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2.3《二次根式》复习题--二次根式及乘除法
【题型1 判断二次根式】
1.下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.在式子（m、n异号）中，二次根式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型2 根据二次根式有意义条件求范围】
1.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
2.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
3.要使二次根式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可）
4.如果，那么 ．
【题型3 二次根式的乘法】
1.计算：
(1)； (2)．
2.计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)
3.设，计算下列各式：
(1) (2) (3) (4)．
4.计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【题型4 二次根式的除法】
1.计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.计算：
(1)； (2)； (3)．
3.化去下列各式分母中的根号：
(1) (2) (3) (4)
4.计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【题型5 二次根式的乘除混合运算】
1.计算：
2.计算：．
3.计算：
(1) (2)．
4.计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
1.已知，化简 ．
2.已知，化简： ．
3.已知，则的值为 ．
4.已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简： ．
【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
1.已知，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.化简结果为（ ）
A． B． C．2ab D．
3.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 复杂的复合二次根式化简】
1.形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有．
例如：化简．
解：，这里，，由于，
∴．
请仿照上例解下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：
【变式训练】
2.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以．
尝试化简下列各式：
(1)；
(2)．
3.阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简．
例如：化简：．
解：，
．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)计算：．
4.【数学经验】
我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式：
例如：．
【深入探索】如何化简？
【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：，
【问题解决】化简．
解：首先把化为，这里，．由于，．
即，．
∴ = =2+ ．
利用上述解决问题的方法解答下列问题：
(1)化简：
①；
②．
(2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）．
参考答案
【题型1 判断二次根式】
1.C
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意；
B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意；
C、是二次根式，故C选项符合题意；
D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意；
故选：C．
2.B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
3.C
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、因为，则不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、因为，故是二次根式，符合题意；
D、当时，则，不是二次根式，不符合题意；
故选：C．
4.B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案．
【详解】解：根据二次根式的定义可知：为二次根式，不是二次根式，
故选：B
【题型2 根据二次根式有意义条件求范围】
1.
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件得出，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，则，
故答案为：．
2.
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为： ．
3.8（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴的值可以是8．
故答案为：8（答案不唯一）．
4.2
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点．
根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
【题型3 二次根式的乘法】
1.（1）解：
；
（2）解：
．
2.（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
3.（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
；
（4）解：，
．
4.（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【题型4 二次根式的除法】
1.（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
2.（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
3.（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
4.（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
．
【题型5 二次根式的乘除混合运算】
1.解：
2.解：
．
3.（1）解：
；
（2）
.
4.（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：


．
【题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
1.
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
2.1
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1
3.
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，
根据x的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质，可得待求式，整理得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
4.
【知识点】利用二次根式的性质化简、确定第三边的取值范围
【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键．
首先利用三角形三边关系得出a的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3、a、6，
∴，即，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
1.D
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
2.A
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：；
故选：A．
3.B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提．
【详解】解：由于二次根式有意义，
所以，
所以，
故选：B．
4.B
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简．
先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简．
【详解】因为二次根式有意义，则，
所以．
则．
答案选B．
【题型8 复杂的复合二次根式化简】
1.（1）解：；
；
；
（2）解：，
∴，，，
∴；
（3）原式
．
2.（1）；
（2）解：．
3.（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
而，则
∴
（3）解：
．
4.（1）解：①这里，，由于，，
即，
．
②首先把化为，
这里，，由于，，
即，，
．
（2）在中，由勾股定理得，，
，
，
．

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