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新课预习衔接 两条直线的交点
一．选择题（共4小题）
1．（2024 邢台期末）已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
2．（2024 和平区校级期末）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y+m＝0经过定点P，直线l'经过点P，且l'的方向向量，则直线l'的方程为（　　）
A．2x﹣3y+5＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y+5＝0 D．3x﹣2y﹣5＝0
3．（2023春 樟树市校级期末）若直线y＝x+2k+1与直线yx+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，） C．[，] D．[，]
4．（2024 南开区期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024 揭阳期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
（多选）6．（2024 莆田校级期中）以下四个命题叙述正确的是（　　）
A．直线2x﹣y+1＝0在x轴上的截距是1
B．直线x+ky＝0和2x+3y+8＝0的交点为P，且P在直线x﹣y﹣1＝0上，则k的值是
C．设点M（x，y）是直线x+y﹣2＝0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是
D．直线L1：ax+3y+1＝0，L2：2x+（a+1）y+1＝0，若L1∥L2，则a＝﹣3或2
三．填空题（共4小题）
7．（2024 福山区期中）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是　 　．
8．（2024 宜丰县校级月考）动点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，O为原点，|OP|最小时点P的坐标为 　 　．
9．（2024 白云区校级期中）直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点 　 　．
10．（2024 金台区校级期中）若三条直线y＝2x，x+y＝3，mx﹣2y﹣5＝0相交于同一点，则m的值为　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
12．（2024春 浦东新区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．
13．（2024春 西青区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
14．（2024 松江区校级期末）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PAPB取最小值时，求直线的方程．
15．（2024 益阳期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
新课预习衔接 两条直线的交点
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 邢台期末）已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k≤﹣4或 D．以上都不对
【考点】恒过定点的直线．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，
解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，
即 k，或 k4，
∴k，或k≤﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
2．（2024 和平区校级期末）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y+m＝0经过定点P，直线l'经过点P，且l'的方向向量，则直线l'的方程为（　　）
A．2x﹣3y+5＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y+5＝0 D．3x﹣2y﹣5＝0
【考点】恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】直线l方程变为x+y+m（2x+y+1）＝0，可得定点P（﹣1，1）．根据l'的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可．
【解答】解：（2m+1）x+（m+1）y+m＝0可变形为x+y+m（2x+y+1）＝0，
解，得x＝﹣1，y＝1，即P点坐标为（﹣1，1）．
因为，所以直线l'的斜率为，又l'过点P（﹣1，1），
代入点斜式方程可得，整理可得2x﹣3y+5＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点，还考查了直线方程的点斜式的应用，属于基础题．
3．（2023春 樟树市校级期末）若直线y＝x+2k+1与直线yx+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，） C．[，] D．[，]
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】计算题；方程思想；消元法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，由交点在第一象限，列不等式组解出实数k的取值范围．
【解答】解：联立，
即x+2k+1x+2，
解得x（1﹣2k），
代入直线y＝x+2k+1得：yk，
∴x（1﹣2k）＞0，且yk0，
解得k，
故选：A．
【点评】本题考查两直线的交点坐标，属于基础题．
4．（2024 南开区期中）设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】过两条直线交点的直线系方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆．
【答案】B
【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝10．三角换元后，由三角函数的知识可得．
【解答】解：由题意可知，动直线x+my+m＝0经过定点A（0，﹣1），
动直线mx﹣y﹣m+2＝0即 m（x﹣1）﹣y+2＝0，经过点定点B（1，2），
∵动直线x+my+m＝0和动直线mx﹣y﹣m+2＝0的斜率之积为﹣1，始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
设∠ABP＝θ，则|PA|sinθ，|PB|cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]
∴|PA|+|PB|（sinθ+cosθ）＝2sin（θ），
∵θ∈[0，]，∴θ∈[，]，
∴sin（θ）∈[，1]，
∴2sin（θ）∈[，2]，
故选：B．
【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024 揭阳期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
【考点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式；命题的真假判断与应用；直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BCD
【分析】对于A，直接求出定点，即可求解，
对于B，结合截距的定义，即可求解，
对于C，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解，
对于D，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：对于A，直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（﹣2，3），故A错误，
对于B，当x＝0时，y＝﹣1，
直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1，故B正确，
对于C，直线的斜率为，其倾斜角为60°，故C错误，
对于D，点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
（多选）6．（2024 莆田校级期中）以下四个命题叙述正确的是（　　）
A．直线2x﹣y+1＝0在x轴上的截距是1
B．直线x+ky＝0和2x+3y+8＝0的交点为P，且P在直线x﹣y﹣1＝0上，则k的值是
C．设点M（x，y）是直线x+y﹣2＝0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是
D．直线L1：ax+3y+1＝0，L2：2x+（a+1）y+1＝0，若L1∥L2，则a＝﹣3或2
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BC
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出k判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D．
【解答】解：对于A，直线2x﹣y+1＝0在x轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即P（﹣1，﹣2），则﹣1﹣2k＝0，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当a＝2时，直线L1：2x+3y+1＝0，L2：2x+3y+1＝0重合，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
7．（2024 福山区期中）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是　　．
【考点】两条直线的交点坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．
【解答】解：画出图象
∵，
．
要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，
