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新课预习衔接 空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 辽宁月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　）
A． B． C．3 D．4
2．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
3．（2024春 酒泉期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2024春 集宁区校级期末）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（　　）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
（多选）5．（2024 桐柏县期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4
C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0
三．填空题（共5小题）
6．（2024 山东月考）已知向量，，，若，则m＝　 　．
7．（2024 江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝　 　．
8．（2024 随州模拟）已知，，若，则实数λ的值为 　 　．
9．（2024 新化县期末）已知向量，则λ＝　 　．
10．（2024 济源期末）如图，在四棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝4，∠BAD＝∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则的最小值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 琼山区校级期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
12．（2024 中原区校级月考）已知向量，．
（1）求与的夹角余弦值．
（2）若，求实数λ的值．
13．（2024 林芝市期末）已知空间向量．
（1）求；
（2）若向量与垂直，求实数k的值．
14．（2024 松山区期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．
（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
15．（2024 贺兰县校级期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
（1）求cos，的值；
（2）求证：A1B⊥C1M．
新课预习衔接 空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 辽宁月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　）
A． B． C．3 D．4
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||．
【解答】解：设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），
且⊥，∥，
∴，解得x＝1，y＝﹣2，
∴（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），
∴||．
故选：C．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】首先化简向量，再代入向量平行的坐标表示公式，即可求解．
【解答】解：，因为，所以存在实数λ，使得，
所以，
所以解得
所以x+y＝6．
故选：C．
【点评】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题．
3．（2024春 酒泉期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据空间向量加法法则进行求解即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为PD的中点，
∴（）（）
（）
（2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量基本定理的应用，根据向量加法法则进行转化是解决本题的关键，属基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）4．（2024春 集宁区校级期末）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（　　）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理分别判断．
【解答】解：对于A：由空间向量基本定理，
可知只有当不共面时． 才能作为基底，得到，故A错误；
对于B：若是空间的一个基底，则不共面．，
求不出λ和μ，
所以也不共面，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C：若，，则不一定平行，故C错误；
对于D：若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识要点：空间向量的坐标运算，向量的垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）5．（2024 桐柏县期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4
C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出m，n的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出m，n的关系判断C，D．
【解答】解：若，则，得m＝4，n＝﹣4，故A正确，B错误；
若，则，即m﹣n+1＝0，故C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
6．（2024 山东月考）已知向量，，，若，则m＝　18　．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】18．
【分析】求出向量的坐标，由已知条件可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数m的值．
【解答】解：因为向量，，，
则，
因为，则，解得m＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查空间向量的应用，属于基础题．
7．（2024 江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝　　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解．
【解答】解：连接BD，如图所示：
则，
又，所以．
故答案是：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8．（2024 随州模拟）已知，，若，则实数λ的值为 　2　．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】2．
【分析】由向量垂直知向量的数量积为零，建立方程可得解．
【解答】解：因为，所以，
，（﹣2）2+12+32﹣λ[（﹣2）×（﹣1）+1×2+3×1]＝0，
解得λ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9．（2024 新化县期末）已知向量，则λ＝　3或﹣2　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】3或﹣2．
【分析】先求出，再求出，然后求出λ即可．
【解答】解：，
所以，解得λ＝3或者λ＝﹣2．
故答案为：3或﹣2．
【点评】本题考查空间向量的运算，属于基础题．
10．（2024 济源期末）如图，在四棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝4，∠BAD＝∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则的最小值为 　　．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】先判断出|（xy）|（x，y∈R）的最小值为四棱台的高，添加辅助线后求出四棱台的高，由此能求出的最小值．
【解答】解：如图，在四棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝4，∠BAD＝∠BAA'＝∠DAA'＝60°，
设x，则E∈平面ABCD，
∴|（x）|＝||＝||，
||的最小值即为棱台的高，
过A′作A′G⊥AD，垂足为G，过A′作A′H⊥AB，垂直为H，
过A′作A′O⊥平面ABCD，垂足为O，连接OG，OH，
则 A′G＝A′H＝AA′sin60°2，AG＝AH＝AA′cos60°＝2，
∵∠GOA′＝∠HOA′＝90°，A′O＝A′O，∴△GAO≌△HAO，
∴OG＝OH，而AO＝AO，∴△AOG≌△AOH，
∴∠GAO＝∠HAO＝30°，
∵AH 平面ABCD，∴A′O⊥AH，∵A′O⊥A′H＝A′，∴AB⊥平面A′HO，
∵OH 平面A′HO，∴AB⊥OH，
∴AB⊥平面A′HO，∵OH 平面A′HO，∴AB⊥OH，
∴AO，∴，
即||的最小值为．
过A作向量，M∈平面A′B′C′D′，
则|（xy）|＝|（xy）|＝|EM|，
|EM|的最小值即为平面A′B′C′D′到平面ABCD的距离，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查四棱台的结构特征、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024春 琼山区校级期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结合法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由图形知再用表示出来即可．
（Ⅱ）求MN的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）由图形知．
（Ⅱ）由题设条件
∵，
∴，．
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，解题的关键是掌握向量加法法则与空间向量求线段长度的公式，空间向量法求距离是空间向量的一个非常重要的运用．熟练运用公式是解题的知识保证．
12．（2024 中原区校级月考）已知向量，．
（1）求与的夹角余弦值．
（2）若，求实数λ的值．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）应用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值．
（2）由向量线性运算的坐标表示及垂直关系的坐标表示列方程求参数．
【解答】解：（1）根据题意，向量，，
则；
（2）根据题意，向量，．
则，
又，则有，
则．
【点评】本题考查空间向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
13．（2024 林芝市期末）已知空间向量．
（1）求；
（2）若向量与垂直，求实数k的值．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量及其线性运算；空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）k＝5．
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可．
（2）根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可．
【解答】解：（1），所以；
（2），，
由向量与垂直，则，
则4（2k﹣3）+（﹣k﹣3）﹣10（﹣2k+12）＝0，
解得：k＝5．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14．（2024 松山区期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．
（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面垂直．
【专题】证明题；数形结合；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）推导出，，由BB1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，得到，．从而 （） （）＝0，由此能证明AB1⊥BC1．
（2）推导出 || || cos，1，||＝||，从而cos，，由此能求出侧棱长．
【解答】证明：（1），．
因为BB1⊥平面ABC，
所以 0， 0．
又△ABC为正三角形，
所以，π，π．
因为 （） （）

＝|| || cos，1+1
＝0，
所以AB1⊥BC1．
解：（2）由（1）知 || || cos，1．
又||||，
所以cos，，
所以||＝2，
即侧棱长为2．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查正三棱柱的侧棱长的求法，考查空间向量的夹角与距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
15．（2024 贺兰县校级期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
（1）求cos，的值；
（2）求证：A1B⊥C1M．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出cos，．
（2）求出（﹣1，1，﹣2），（，0），利用向量法证明A1B⊥C1M．
【解答】解：（1）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
（1，﹣1，2），（0，1，2），
∴cos，．
证明：（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C1（0，0，2），M（），
（﹣1，1，﹣2），（，0），
0，
∴A1B⊥C1M．
【点评】本题考查向量的余弦值的求法，考查二直线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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