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新课预习衔接 空间直角坐标系
一．选择题（共5小题）
1．（2024 平罗县校级期末）点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2，1 ） B．（﹣3，2，﹣1）
C．（﹣3，﹣2，﹣1） D．（﹣3，2，1）
2．（2024 三门峡期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，3，0），B（0，3，﹣1），则（　　）
A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面xOz D．直线AB⊥坐标平面xOz
3．（2024春 临洮县校级月考）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）在x轴上的射影和在xOz平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（　　）
A．（1，0，0），（1，0，3） B．（1，0，0），（1，2，0）
C．（0，2，3），（1，0，3） D．（0，2，3），（1，2，0）
4．（2024 西青区期末）在空间直角坐标系中，点P（1，﹣2，4）关于xOz平面的对称点是（　　）
A．（﹣1，2，4） B．（1，2，4） C．（1，﹣2，﹣4） D．（﹣1，﹣2，4）
5．（2024 鄂托克旗期中）在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（6，﹣1，4），B（3，0，2），C（﹣1，4，5），则点D的坐标为（　　）
A．（2，3，7） B．（﹣4，5，3） C．（10，﹣5，1） D．（4，﹣5，﹣3）
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
（多选）7．（2024 大东区校级期末）空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4）
三．填空题（共3小题）
8．（2024 海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）两点之间的“直角距离”d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是 　 　．
9．（2024 西城区校级期中）已知M（1，2，﹣3），N（3，﹣2，﹣1），则线段MN的中点坐标是 　 　．
10．（2024 中山市校级月考）已知A（2，1，﹣1），B（﹣1，0，2），则线段AB的长为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 图木舒克校级月考）正方体OABC﹣D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
12．（2023春 淮安区期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1＝6，E，F分别是A1D1，A1B1的中点，，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
（1）写出C，D1，F，G四点的坐标；
（2）求cos，．
13．（2022秋 郑州期末）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
14．（2022秋 临朐县校级月考）已知空间三点A（1，2，3），B（2，﹣1，5），C（3，2，﹣5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC中AB边上的高．
15．（2021秋 岳池县期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
（1）求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
（2）求点N的坐标．
新课预习衔接 空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 平罗县校级期末）点M（3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2，1 ） B．（﹣3，2，﹣1）
C．（﹣3，﹣2，﹣1） D．（﹣3，2，1）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．
【答案】A
【分析】点M（a，b，c）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣a，b，c）．
【解答】解：由空间直角坐标系的性质知：
点M （3，﹣2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（﹣3，﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
2．（2024 三门峡期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（1，3，0），B（0，3，﹣1），则（　　）
A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面xOz D．直线AB⊥坐标平面xOz
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】平面xOz的一个法向量为（0，1，0），易得⊥，再由线面平行的判定定理，得解．
【解答】解：由A（1，3，0），B（0，3，﹣1），知（﹣1，0，﹣1），
因为平面xOz的一个法向量为（0，1，0），所以 0，即⊥，
又AB 平面xOz，
所以直线AB∥坐标平面xOz．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握利用空间向量判断线面平行或垂直的方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2024春 临洮县校级月考）在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）在x轴上的射影和在xOz平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（　　）
A．（1，0，0），（1，0，3） B．（1，0，0），（1，2，0）
C．（0，2，3），（1，0，3） D．（0，2，3），（1，2，0）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】A
【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解．
【解答】解：点P（1，2，3）在x轴上的射影的坐标为（1，0，0），在xOz平面上的射影的坐标为（1，0，3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
4．（2024 西青区期末）在空间直角坐标系中，点P（1，﹣2，4）关于xOz平面的对称点是（　　）
A．（﹣1，2，4） B．（1，2，4） C．（1，﹣2，﹣4） D．（﹣1，﹣2，4）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】点（x，y，z）关于xOz平面的对称点是（x，﹣y，z）．
【解答】解：点P（1，﹣2，4）关于xOz平面的对称点是（1，2，4）．
故答案为：B．
【点评】本题考查空间中点关于平面xOz对称的点坐标的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2024 鄂托克旗期中）在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（6，﹣1，4），B（3，0，2），C（﹣1，4，5），则点D的坐标为（　　）
A．（2，3，7） B．（﹣4，5，3） C．（10，﹣5，1） D．（4，﹣5，﹣3）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案．
【解答】解：设D（x，y，z），
因为AC与BD的中点相同，所以，
解得x＝2，y＝3，z＝7，所以D（2，3，7）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为（0，0，c），根据空间两点间距离公式列式求解．
【解答】解：设点B的坐标为（0，0，c），
由空间两点间距离公式可得，
解得：c＝﹣2或10，
所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，﹣2）．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间两点间距离公式，是基础题．
