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泉州六中2024-2025学年下学期八年级数学期末测试
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h 3 4 5 6 7
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是4 C．众数是6 D．方差是1
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+2）2＝11 B．（x﹣2）2＝11 C．（x+4）2＝23 D．（x﹣4）2＝23
4．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　）
A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
5．方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．无解
6．如图，两条直线l1和l2的关系式分别为y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，两直线的交点坐标为（2，1），当y1＜y2时，x的取值范围为（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣2，4），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A．（0，1） B． C．（0，2） D．
8．已知一次函数y＝x+1与反比例函数的图象没有交点，则k的值可以为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①AP＝CQ；
②∠AEC的度数不变；
③∠APD+∠CQD＝180°；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠FAD＝α，则∠AFE的度数为（　　）
A．2α B．45°﹣α C．90°﹣α D．90°﹣2α
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占40%，复赛成绩占60%来计算，则小张同学的总成绩为 　 　 分．
12．设m、n是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣2m﹣n＝　 　 ．
13．已知，一次函数y＝（2k﹣2）x+5的值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 　 　 ．
14．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则m的取值范围为 　 　 ．
15．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6cm，则 ABCD的对角线AC的长为 　 　 cm．
16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解方程：（2x+1）（x﹣1）＝4．
18．（8分）先化简，再求值：，再从﹣2，0，3中选择一个合适的数作为m的值代入求值．
19．（8分）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
20.（8分）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求菱形的面积．
21.（8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
22.（10分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
(2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长
23.（10分）根据以下素材，探索完成任务
探究通过维修路段的最短时长
素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．

问题解决
任务1 甲车经过段的速度为__________；
任务2 在下图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图像；
任务3 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，计红绿灯2由绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点A需要y秒，求y关于x的解析式；
24.（13分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；当______时，四边形是菱形；
(2)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(3)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
25.（13分）阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．
例如：如图1，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．
在平面直角坐标系中，已知，直线：（）交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点；
(1)直线经过点A，
①_________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6；
②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式；
若（），D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证：点E为直线：与直线：的关联点；
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：、、不是分式，则A、B、D选项不符合题意；
是分式，则C选项符合题意；
故选：C．
2．某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：
时间/h 3 4 5 6 7
人数 1 3 2 3 1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是4 C．众数是6 D．方差是1
【解答】解：这组数据的平均数为5（h），故A选项符合题意；
这组数据的中位数是（h），故B选项不符合题意；
这组数据的众数是4和6，故C选项不符合题意；
则方差为[（3﹣5）2+3×（4﹣5）2+2×（5﹣5）2+3×（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝1.4，故D选项不符合题意．
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+2）2＝11 B．（x﹣2）2＝11 C．（x+4）2＝23 D．（x﹣4）2＝23
【解答】解：x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝11，
所以（x﹣2）2＝11．
故选：B．
4．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　）
A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225．
故选：C．
5．方程的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．无解
【解答】解：变形可得：3，
去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，
移项得：3x﹣x＝6﹣1﹣1，
合并同类项得：2x＝4，
把x的系数化为1得：x＝2，
检验：把x＝2代入最简公分母x﹣2＝0，
∴原分式方程无解．
故选：D．
6．如图，两条直线l1和l2的关系式分别为y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，两直线的交点坐标为（2，1），当y1＜y2时，x的取值范围为（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【解答】解：∵直线l1：y1＝k1x+b1与直线l2：y2＝k2x+b2的交点坐标为（2，1），
∴当x＝2时，y1＝y2＝1，
结合图象可知，当y1＞y2时，x＞2，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣2，4），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A．（0，1） B． C．（0，2） D．
【解答】解：如图，作A点关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时△ADE的周长最小．
∵A（﹣2，4），
∴A'（2，4），
∴D（﹣1，0），
∴直线DA'表达式是，
∴点E的坐标是，
故选：B．
8．已知一次函数y＝x+1与反比例函数的图象没有交点，则k的值可以为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【解答】解：∵反比例函数y与一次函数y＝x+1的图象没有交点，
∴方程组无解，即x+1无解．
∴方程x2+x﹣k＝0的Δ＝1+4k＜0，解得k．
∴四个选项中只有﹣1，所以只有选项B符合条件．
故选：B．
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连接AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（　　）
①AP＝CQ；
②∠AEC的度数不变；
③∠APD+∠CQD＝180°；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，DP＝AQ，
∴∠ACP＝∠D＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC
∴AD﹣AQ＝CD﹣DP，即DQ＝CP
∴△ACP≌△CDQ（SAS），
∴∠APC＝∠CQD，∠APC＝∠CQD，AP＝CQ，故①正确；
∵∠APD+∠APC＝180°，
∴∠APD+∠CQD＝180°，故③正确；
∵∠D＝60°，∠APD+∠CQD＝180°，
∴∠QEP＝120°，
∴∠AEC＝∠QEP＝120°，故②正确．
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠FAD＝α，则∠AFE的度数为（　　）
A．2α B．45°﹣α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则G、B、E三点共线，如图，
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
即∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠G＝∠AFE，
∵∠FAD＝α，
∴∠BAG＝α，
∴∠AFE＝∠G＝90°﹣α，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占40%，复赛成绩占60%来计算，则小张同学的总成绩为 　86　 分．
【解答】解：小张同学的总成绩为80×40%+90×60%＝8（6分）．
故答案为：86．
12．设m、n是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣2m﹣n＝　2024　 ．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m2﹣m＝2025，m+n＝1，
∴m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2025﹣1＝2024，
故答案为：2024．
13．已知，一次函数y＝（2k﹣2）x+5的值随x值的增大而减少，则常数k的取值范围是 　k＜1　 ．
【解答】解：∵一次函数y＝（2k﹣2）x+5中，y值随x值的增大而减少，
∴2k﹣2＜0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
14．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则m的取值范围为 　m＞﹣1　 ．
【解答】解：∵反比例函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴m+1＞0，
解得m＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．
15．如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6cm，则 ABCD的对角线AC的长为 　6　 cm．
【解答】解：在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝6cm，如图，连接BD交AC于点F．
∴BD＝BC，BC＝AD＝2，BF＝DF，AC＝2AF，
∴BD＝AD＝6cm，
∴DFBD6＝3（cm），
∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF3（cm），
∴AC＝2AF＝6cm．
故答案为：6．
16．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为 　8　 ．
【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，
∴AH∥BG，
∵AB＝BC，
∴CG＝HG，
∴AH＝2BG，
∵A、B两点在反比例函数的图象上，
∴设B（a，），
∴A（，），
∵OD∥AB，
∴S△AOC＝S△ADC＝12，
∴S△AOBS△AOC＝6，
∵S△AOH＝S△OBGk，
∴S△AOH﹣S△EOH+S△AEB＝S△OBG﹣S△EOH+S△AEB，即S四边形AHGB＝S△AOB＝6，
∴（AH+BG） HG（）×（a）＝6，
∴k＝8，
故k的值为8，
故答案为：8．
三．解答题（共3小题）
17．解方程：（2x+1）（x﹣1）＝4．
【解答】解：整理成一般式可得2x2﹣x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，
∴△＝1﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，
∴x．
18．先化简，再求值：，再从﹣2，0，3中选择一个合适的数作为m的值代入求值．
【解答】解：
．
∵分式的分母不能为0，
∴x≠±1或x≠0，
∴当x＝3时，
原式＝ ．
19．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABE＝∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
20.如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求菱形的面积．
【解答】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
21.已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值．
【解答】（1）解：证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，
∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，
∴或，
解得或（舍去），
∴a的值为4．
22．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
(2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长．
【解答】（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，
由题意得：，
解得：，
∴长为，宽为6，高为，
∴体积为：；
（2）解：设剪去的小正方形的边长为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍），
∴剪去的小正方形的边长为．
23．根据以下素材，探索完成任务
探究通过维修路段的最短时长
素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．