则满足．
∴，
∴．
故答案为．
【点评】正确理解直线相交于直线的斜率的关系是解题的关键．
8．（2024 宜丰县校级月考）动点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，O为原点，|OP|最小时点P的坐标为 　（2，2）　．
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（2，2）．
【分析】当OP垂直于x+y﹣4＝0时，|OP|最小，求出OP所在的直线方程，联立得到交点坐标，即为答案．
【解答】解：直线上的点到原点距离的最小值，即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线x+y﹣4＝0，
设直线OP的方程为x﹣y+c＝0，
因为O在直线OP上，
所以c＝0，
所以OP所在的直线方程为y＝x，
由，解得，
所以点P的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
9．（2024 白云区校级期中）直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点 　（﹣1，3）　．
【考点】恒过定点的直线．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（﹣1，3）．
【分析】将直线化简为a（x+1）+y﹣3＝0，令，即可求解．
【解答】解：直线ax+y+a﹣3＝0，即a（x+1）+y﹣3＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝3，
故直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
10．（2024 金台区校级期中）若三条直线y＝2x，x+y＝3，mx﹣2y﹣5＝0相交于同一点，则m的值为　9　．
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】方程思想；数学模型法；直线与圆；数学运算．
【答案】9．
【分析】联立，求得交点坐标，代入直线mx﹣2y﹣5＝0即可求得m值．
【解答】解：联立，解得，
∴两条直线y＝2x与x+y＝3的交点坐标为（1，2），
又三条直线y＝2x，x+y＝3，mx﹣2y﹣5＝0相交于同一点，
把（1，2）代入mx﹣2y﹣5＝0，得m﹣2×2﹣5＝0，即m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查两直线交点坐标的求法，是基础的计算题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5x﹣4y﹣9＝0．
【分析】（1）将直线方程改写成m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0形式，解方程组，即可求出直线恒过的定点的坐标；
（2）设出与直线l垂直的方程，分别令x＝0、y＝0求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果．
【解答】（1）证明：直线l的方程（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0，
可整理为m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0，
由，解得，
所以直线l过定点M（5，4）；
（2）解：由（1）知，直线l过定点M（5，4），
设过点M且与直线l垂直的直线方程为y＝k（x﹣5）+4（k＜0），
令x＝0，则y＝﹣5k+4，
令y＝0，则，
所以，
因为k＜0，所以﹣k＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即5x﹣4y﹣9＝0．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用及直线恒过定点的求法，属于基础题．
12．（2024春 浦东新区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．
【考点】过两条直线交点的直线系方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0
可得直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1）
（2）令y＝0，得A（）；令x＝0，得B（0，1+2k）
三角形OAB的面积为s4，解得k
【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k＝0，可得k（x+2）+（1﹣y）＝0
∴直线l：kx﹣y+1+2k＝0必过直线x+2＝0，1﹣y＝0的交点（﹣2，1）
∴P（﹣2，1）．
（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，
∴k＞0
令y＝0，得A（）；令x＝0，得B（0，1+2k）
三角形OAB的面积为s4
解得k
∴直线l方程为：x﹣2y+4＝0
【点评】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题．
13．（2024春 西青区校级期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
【考点】过两条直线交点的直线系方程．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，
注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．
【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，
∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．
（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2，0），
令x＝0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S△AOB|﹣2||2k+1|
（2）（2k+1）＝（4k4）
（4+4）＝4．
当且仅当4k，即k时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1＝0．
即x﹣2y+4＝0
【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．
14．（2024 松江区校级期末）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：
①△AOB的周长为12；
②△AOB的面积为6．
若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PAPB取最小值时，求直线的方程．
【考点】恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）直线恒过定点P（，2），
（2）3x+4y﹣12＝0，
（3）3x+3y﹣10＝0．
【分析】（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可求；
（2）设直线的方程，满足①可得，联立可解a，b，即可得方程；若满足②，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求．
（3）利用直线的倾斜角表示PAPB，利用换元法，结合三角函数的性质及函数的单调性可求．
【解答】解：（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x，y＝2，
故直线恒过定点P（，2），
（2）设直线方程为，（a＞0，b＞0），
若满足条件（1），则a+b12，①
又∵直线过点P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
解得，或．
∴所求直线的方程为或1，
即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0．
若满足条件②，则ab＝12，③
由题意得，1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍），
∴所求直线的方程为，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0．
综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程，为3x+4y﹣12＝0，
（3）由题意可知直线的倾斜角，
所以PA，PB，
所以PAPB，
令t＝cosα﹣sinα，
由可得，cos（），t，
PAPB在[，﹣1）上单调递增，
当t即时，上式取得最小值4，此时直线方程为y﹣2＝﹣（x），
化简可得，直线方程为3x+3y﹣10＝0．
【点评】本题主要考查了直线恒过定点问题，还考查了直线方程的综合应用，属于中档试题．
15．（2024 益阳期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线；基本不等式及其应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线l的方程可化为y＝k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．
（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l的方程可化为y＝k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．
（2）直线l的方程可化为y＝kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（，0），B（0，1+2k），
又0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S|OA||OB|（1+2k）
（4k4）（4+4）＝4，
当且仅当4k，即k时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4＝0．
【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．
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