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2024~2025学年高一教学质量检测
数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A 1 B. C. 3 D.
2. 某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ）
A. 抽签法 B. 随机数法
C 分层随机抽样 D. 简单随机抽样
3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
4. 有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，侧面积为，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（ ）
A B. C. D.
7. 已知|，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 在上的投影向量为
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ）
A. 点P再次进入水中用时20s
B. 当水轮转动25s时，点P处于最低点
C. 当水轮转动28.75s时，点P距离水面
D. 点P第三次到达距水面时用时42.5s
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若z是纯虚数，则
C. 若，则 D. 若，则，或
10. 记事件M中样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，已知，，，，，，则（ ）
A. B. 与互不相容
C. 与相互独立 D.
11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（ ）
A.
B. 平面平面
C. 点G到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则 ________．
13. 某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________．
14. 如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（1）求a，A；
（2）求的面积及．
16. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）；
（2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数；
（3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．
17. 已知α，β，γ是三个平面，，，．
（1）若，求证：；
（2）若，判断a与c及b与c的关系，并说明理由．
18. 在三棱柱中，侧面为菱形，，，，M为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）请作出二面角的一个平面角，并求其正切值．
19. （1）叙述余弦定理，并用向量法证明；
（2）叙述正弦定理，并用向量法证明（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）；
（3）用正弦定理证明余弦定理．
2024~2025学年高一教学质量检测
数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】0.65##
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1），71.5
（2）88． （3）72；58.4
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2），，理由见解析
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）作图见解析，．
【19题答案】
【答案】（1）余弦定理：三角形任何一边平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．，证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

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