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石家庄市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试
数学答案
1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B
9.BCD 10.ABC 11.BCD
12．
13．65
14．
15．（1）依题意，即，解得，
所以展开式的通项为（且），
则展开式中二项式系数最大的项为.
（2）令，解得，
所以，所以展开式中的系数为.
16．（1）由题意知X的可能取值为0，1，2
，
，
X 0 1 2
P
所以．
（2）①若两次都交换玩具车，则概率为，
若两次都交换玩偶，则概率为，
若一次交换玩具车，一次交换玩偶，
情况1：每次互换的玩具相同，则概率为，
情况2：每次互换的玩具不同，则概率为，
则.
②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为，
则小明手中恰有2个玩具车的概率为，
根据全概率公式可得，当时，，
∴，
由（1）是，∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
所以，即 ．
17．（1）题意可得，解得.
因为，所以，解得.
经验证，符合题意.
（2）证明：由（1）可知.
任取，则.
因为，所以，则，即.
故在上单调递增.
（3）不等式等价于.
因为为奇函数，所以.
因为在上单调递增，所以，即.
因为，所以，
解得，即的最大值为4.
18．（1）设，，
，
则，
所以，
故关于的回归方程为；
（2）当时，，
故可预测第个月的利润约为万元．
（3）由（1）知，关于的线性相关系数：
，
因为，
所以与的拟合关系式更适合用．
19．解：（1）依题知的可能取值为1，2，3，4
，，，.
故方案甲化验次数的分布列为：
1 2 3 4
（2）若乙验两次时，有两种可能：
①验3人结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中
②先验3人结果为阴性，再从其他两人中验出阳性
故乙用两次的概率为
若乙验三次时，只有一种可能：先验3人结果为阳性，再从中逐个验时，第一次为阴性，第二次为阴性或阳性，其概率为
故甲方案的次数不少于乙次数的概率为
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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数y=ax+b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有
A．0＜ ＜1,且 ＞0　　　　 B．a＞1,且 ＞0　　　　 C．0＜ ＜1,且 ＜0　　　　 D．a＜1,且 ＞0
2．将个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，不同的方法共有
A．种 B．种 C．种 D．种
3．随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
4．在的展开式中，则的系数为
A．10 B．21 C．30 D．9
5．函数f(x)＝(x∈R)的值域是
A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1] D．(0,1)
6．函数的零点所在区间为
A． B． C． D．
7．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为
A． B． C． D．
8．定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是．
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
10．将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是
A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91
B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 ＝120
C．P(A|B)＝
D．P(B|A)＝
11．已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有
A．
B．
C．若，则在上为奇函数
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
13．某班4名同学去学校食堂就餐，他们在一号、二号、三号食堂都可能就餐，如果他们中有同学在一号食堂就餐，则他们在三个食堂就餐情况有 种（用数字作答）
14．已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的展开式中，前两项的二项式系数之和是9.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数.
16．为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换．
(1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望；
(2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为．
①求；
②求．
17．已知定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上单调递增；
(3)若对任意的，都有，求的最大值.
18．某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示：
第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 第6个月
利润(单位：万元)
设第个月的利润为万元．
（1）根据表中数据，求关于的回归方程(系数精确到)；
（2）由（1）中的回归方程预测该企业第个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如万元万元)
（3）已知关于的线性相关系数为．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更适合用还是，说明你的理由．
参考数据：，，取．
附：样本（，2，，）的相关系数，
线性回归方程中的系数，.
19．某医院已知5名病人中有一人患有一种血液疾病，需要通过化验血液来确定患者，血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即没患病.院方设计了两种化验方案：
方案甲：对患者逐个化验，直到能确定患者为止；
方案乙：先将3人的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患者在此三人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若结果呈阴性则在另外2人中选取1人化验.
（1）求方案甲化验次数的分布列；
（2）求甲方案所需化验次数不少于乙方案所需化验次数的概率.
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