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新课预习衔接 直线的斜率和倾斜角
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（　　）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 电白区期末）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）7．（2024 佳木斯期末）已知点A（2，0），B（﹣2，0）；直线l：（1+3λ）x﹣（1+2λ）y+2＝0（其中λ∈R），若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 　 　．
9．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为　 　．
10．（2024 泸县校级期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角α＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
12．（2024 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
13．（2024 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
14．（2024 鹤山市校级月考）已知A（3，1），B（2，4），C（m，2）三点．
（1）若直线BC的倾斜角为135°，求m的值；
（2）是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
15．（2024 皮山县期中）已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）．
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
新课预习衔接 直线的斜率和倾斜角
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案．
【解答】解：设直线x﹣y+5＝0的倾斜角为α，
直线x﹣y+5＝0的方程可化为y＝x+5，
所以斜率为k＝tanα＝1，
因为0≤α＜π，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1⊥l2，求得，得到，即可求解．
【解答】解：因为直线l1过，B（4，0）两点，可得，
又因为l1⊥l2，所以，可得，
设直线l2的倾斜角为α，则，因为α∈（0，π），所以，
所以直线l2的倾斜角为．
故选：A．
【点评】本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题．
3．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】B
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率k，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小．
【解答】解：∵直线的斜率k
∴直线的倾斜角α满足tanα，
结合0°≤α＜180°，可得α＝120°
故选：B．
【点评】本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．
4．（2024 青铜峡市校级期末）若直线l经过两点A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的倾斜角为45°，则m的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】对应思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的定义得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：由题意得：
1，解得：m．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，是基础题．
5．（2024 响水县校级期末）已知A（1，2），B（﹣2，0），过点C（﹣1，4）的直线l与线段AB不相交，则直线l斜率k的取值范围是（　　）
A．k＞1或k＜﹣4 B．﹣4＜k＜1 C．﹣1＜k＜4 D．k＞4或k＜﹣1
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据A，B，C三点的坐标，写出直线AC、BC的斜率，再由直线l与线段AB无交点，得解．
【解答】解：因为A（1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，4），
所以直线AC的斜率kAC＝﹣1，直线BC的斜率kBC＝4，
因为直线l过点C（﹣1，4）与线段AB不相交，
所以kAC＜k＜kBC，
即k的取值范围是（﹣1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 电白区期末）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】确定直线位置的几何要素．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】由直线的方程求出斜率和在y轴上的截距，可得结论．
【解答】解：∵直线Ax+By+C＝0，即y x，
∵AB＜0，BC＞0，∴直线的斜率0，在y轴上的截距0，
故直线Ax+By+C＝0经过第一、三、四象限，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．
（多选）7．（2024 佳木斯期末）已知点A（2，0），B（﹣2，0）；直线l：（1+3λ）x﹣（1+2λ）y+2＝0（其中λ∈R），若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】直线的斜率．
【专题】对应思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BC
【分析】由题意可得直线l恒过定点P（4，6），所以要直线/与线段AB有公共点，必须满足kPB≤k≤kPA，从而可求出斜率的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：由（1+3λ）x﹣（1+2λ）y+2＝0（其中λ∈R），得（x﹣y+2）+λ（3x﹣2y）＝0，
因为λ∈R，
所以，解得，所以直线l恒过定点P（4，6），
因为点A（2，0），B（﹣2，0），直线l与线段AB有公共点，
所以直线的斜率满足kPB≤k≤kPA，
即k，
得1≤k≤3．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线的斜率的取值范围，是基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 　[0，]∪[，π）　．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】分类讨论；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】[0，]∪[，π）．
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π），
设直线的斜率为k，因为k＝tanα∈[﹣1，1]，
当﹣1≤k＜0时，则α∈[，π），
当0≤k≤1时，则α∈[0，]．
故倾斜角的范围为[0，]∪[，π）．
故答案为：[0，]∪[，π）．
【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
9．（2024春 虹口区校级期中）若（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为　　．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，从而求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵（﹣1，）是直线l的一个法向量，
∴可知直线l的一个方向向量为（，1），
直线l的倾斜角为α得，tanα
∴α
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的法向量和方向向量的关系，考查直线的倾斜角问题，是一道基础题．
10．（2024 泸县校级期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角α＝　30°　．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】30°．
【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角．
【解答】解：记直线 l的倾斜角为α，
由题知，又α∈[0，π），
所以，即α＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查直线的方向向量、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 湖北月考）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为，求m的值．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）（，4）；
（2）m．
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k＝﹣2023，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）因为倾斜角θ为锐角，则k＝tanθ＞0，而k0，
即（3m+4）（m﹣4）＜0，解得：m＜4，
所以m的范围为（，4）；
（2）直线MN的方向向量为，可得k＝﹣2023，
解得：m．
【点评】本题考查直线的斜率的求法及直线的方向向量的应用，属于基础题．
12．（2024 井冈山市校级期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求ab的最大值．
【考点】直线的斜率；基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）﹣2；（2）．
【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；
（2）先确定a，b满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答．
【解答】解：（1）由题意知，直线AB的斜率．
（2）当点P（a，b）在A，B两点之间时，
由点P（a，b）在线段AB上，
易知kAP＝kAB，即，
即b＝﹣2a+2（0＜a＜1），
当P与A，B重合时也满足b＝﹣2a+2，
因此b＝﹣2a+2（0≤a≤1），
亦即2a+b＝2，且0≤a≤1，0≤b≤2，
所以，
∴，
当且仅当2a＝b，即时，等号成立．
故ab的最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：两点间的斜率，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
13．（2024 新化县期末）已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
【考点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）x﹣y﹣4＝0．
（2）x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【分析】（1）根据直线的斜率求出直线l的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程．
（2）设直线m的方程为x﹣y+c＝0，根据点P到直线m的距离为3，求出c的值，可得结论．
【解答】解：（1）∵直线的方程为yx+1，
∴k，倾斜角α＝120°，
故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为，
∵直线l经过点（，﹣1），
∴所求直线l方程为y+1（x），
即x﹣y﹣4＝0．
（2）∵直线m与l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，
∴3，即|4+c|＝6，
∴c＝2或c＝﹣10，
∴所求直线m的方程为x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（2024 鹤山市校级月考）已知A（3，1），B（2，4），C（m，2）三点．
（1）若直线BC的倾斜角为135°，求m的值；
（2）是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）4；
（2）存在m，使得A，B，C三点共线，．
【分析】（1）根据已知条件，结合斜率公式，即可求解；
（2）根据A，B，C三点共线时，kAB＝kBC列方程，即可求解．
【解答】解：∵B（2，4），C（m，2），直线BC的倾斜角为135°，
∴，解得m＝4，
故m的值为4．
（2）∵A（3，1），B（2，4），C（m，2）三点，
∴当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即，解得，
∴存在m，使得A，B，C三点共线，．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
15．（2024 皮山县期中）已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）．
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】（1）1；．
（2）（3，5）．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：（1）因为直线AB的斜率为，
所以直线AB的倾斜角为．
（2）如图：
当点D在第一象限时，kAB＝kCD，kAC＝kBD，
设D（x，y），
则，解得，
故点D的坐标为（3，5）．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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