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新课预习衔接 抛物线
一．选择题（共5小题）
1．（2024 齐齐哈尔三模）设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P（1，2）在C上，则|PF|＝（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2024 陇南一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 重庆期末）抛物线yx2的准线方程为（　　）
A． B．y＝1 C．x＝1 D．
4．（2024 泰州模拟）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 江苏模拟）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 崂山区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是，则（　　）
A．p＝2 B．|AB|＝9 C． D．
（多选）7．（2024秋 陕西月考）已知曲线Γ1的方程为x2＝y，Γ2是以点A（0，a）为圆心、1为半径的圆位于y轴右侧的部分，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线Γ1的焦点坐标为
B．曲线Γ2过点（1，a）
C．若直线y＝x+2被Γ1所截得的线段的中点在Γ2上，则a的值为
D．若曲线Γ2在Γ1的上方，则
三．填空题（共3小题）
8．（2024 浦东新区校级期末）抛物线y2＝8x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 　 　．
9．（2024 桐柏县期末）已知抛物线M：x2＝8y，直线l：y＝kx+2与抛物线交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 　 　．
10．（2024 淮北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）准线为l，焦点为F，点A，B在抛物线上，点C在l上，满足：，，若λ＝3，则实数μ＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 丰泽区校级月考）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（1，1），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，若EF的长为，求直线l的方程．
12．（2024 建平县校级期末）在直角坐标平面内，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点C（9，0）作直线l交E于M，N两点（与A，B不重合），直线AM与BN的交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
13．（2024 五莲县校级模拟）已知抛物线E：y＝x2，过点T（1，2）的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N，设l1与l2的交点为P．
（1）证明：点P在定直线上；
（2）若△PMN面积为，求点P的坐标；
（3）若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标．
14．（2024 秦都区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA与直线PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若，求证：直线l过定点．
15．（2024 凉山州模拟）P（2，2）为抛物线Γ：y2＝mx上一点，过P作两条关于x＝2对称的直线分别交Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求m的值及Γ的准线方程；
（2）判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
新课预习衔接 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 齐齐哈尔三模）设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P（1，2）在C上，则|PF|＝（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】D
【分析】利用点P在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义即可求解．
【解答】解：依题意，2＝a×12，解得a＝2，
所以的准线为，所以．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
2．（2024 陇南一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，则tan∠NMF＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】求出N的坐标，然后求解tan∠NMF即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点M，N为C上一点，且tan∠NFM＝﹣2，
不妨设N在第一象限，可得tan∠NFx＝2，
设|BF|＝s，|NB|＝t，2，t＝2s，则N（s，2），代入抛物线方程可得8s2＝2p（s），解得s，
所以N（p，p），
tan∠NMF．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
3．（2024 重庆期末）抛物线yx2的准线方程为（　　）
A． B．y＝1 C．x＝1 D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】B
【分析】将抛物线化成标准方程，得x2＝﹣4y，由此求出1，即可得到该抛物线的准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2＝﹣4y，
∴2p＝4，可得1，
因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y＝1．
故选：B．
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
4．（2024 泰州模拟）抛物线y＝2x2的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求抛物线的准线方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】根据抛物线的性质得出准线方程．
【解答】解：∵抛物线方程可化为，∴，
∴抛物线y＝2x2的准线方程为．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
5．（2024 江苏模拟）已知P为抛物线x2＝4y上的一点，过P作圆x2+（y﹣3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】设P（t，），由|PC|取得最小值时，∠APB最大，cos∠APB最小即可求解．
【解答】解：如图所示：
因为∠APB＝2∠APC，sin∠APC，
设P（t，），则|PC|2＝t2+（3）29（t2﹣4）2+8，
当t2＝4时，|PC|取得最小值2，此时，∠APB最大，cos∠APB最小，
且（cos∠APB）min＝1﹣2sin2∠APC＝1﹣2×（）2．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 崂山区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是，则（　　）
A．p＝2 B．|AB|＝9 C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】AC
