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新课预习衔接 直线与直线的方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
4．（2024 西宁期末）若直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，则t＝（　　）
A．﹣3 或3 B．﹣1 或1 C．﹣3或1 D．﹣1 或3
5．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　 　．
9．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　 　．
10．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
12．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
13．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
14．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
15．（2024 新化县期末）已知直线l1经过点A（2，3）．
（1）若l1与直线l2：x+2y+4＝0垂直，求l1的方程；
（2）若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
新课预习衔接 直线与直线的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 叙州区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x﹣y+5＝0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案．
【解答】解：设直线x﹣y+5＝0的倾斜角为α，
直线x﹣y+5＝0的方程可化为y＝x+5，
所以斜率为k＝tanα＝1，
因为0≤α＜π，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（2024 盐田区校级期末）已知直线l1过，B（4，0）两点，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1⊥l2，求得，得到，即可求解．
【解答】解：因为直线l1过，B（4，0）两点，可得，
又因为l1⊥l2，所以，可得，
设直线l2的倾斜角为α，则，因为α∈（0，π），所以，
所以直线l2的倾斜角为．
故选：A．
【点评】本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题．
3．（2024 盐田区校级期末）“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y+7＝0平行”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】A
【分析】分别当a＝3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．
【解答】解：当a＝3时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+7＝0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
∴a＝3或a＝﹣2，
综上所述，a＝3是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题．
4．（2024 西宁期末）若直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，则t＝（　　）
A．﹣3 或3 B．﹣1 或1 C．﹣3或1 D．﹣1 或3
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【答案】D
【分析】利用两平行线间的距离公式直接求解．
【解答】解：∵直线l1：2x﹣y+1＝0和直线l2：2x﹣y+t＝0间的距离为，
∴，
解得t＝﹣1或t＝3．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2024 滕州市期末）直线的倾斜角为（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；直线与圆．
【答案】B
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率k，利用斜率与倾斜角的关系即可算出所求的倾斜角大小．
【解答】解：∵直线的斜率k
∴直线的倾斜角α满足tanα，
结合0°≤α＜180°，可得α＝120°
故选：B．
【点评】本题给出直线方程，求直线的倾斜角的大小．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 临川区校级期末）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　）
A．若l1⊥l2，则
B．若l1∥l2，则ab＝3
C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当b＜0时，l2不经过第一象限
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可．
【解答】解：由题知，直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，
对于A，当l1⊥l2时，a+3b＝0，解得或a＝b＝0，故A错误；
对于B，当l1∥l2时，﹣ab+3＝0，解得ab＝3，故B正确；
对于C，在直线l1：ax﹣3y+1＝0中，
当x＝0时，，当y＝0时，，
所以l1与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当b＜0时，的图象为
故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线垂直、平行的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024 渭滨区期末）已知直线l1：ax+2y+3a＝0和直线l2：3x+（a﹣1）y+7﹣a＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当时，l1⊥l2
B．当a＝﹣2时，l1∥l2
C．直线l1过定点（﹣3，0）
D．当l1，l2平行时，两直线的距离为
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；向量法；直线与圆；数学运算．
【答案】ACD
【分析】对于A，通过k1 k2＝﹣1是否成立来判断；对于B，将a＝﹣2代入即可判断；对于C，将直线l1变形为a（x+3）+2y＝0，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解．
【解答】解：对于A，当时，那么直线l1为，
直线l2为，此时两直线的斜率分别为和k2＝5，
所以有k1 k2＝﹣1，所以l1⊥l2，故A选项正确；
对于B，当a＝﹣2时，那么直线l1为x﹣y+3＝0，直线l2为x﹣y+3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；
对于C，由直线l1：ax+2y+3a＝0，整理可得：a（x+3）+2y＝0，故直线l1过定点（﹣3，0），故C选项正确；
对于D，当l1，l2平行时，a（a﹣1）＝6，且2（7﹣a）≠3a（a﹣1），a（7﹣a）≠3 3a，解得：a＝3，
可得直线l1为：3x+2y+9＝0，l2为：3x+2y+4＝0，
此时两直线的距离，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断方法，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 博爱县校级期末）直线2x﹣3y＝0与3x﹣2y＝1上任意两点最小距离为 　0　．
【考点】两点间的距离公式；两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】0．