问题解决
任务1 甲车经过段的速度为__________；
任务2 在下图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图像；
任务3 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，计红绿灯2由绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点A需要y秒，求y关于x的解析式；
【解答】解：任务1：段的路程为：（米），
甲车经过段的时间为：（秒），
则甲车经过段的速度为：；
故答案为：8；
任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、，
根据图4中可得乙车经过段的时间：，
乙车经过段的时间为：，
甲车经过段的速度为：，
则乙车经过段的速度为，
即乙车经过段的时间为：，
∴乙车经过段的时间为：，
即补全函数图象如图．
任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，
记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，
则，
24．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；当______时，四边形是菱形；
(2)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(3)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
【解答】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形，
∴，解得：，
故当时，四边形为矩形；
解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（2）解：不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
（3）解：如图2，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，即：，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
25．阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．
例如：如图1，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．
在平面直角坐标系中，已知，直线：（）交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点；
(1)直线经过点A，
①_________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6；
②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式；
(2)若（），D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证：点E为直线：与直线：的关联点；
【解答】（1）解：①把代入，得，
解得：，
∴直线：（），
把代入，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
②由①得：，
则直线的解析式为，
∵
在中，，
作于点H，
∵点B恰好为、的关联点，
则
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
将代入：中，得：，
∴，
∴直线：与轴的交点，
∴，
∴，
∴，
∵点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，
∴设，
∴，
∴
∴，
如图，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，连接，
∴，，
∵将绕点P逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴平分直线：与直线：的夹角，
∴E到直线：与直线：的距离相等；
∴E为直线：与直线：的关联点；

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