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新课预习衔接 平面上的距离
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 潍坊月考）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　）
A．；x+y﹣2＝0 B．；3x+y﹣4＝0
C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0
2．（2024春 洮北区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A．5 B． C．5 D．
3．（2024 龙凤区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），若直线x﹣2y+m＝0上存在点P满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024 红谷滩区校级模拟）在平面直角坐标系中，集合A＝{（x，y）|kx﹣y+k＝0}，集合B＝{（x，y）|y＝kx﹣1}，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则d的最大值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024 和平区期末）设点P，Q分别为直线3x+4y﹣7＝0与直线6x+8y+3＝0上的任意一点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 邢台期末）已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
（多选）7．（2024 四平期中）已知直线l过点（1，3），点A（﹣4，2），B（2，﹣2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（　　）
A．2x+3y﹣11＝0 B．3x+2y﹣8＝0
C．3x﹣2y+3＝0 D．2x﹣3y+7＝0
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　 　．
9．（2024 台州期末）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为 　 　．
10．（2024 江苏模拟）已知A（﹣1，0），B（﹣4，0），|PB|＝2|PA|，若平面内满足到直线l：3x+4y+m＝0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 菏泽期中）已知点A（﹣2，﹣1）、B（6，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线的直线方程；
（2）若点A、B到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，求实数a的值．
12．（2024 潮阳区校级期中）直线l过点P（2，﹣1）．
（1）若直线l与直线x+y+1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若点A（1，2）到直线l的距离为1，求直线l的方程．
13．（2024 龙口市月考）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3），C（3，4）．
（1）求△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
14．（2024 巴宜区校级期中）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
15．（2024 澄城县期中）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
新课预习衔接 平面上的距离
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 潍坊月考）点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　）
A．；x+y﹣2＝0 B．；3x+y﹣4＝0
C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过点A（1，1），根据几何知识得到当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，然后根据距离公式和点斜式计算即可．
【解答】解：直线l的方程可整理为：λ（3x+y﹣4）+x+y﹣2＝0，
令，解得，
所以直线l恒过点A（1，1），
由题意得当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，
，，
所以直线PA：，整理得2x﹣3y+1＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了点和直线的位置关系，属于中档题．
2．（2024春 洮北区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）
A．5 B． C．5 D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】D
【分析】推导出点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，求出点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（4，﹣2），|PA|+|PB|的最小值为|BC|，由此能求出结果．
【解答】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，
∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，
设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），
则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|2．
故选：D．
【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024 龙凤区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），若直线x﹣2y+m＝0上存在点P满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】求出点P的轨迹方程，要使直线x﹣2y+m＝0上存在点P满足，只需满足直线与圆有公共点．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），因为，A（﹣1，0），B（2，0），
所以，整理得：（x+2）2+y2＝4，
所以点P的轨迹是以圆心（﹣2，0），半径为r＝2的圆；
所以圆心（﹣2，0）到x﹣2y+m＝0的距离为，
要使直线x﹣2y+m＝0上存在点P满足，只需满足直线与圆相交或相切．
即，解得：．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，是中档题．
4．（2024 红谷滩区校级模拟）在平面直角坐标系中，集合A＝{（x，y）|kx﹣y+k＝0}，集合B＝{（x，y）|y＝kx﹣1}，已知点M∈A，点N∈B，记d表示线段MN长度的最小值，则d的最大值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】根据题意，将集合A、B看作是直线的集合，求出定点坐标，进而利用距离公式算出答案．
【解答】解：集合A＝{x|kx﹣y+k＝0}表示直线l1：kx﹣y+k＝0上的点组成的集合，
将kx﹣y+k＝0变形，可得y＝k（x+1），所以直线l1：kx﹣y+k＝0过定点E（﹣1，0）．
集合B＝{（x，y）|y＝kx﹣1}表示直线l2：y＝kx﹣1上的点组成的集合，
直线l2：y＝kx﹣1过定点F（0，﹣1）．
由于直线l1∥l2，所以线段MN长度d的最小值是平行线l1、l2的距离，
当线段MN与直线l1、l2都垂直时，d有最大值，最大值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线的位置关系、两点之间的距离公式等知识，属于基础题．
5．（2024 和平区期末）设点P，Q分别为直线3x+4y﹣7＝0与直线6x+8y+3＝0上的任意一点，则|PQ|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【考点】两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意可得直线3x+4y﹣7＝0与直线6x+8y+3＝0平行，再利用平行线间的距离公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴直线3x+4y﹣7＝0与直线6x+8y+3＝0平行，
又点P，Q分别为直线3x+4y﹣7＝0与直线6x+8y+3＝0上的任意一点，
又直线6x+8y+3＝0可化为3x+4y0，
∴|PQ|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查线线平行的判定，平行线间的距离公式的应用，属基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 邢台期末）已知点A（0，0），B（1，﹣1），直线l：mx﹣y+2＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝﹣3时，点A，B到直线l距离相等
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l在x轴上的截距为﹣2
D．当m＝﹣1时，直线l与直线AB平行
