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石家庄市第一中学2024-2025学年高一年级第二学期期末考试
数学参考答案
1．D 2．C 3．C 4．B
5．D 6．C 7．C 8．A
9．BD 10．ACD 11．AC
12．16 12
13．
14．cm
15．（1），，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
16．（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
17．解：（1）因为E，F，G，H，分别为所在矩形各棱的中点，所以四边形EFGH为菱形．
由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得
又因为O为长方体的中心，所四棱锥O﹣EFGH的高．
，
．
∴该模型体积为：
cm3．
∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8g．
（2）记面的中心为，连接，，，
则，，．
由题意，四棱锥O﹣EFGH的四个侧面为全等三角形．
在等腰中，取的中点，连接，
，
所以．
∴该模型表面积为：
cm3
cm2．
（1）由题意得:，解得，
设第60百分位数为，则，
解得，第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、.
则样本空间为.
设事件“两人分别来自和，则，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个.
记在区间的数据分别为，平均分为，方差为；
在区间的数据分别为为，平均分为，方差为；
这20个数据的平均数为，方差为.
由题意，，且，则.
根据方差的定义，
由，
可得
故得分在内的平均数为81，方差为26.8.
19．（1）连接，因为，是中点，所以.又，所以，所以.
因为平面平面，平面平面，
且平面，，
所以平面，又因为平面，所以，
由，得，又，，所以，所以，所以；
（2）由（1）知，，，两两垂直，建立如图坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
设，分别是平面和平面的法向量，二面角记为，
则令，得，
所以，
同理令，得，
所以，
所以，所以，
故二面角的正弦值为.
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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
3．在△ABC中，C＝90°，BC＝ AB，则向量 与 的夹角是（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
4．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ）
A．若，，则．
B．若，，，，则．
C．若，，，则．
D．，，，，，则．
5．为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）
A．样本中层次身高的女生少于男生
B．样本中层次身高人数最多
C．样本中层次身高的学生人数占总人数的
D．样本中层次身高的男生有人
6．将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥，与相互对立
B．
C．但不满足两两独立
D．且两两相互独立
8．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67
D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
10．若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．当最小时与重合
D．若，则的最小值为
11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成的角为
C．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
D．若点为棱上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一只田径队有男运动员56名，女运动员有42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，则男运动员应抽取 名、女运动员应抽取 名.
13．若向量，满足，，则与的夹角为 .
14．已知圆台的上底半径分别为1cm，2cm，高为3cm，光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点,则光线在圆台内部扫过的面积为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，已知，为上一点，，且.
(1)求的值；
(2)求的面积.
16．（1）已知点A B D的坐标分别是 ，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
17．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
（1）计算制作该模型所需原料的质量；
（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）
参考数据：，，
18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
(1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:
(3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.
19．如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点，且满足.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
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