（多选）7．（2024 大东区校级期末）空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4）
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】ABD
【分析】根据空间两点的距离公式计算可得．
【解答】解：因为，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查空间两点的距离公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）两点之间的“直角距离”d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是 　[，3]　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；数学运算．
【答案】[，3]．
【分析】根据题意，求出|AB|的表达式，结合三角代换法、辅助角公式对其变形，利用正弦型函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：根据题意，因为A和B两点之间的距离是，即，
所以设，
其中，
则有d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|＝|x1﹣x2|，
由于，所以，因此，
设t＝sin（θ），则t∈[，1]，
于是有，
因为，所以，
因此当t＝1且时，即当t＝1且时，
d（A，B）有最大值，其最大值为，
当且φ＝0或时，d（A，B）取得最小值，
此时，，
所以d（A，B）的最小值，
综上，A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是[，3]．
故答案为：[，3]．
【点评】本题考查合情推理的应用，涉及三角恒等变形的应用，关键是利用三角代换的方法、运用正弦函数的最值的性质，属于中档题．
9．（2024 西城区校级期中）已知M（1，2，﹣3），N（3，﹣2，﹣1），则线段MN的中点坐标是 　（2，0，﹣2）　．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（2，0，﹣2）．
【分析】由中点公式计算即可得出结果．
【解答】解：因为M（1，2，﹣3），N（3，﹣2，﹣1），
所以线段MN的中点坐标是，即中点为（2，0，﹣2）．
故答案为：（2，0，﹣2）．
【点评】本题考查空间中的点的坐标，属于基础题．
10．（2024 中山市校级月考）已知A（2，1，﹣1），B（﹣1，0，2），则线段AB的长为 　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】．
【分析】利用空间距离公式计算即可．
【解答】解：由A（2，1，﹣1），B（﹣1，0，2），
可得．
故答案为：
【点评】本题考查空间两点间距离的求法，基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 图木舒克校级月考）正方体OABC﹣D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】对应思想；数形结合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方体各棱长相等，结合中点坐标公式，即可求出六边形各顶点的坐标．
【解答】解：正方体OABC﹣D′A′B′C′的棱长为a，
且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，
∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E（0，，a），F（，0，a），
G（a，0，），H（a，，0），I（，a，0），J（0，a，）．
【点评】本题考查了空间直角坐标系与正方体的应用问题，是基础题目．
12．（2023春 淮安区期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2AB＝2AA1＝6，E，F分别是A1D1，A1B1的中点，，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
（1）写出C，D1，F，G四点的坐标；
（2）求cos，．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）C（3，6，0），D1（0，6，3），F（），G（，，）；
（2）．
【分析】（1）由已知写出点的坐标即可；
（2）利用向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）C（3，6，0），D1（0，6，3），F（），E（0，3，3），G（，，）；
（2），（，），
因为，
故cos，．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，夹角的计算，属于基础题．
13．（2022秋 郑州期末）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．
（2）证明详见解析．
【分析】（1）根据已知条件，以及正方体的棱长和AE＝BF＝x，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求证．
【解答】解：（1）由题意可得，E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．
（2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a），
∴，，
∴ax+a（x﹣a）+a2＝0，
故A1F⊥C1E．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
14．（2022秋 临朐县校级月考）已知空间三点A（1，2，3），B（2，﹣1，5），C（3，2，﹣5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC中AB边上的高．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；分析法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1），
（2）．
【分析】根据空间向量的坐标运算，可求出三角形的边长，再由余弦定理可得出两边夹角，再求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由已知，得，
∴，
|，
，
∴，
∴，
∴．
（2）设A B边上的高为CD，则，
即△ABC边上的高为3．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间中的位置关系转化为数量关系，将逻辑推理转化为数量计算，属于容易题．
15．（2021秋 岳池县期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
（1）求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
（2）求点N的坐标．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；直观想象．
【答案】（1）A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0），B1（4，0，5），D1（0，3，5），C1（4，3，5）．
（2）N（4，3，）．
【分析】（1）利用空间直角坐标系的性质能求出点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标．
（2）利用中点坐标公式能求出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，
分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∴点A（0，0，0），
∵B在x轴的正半轴上，且|OB|＝4，∴B（4，0，0），
同理得：D（0，3，0），A1（0，0，5），
∵C在坐标平面xoy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，∴C（4，3，0），
同理得B1（4，0，5），D1（0，3，5），
与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，
且|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1（4，3，5）．
（2）由（1）知C（4，3，0），C1（4，3，5），
∴CC1的中点坐标为N（4，3，）．
【点评】本题考查点的坐标、中点坐标的求法，考查空间直角坐标系、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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