【分析】根据两直线的斜率不相等判断两直线相交，即可得最小距离为0．
【解答】解：直线2x﹣3y＝0的斜率为，直线3x﹣2y＝1的斜率为，
因为k1≠k2，所以两直线相交，故最小距离为0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查两点间的距离，属于基础题．
9．（2024 揭阳期末）求过两条直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程 　3x﹣4y+8＝0　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【答案】3x﹣4y+8＝0．
【分析】联立，解得两条直线的交点P的坐标，设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，把P坐标代入解得m，即可得出要求的直线方程．
【解答】解：联立，解得，∴两条直线的交点为P（0，2），
设与3x﹣4y+2＝0平行的直线方程为3x﹣4y+m＝0，
把P（0，2）代入可得0﹣8+m＝0，
解得m＝8，
∴要求的直线方程为3x﹣4y+8＝0，
故答案为：3x﹣4y+8＝0．
【点评】本题考查了直线的交点、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（2024 长宁区校级期末）直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]，则其倾斜角的取值范围是 　[0，]∪[，π）　．
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】分类讨论；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】[0，]∪[，π）．
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π），
设直线的斜率为k，因为k＝tanα∈[﹣1，1]，
当﹣1≤k＜0时，则α∈[，π），
当0≤k≤1时，则α∈[0，]．
故倾斜角的范围为[0，]∪[，π）．
故答案为：[0，]∪[，π）．
【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 邢台期末）已知直线l1：（a+1）x﹣2y﹣1＝0，直线l2：（2a﹣1）x﹣（a﹣2）y+1＝0．
（1）若l1∥l2，求实数a的值；
（2）若l1⊥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）a＝5；
（2）或a＝1．
【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的充要条件列方程求参数值即可．
【解答】解：（1）由l1∥l2，则（a+1）×[﹣（a﹣2）]＝﹣2（2a﹣1），且﹣2×1≠﹣（a﹣2）×（﹣1），
解得a＝5；
（2）由l1⊥l2，则（a+1）（2a﹣1）+2（a﹣2）＝0，
解得或a＝1．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
12．（2024 叙州区校级期末）已知直线l的方程为（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0．
（1）证明：不论m为何值，直线l过定点M．
（2）过（1）中点M，且与直线l垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5x﹣4y﹣9＝0．
【分析】（1）将直线方程改写成m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0形式，解方程组，即可求出直线恒过的定点的坐标；
（2）设出与直线l垂直的方程，分别令x＝0、y＝0求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果．
【解答】（1）证明：直线l的方程（2m+1）x+（m+2）y﹣14m﹣13＝0，
可整理为m（2x+y﹣14）+x+2y﹣13＝0，
由，解得，
所以直线l过定点M（5，4）；
（2）解：由（1）知，直线l过定点M（5，4），
设过点M且与直线l垂直的直线方程为y＝k（x﹣5）+4（k＜0），
令x＝0，则y＝﹣5k+4，
令y＝0，则，
所以，
因为k＜0，所以﹣k＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即5x﹣4y﹣9＝0．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用及直线恒过定点的求法，属于基础题．
13．（2024春 浦东新区期中）已知△ABC中，A（﹣2，1），B（4，3）．
（1）若C（3，﹣2），求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（2）若点M（3，1）为边AC的中点，求BC边所在直线的一般式方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）x+5y﹣3＝0；（2）x+2y﹣10＝0．
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可．
【解答】解：（1）因为B（4，3），C（3，﹣2），
所以，
因为AD是BC边上的高，
所以，
所以高AD所在直线的方程为；
（2）因为点M（3，1）为边AC的中点，
所以，
因此BC边所在直线的方程为．
【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题．
14．（2024 武汉期末）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数a的值；
（2）若l1∥l2，求实数a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】对应思想；定义法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两直线垂直的公式A1A2+B1B2＝0，即可求解；
（2）根据两直线平行，A1B2＝A2B1，求解a，再代回直线验证．
【解答】解：（1）若l1⊥l2，则
1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或2；
（2）若l1∥l2，则
∴a2＝﹣2a+3，解得a＝﹣3或1．
a＝﹣3时，l1：x﹣3y+3＝0，l2：3x﹣9y+5＝0，满足l1∥l2，
a＝1时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，此时l1与l2重合，
所以a＝﹣3．
【点评】本题考查直线平行与垂直的计算，属于基础题．
15．（2024 新化县期末）已知直线l1经过点A（2，3）．
（1）若l1与直线l2：x+2y+4＝0垂直，求l1的方程；
（2）若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】（1）2x﹣y﹣1＝0；
（2）x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．
【分析】（1）根据两直线垂直得到l1的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程．
【解答】解：（1）由题可知，l2的斜率为，
设l1的斜率为k，因为l1⊥l2，所以，则k＝2，
又l1经过点A（2，3），所以l1的方程为y﹣3＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣1＝0；
（2）若l1在两坐标轴上的截距为0，即l1经过原点，设l1的方程为y＝kx，
将A（2，3）代入解析式得2k＝3，解得，
故l1的方程为3x﹣2y＝0，
若l1在两坐标轴上的截距不为0，则设l1的方程为，
由，得a＝5，
故l1的方程为x+y﹣5＝0，
综上，l1的方程为x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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