD 和直线 AB 的距离相等；(请保留作图痕迹，不写作法)
（2） 连接 BF，若 ， 且 ，请你求出平行四边形 ABCD 的面积.
19．深圳福田区部分小区，如图1，居民可通过智能回收箱扫描二维码投放废纸和废塑料，废品回收可实现资源循环利用.某学习小组对一批回收废纸和回收废塑料进行了调查，相应数据如下：
名称 每吨生产再生纸 数量（单位：吨） 共生产再生纸
废纸 x ① 16吨
名称 每吨可回炼无铅汽油 数量（单位：吨） 共回炼无铅汽油
废塑料 ② ③ 18吨
（1）任务一：现回收废纸和废塑料共 50 吨，已知每吨废塑料回炼的无铅汽油量是每吨废纸生产再生纸数量的倍，设每吨废纸可生产 x 吨再生纸，请补全表格数据（用含 x 的代数式表示）；
（2）任务二：请求出（1）中 x 的值；
（3）任务三：如图 2，在某区的智能回收箱运营体系中，点 A 为清运回收点，点 B 为分拣点，点 C 为打包点，点 D 为回收加工点，且满足：， 千米， 千米，AB 的垂直平分线 DF 与 AC 交于点 D.将各点位置简化为图3.现需在 BC 边上设置智能回收运营点 G，使得点 G 到点 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小，请求出其最小值.
20．（12 分）【特例研究】
（1） 在 中，点 D 是 BC 的中点，
①如图 1，点 F 是 AC 边上的一点，连接 FD 并延长FD 至点 E，使得 ，连接 BE，求证： 且 ；
②如图 2，若 ，，AD的取值范围为 ▲ .
（2）【拓展延伸】
如图 3，线段 ，过点 B 作一条射线 BC，使得 ，动线段 EF 在射线 BC 上运动（点 E 在点 F 的下方），且 ，点 D 是 AF 的中点，连接 DE.
①请求出 DE 的最小值；
②当 BE 等于多少时，？请说明理由.
参考答案
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的.)
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
6．A
7．D
8．B
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分.)
9．x（x-1）
10．45
11．3
12．
13．12
三、解答题(本题共7小题，其中第14题8分，第15题6分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，共61分)
14．（1）不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变
（2）三；原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变.
（3）解： 由①得，
由②得，
∴ 原不等式组的解集是，
15．解：原式 =
，
当时，原式 =
16．解：⑴如图所示， 即为所求；
⑵如图所示， 即为所求；
⑶互相垂直（或相交）
17．（1）解：①1；②1；③9；④9；
（2）解： ①；
②原式
18．（1）解：方法一：如下图，作的角平分线.
方法二：如下图，
以点D为圆心，AD为半径作弧，交DC于点F.
方法二：如下图，
以点 D为圆心，AD 为半径作弧，交DC于点F，
如图所示，点F即为所求.
（2）解：在 ABCD中， 且.
∵ BF⊥CD，
∴，
∵ BF=4，
由勾股定理，得 CF=3.
∴ 点F到直线AD和AB的距离相等，
∴ AF平分∠DAB，
∴.
∵，
∴ ∠FAB=∠DFA，
∴ ∠DAF=∠DFA.
∴ DA=DF=5，
∴ DC=AB=8.
∴.
19．（1）解：①（或），②，③（或）.
（2）解：，（或 ）
解得，（或）
经检验，（或）是原分式方程的解.
（3）解：延长 AB 至点 E，使得，连接 DE 交 BC 于点 G，点 G 即为所求.
过点 D 作 于点 F，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
所在直线是 AB 的垂直平分线，
∴点F为 AB的中点，；
是 的中位线，
，
又 ，
，
又 ，
由勾股定理，，
又 ，
到 A，B，C，D 四个流程点的距离之和最小值：.
20．（1）解：①证明：∵ 点D是BC的中点，
∴，
在和中，
∴，（SAS）
∴，
且 ，
∴；
②.
（2）解：①延长ED至点N，使得DN=ED，连接AN，BN；作，垂足为H
由（1）知，，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，从而，，
在中，，，
易得，，
∴，（等号成立时，动点E和定点H重合）
∴，
∴ DE的最小值为.
②当时，如上图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴.

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