【分析】写出抛物线的焦点，以及直线l的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系和弦长公式求|AB|，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程求得p，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），
则直线l的方程为y＝x，代入抛物线方程得x2﹣3px0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝3p，
根据抛物线定义|AF|＝x1，|BF|＝x2，
所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝4p．
坐标原点O到直线l的距离d，
所以△OAB的面积为 4p 2，
解得p＝2，所以选项A正确；
又因为|AB|＝4p＝8，所以选项B错误；
由p＝2得x2﹣6x+1＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2，
所以1，选项C正确；
|AF|＝4+2，所以选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及联立直线方程和抛物线方程，根与系数的关系和弦长公式，是中档题．
（多选）7．（2024秋 陕西月考）已知曲线Γ1的方程为x2＝y，Γ2是以点A（0，a）为圆心、1为半径的圆位于y轴右侧的部分，则下列说法正确的是（　　）
A．曲线Γ1的焦点坐标为
B．曲线Γ2过点（1，a）
C．若直线y＝x+2被Γ1所截得的线段的中点在Γ2上，则a的值为
D．若曲线Γ2在Γ1的上方，则
【考点】抛物线的弦及弦长；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的几何性质，可得判定A错误；把点（1，a）代入圆Γ2的方程，可判定B正确；12+（a﹣a）2＝1，所以圆Γ2过点（1，a），所以B正确；设y＝x+2被Γ1所截得的线段为DE，中点为G，联立方程组，求得G的坐标，代入Γ2，可判定C正确；根据圆与抛物线的位置关系，联立方程组，结合Δ＜0，可判定D正确．
【解答】解：对于A中，由曲线，抛物线Γ1的焦点坐标为，所以A错误；
对于B中，圆Γ2的标准方程为：x2+（y﹣a）2＝1（x＞0），
点（1，a）代入圆Γ2的方程得12+（a﹣a）2＝1，所以圆Γ2过点（1，a），所以B正确；
对于C中，设y＝x+2被Γ1所截得的线段为DE，中点为G，
联立方程组，整理得x2﹣x﹣2＝0，可得，
则，故，所以，
代入，可得，解得，所以C正确；
对于D中如图所示，曲线Γ2在Γ1的上方时，抛物线和圆无交点，
联立方程组，整理得y2+（1﹣2a）y+a2﹣1＝0，
由Δ＝（1﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 浦东新区校级期末）抛物线y2＝8x，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 　2　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】2．
【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB的中点M到准线的距离，最后求出弦AB的中点M的横坐标．
【解答】解：抛物线y2＝8x的准线l的方程为：x＝﹣2，焦点为F（2，0），分别过A，B，M，
作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足为C，D，H，在直角梯形ABDC中，，
由抛物线的定义可知：|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，因此有，
所以点M的横坐标为4﹣2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（2024 桐柏县期末）已知抛物线M：x2＝8y，直线l：y＝kx+2与抛物线交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 　23　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【答案】23．
【分析】分别在k＝0，k≠0时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得|AC|+4|BD|＝|AF|+4|BF|+5，再利用基本不等式求其最小值．
【解答】解：因为抛物线M的方程为x2＝8y，
所以抛物线M的焦点为F（0，2），准线y＝﹣2，
则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，
当k＝0时，联立y＝2与x2＝8y可得x＝±4，
所以|AF|＝|BF|＝4，则；
当k≠0时，如图，
过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，
则|EK|＝|EF|+|FK|＝4+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得，
则，
同理可得，所以，
化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，
所以|AC|+4|BD|＝|AF|+|FC|+4（|DF|+|FB|）＝|AF|+4|DF|+5
，
当且仅当，即|AF|＝2|DF|＝6时等号成立，
所以|AC|+4|BD|的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题考查抛物线的定义及标准方程，考查直线与抛物线、直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2024 淮北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）准线为l，焦点为F，点A，B在抛物线上，点C在l上，满足：，，若λ＝3，则实数μ＝　2　．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题设A，B，C，F共线，作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，结合抛物线定义及相似比求参数值即可．
【解答】解：由题设知：A，B，C，F共线，且，如下图，
作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，则|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
所以|AD|＝3|BE|，又Rt△ACD～Rt△BCE，则，
所以，即，故μ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线得性质的应用，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 丰泽区校级月考）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（1，1），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，若EF的长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）（x+1）2+（y+1）2＝4；
（2）或．
【分析】（1）设动点P的坐标为（x，y），根据题意列出方程，化简，即得答案；
（2）利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质，求出弦长的表达式，结合题意列式计算，求得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），
因为点A（1，1），动点P满足，
所以，
整理得（x+1）2+（y+1）2＝4，
则动点P的轨迹C的方程（x+1）2+（y+1）2＝4；
（2）因为轨迹C为圆心为（﹣1，﹣1），半径为2的圆，
若直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，
此时点（﹣1，﹣1）到直线l的距离，
则，
解得，
此时，
满足直线l：y＝k（x+1）与轨迹C交于E，F两点，
则直线l的方程为或．