【考点】点到直线的距离公式；直线的斜率；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】CD
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式判断出A项的正误；由直线的方程算出直线的斜率，判断出B项的正误；根据截距的概念判断出C项的正误；根据两条直线平行计算出m的值，判断出D项的正误，由此得解．
【解答】解：对于A，当m＝﹣3时，直线l为﹣3x﹣y+2＝0，
此时点A到l的距离为，点B到直线l的距离为，不相等，故A不正确；
对于B，m＝0时，直线l为y＝2，直线的斜率存在且为0，故B不正确；
对于C，m＝1时，直线l为x﹣y+2＝0，取y＝0，得x＝﹣2，即直线l在x轴上的截距为﹣2，故C正确；
对于D：m＝﹣1时，直线l为﹣x﹣y+2＝0，其斜率k＝﹣1，不过A点，
而，AB斜率与直线l的斜率相等，所以直线l与直线AB平行，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
（多选）7．（2024 四平期中）已知直线l过点（1，3），点A（﹣4，2），B（2，﹣2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（　　）
A．2x+3y﹣11＝0 B．3x+2y﹣8＝0
C．3x﹣2y+3＝0 D．2x﹣3y+7＝0
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】AC
【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程．
【解答】解：当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即2x+3y﹣11＝0．
当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为（﹣1，0），所以直线l的方程为，即3x﹣2y+3＝0．
综上所述，直线l的方程为2x+3y﹣11＝0或3x﹣2y+3＝0．
故选：AC．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，是基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　0　．
【考点】两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】0．
【分析】根据两直线的斜率不相等判断两直线相交，即可得最小距离为0．
【解答】解：直线2x﹣3y＝0的斜率为，直线3x﹣2y＝1的斜率为，
因为k1≠k2，所以两直线相交，故最小距离为0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查两点间的距离，属于基础题．
9．（2024 台州期末）点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离为 　1　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得．
【解答】解：点P（1，2）到直线3x+4y﹣6＝0的距离．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
10．（2024 江苏模拟）已知A（﹣1，0），B（﹣4，0），|PB|＝2|PA|，若平面内满足到直线l：3x+4y+m＝0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m＝　±5　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出点P的轨迹方程是圆，根据题意知圆心到直线的距离d＝1，由此列方程求出m的值．
【解答】解：设点P（x，y），由A（﹣1，0），B（﹣4，0），|PB|＝2|PA|，
得2，化简得x2+y2＝4；
平面内满足到直线l：3x+4y+m＝0的距离为1的点P有且只有3个，
则圆心O（0，0）到直线l的距离d1，
解得m＝±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 菏泽期中）已知点A（﹣2，﹣1）、B（6，3）．
（1）求线段AB的垂直平分线的直线方程；
（2）若点A、B到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，求实数a的值．
【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）2x+y﹣5＝0；
（2）或﹣1．
【分析】（1）求出直线AB的斜率与线段AB的中点，即可求出线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求出线段AB的中点C的坐标，分两种情况讨论：①点C在直线l上；②直线l与直线AB平行．由此列式算出实数a的值．
【解答】解：（1）线段AB的中点为C（2，1），，
故线段AB的中垂线的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（2）由条件线段AB的中点为C（2，1）在直线上或线段AB所在直线与直线平行，
若线段AB的中点为C（2，1）在直线l上，则2a+1+1＝2a+2＝0，解得a＝﹣1；
线段AB所在直线与直线l平行，则，解得．
综上所述，a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、点到直线的距离公式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
12．（2024 潮阳区校级期中）直线l过点P（2，﹣1）．
（1）若直线l与直线x+y+1＝0平行，求直线l的方程；
（2）若点A（1，2）到直线l的距离为1，求直线l的方程．
【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，分类讨论，并结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可设，直线l的方程为x+y+m＝0，m≠1，
∵直线l过点P（2，﹣1），
∴2﹣1+m＝0，解得m＝﹣1，
故直线l的方程为x+y﹣1＝0．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝2，符合题意，
当直线l斜率存在时，直线l为y+1＝k（x﹣2），
∵点A（1，2）到直线l的距离为1，
∴，解得k，
故直线方程为4x+3y﹣5＝0，
综上所述，所求的直线方程为x﹣2＝0或4x+3y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
13．（2024 龙口市月考）已知△ABC的三个顶点是A（﹣2，1），B（0，﹣3），C（3，4）．
（1）求△ABC的面积S；
（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）13；
（2）2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【分析】（1）先求出直线AB的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解；
（2）由题意可知，直线l与AB平行或通过AB的中点，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（0，﹣3），
，
故直线AB的方程为y＝﹣2x﹣3，即2x+y+3＝0，
，
点C到直线AB的距离为
所以△ABC的面积S为；
（2）因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l与AB平行，所以kl，所以l：2x+y﹣10＝0．
②当直线l通过AB的中点D（﹣1，﹣1），
所以，所以l：，即5x﹣4y+1＝0，
综上：直线l的方程为2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
14．（2024 巴宜区校级期中）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线BC的方程为x﹣y﹣4＝0，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入坐标联立解方程组即可求得结果．
【解答】解：（1）直线BC的方程为，
化简可得x﹣y﹣4＝0，
所以点A到直线BC的距离．
（2）设ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得
，即解得；
故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于中档题．
15．（2024 澄城县期中）已知直线l经过点P（2，5），且斜率为．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【考点】点到直线的距离公式；直线的点斜式方程．
【专题】对应思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）3x﹣4y+14＝0；
（2）3x﹣4y﹣1＝0或3x﹣4y+29＝0．
【分析】（1）根据点斜式方程求出直线方程即可；
（2）根据点到直线的距离公式得到关于c的方程，解出即可求出直线m的方程．
【解答】解：（1）∵点P（2，5），且斜率为，
由点斜式得直线l的方程为：y﹣5（x﹣2），
即3x﹣4y+14＝0；
（2）由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为3x﹣4y+c＝0（c≠14），
由点到直线的距离公式得3，
解得：c＝﹣1或c＝29，
故直线m的方程为：3x﹣4y﹣1＝0或3x﹣4y+29＝0．
【点评】本题考查了求直线方程问题，考查点斜式方程，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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