即或．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
12．（2024 建平县校级期末）在直角坐标平面内，已知A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足条件：直线PA与直线PB的斜率之积等于，记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点C（9，0）作直线l交E于M，N两点（与A，B不重合），直线AM与BN的交点Q是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）；
（2）是，x＝1．
【分析】（1）设P（x，y）（x≠±3），由斜率公式得到方程，整理即可得解；
（2）依题意直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my+9，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线AM、BN的方程，即可得到直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出x0，从而得解．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x≠±3），则，
所以9y2＝x2﹣9，即，
故曲线E的方程为；
（2）根据题意，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my+9，
由消去x并整理得（m2﹣9）y2+18my+72＝0，
Δ＝182m2﹣4×72（m2﹣9）＝36（m2+72）＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
因为x1，x2≠±3，所以可设直线AM的方程为，……①
直线BN的方程为，……②
所以直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足．
而
，
因此x0＝1，即点Q在定直线上，且定直线的方程为x＝1．
【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．
13．（2024 五莲县校级模拟）已知抛物线E：y＝x2，过点T（1，2）的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x轴交于点M，l2与x轴交于点N，设l1与l2的交点为P．
（1）证明：点P在定直线上；
（2）若△PMN面积为，求点P的坐标；
（3）若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标．
【考点】直线与抛物线的综合；直线与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）证明见解答；
（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（2，2）；
（2）P的坐标为（，）．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xP，yP），由y＝x2，得y′＝2x，可求得l1与l2的方程，联立可求得点P的坐标；再将直线AB的方程与抛物线方程联立，即可证得点P在定直线上；
（2）在l1，l2的方程中，令y＝0，得M（，0），N（，0），由S△PMN|MN| |yP||（x1﹣x2）x1x2|，结合韦达定理，可求得k的值，进而可求得点P的坐标；
（3）依题意，可求得直线TP的方程，再结合点P在定直线y＝2x﹣2上，联立两直线方程，即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xP，yP），由y＝x2，得y′＝2x，所以l1方程为：y＝2x1（x﹣x1）+y1，整理得：y＝2x1x，
同理可得，l2的方程为：y＝2x2x，联立得：xP，yP＝x1x2．
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+2，与抛物线方程联立得：x2﹣kx+k﹣2＝0，故x1+x2＝k，x1x2＝k﹣2，所以xP，yP＝k﹣2，有yP＝2xP﹣2，
所以点P在定直线y＝2x﹣2上．
（2）在l1，l2的方程中，令y＝0，得M（，0），N（，0），所以△PMN的面积S|MN| |yP||（x1﹣x2）x1x2|，故（x1﹣x2）2（x1x2）2＝32，
代入可得：（k2﹣4k+8）（k2﹣4k+4）＝32，解得k＝0或k＝4，所以点P的坐标为（0，﹣2）或（2，2）．
（3）抛物线焦点F（0，），由M（，0）得直线MF的斜率kMF，
所以MF⊥MP，同理NF⊥NP，
所以PF是△PMN外接圆的直径，若点T也在该圆上，则TF⊥TP．
由kTF，得直线TP的方程为：y（x﹣1）+2，
又点P在定直线y＝2x﹣2上，
联立两直线方程，解得点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查方程思想与转化与化归思想的应用，考查推理能力与运算能力，属于难题．
14．（2024 秦都区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA与直线PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与曲线C交于M，N两点，直线MA，NB与y轴分别交于E，F两点，若，求证：直线l过定点．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析．
【分析】（Ⅰ）设P点坐标为（x，y），由直线PA与直线PB的斜率之积为，列出方程化简可得结果；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得x1+x2和x1x2，再求出E，F的坐标，根据得k＝m，从而可得结果．
【解答】解：（Ⅰ）设P点坐标为（x，y），
因为直线PA与直线PB的斜率之积为，点A（﹣2，0），B（2，0），
所以．
所以曲线C的方程为．
（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，
，
由，，
因为，
所以（kx1+m）（x2﹣2）＝3（kx2+m）（x1+2），
所以2kx1x2+（2k+3m）（x1+x2）+4（k﹣m）x2+8m＝0（k﹣m）[4km﹣2+（4k2+1）x2]＝0对任意x2都成立，
所以k＝m，故直线l过定点（﹣1，0）．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
15．（2024 凉山州模拟）P（2，2）为抛物线Γ：y2＝mx上一点，过P作两条关于x＝2对称的直线分别交Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求m的值及Γ的准线方程；
（2）判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【考点】抛物线的定点及定值问题．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（1）；
（2）是定值；．
【分析】（1）将点P（2，2）代入抛物线方程求m的值，利用抛物线方程求准线方程；
（2）设直线AB的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，直线PA与PB对称可知，直线PA与PB斜率互为相反数，可证明直线AB斜率为定值．
【解答】解：（1）根据题意可得22＝2m，得m＝2，
故所求抛物线Γ方程为y2＝2x，抛物线Γ的准线方程为．
（2）由题意不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，
联立抛物线方程可得，消去x得：k2x2+（2kt﹣2）x+t2＝0，Δ＝4﹣8kt＞0，
由韦达定理得，
因为直线PA与PB关于x＝2对称，∴，且，
所以，即y1+y2+4＝0，
即k（x1+x2）+2t+4＝0，由韦达定理得，
所以直线AB的斜率为定值．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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