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第一章三角形单元测验
考试范围：三角形；考试时间：90分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )
A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 带和去
2.如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是( )
A. 是的中线 B. 是的角平分线
C. D. 是的高
3.下列各图中，，为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙
4.在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点均在格点上，在内部有，，，四个格点，到三个顶点距离相等的是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
5.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图，则说明的依据是( )
A. B. C. D.
6.如图，给出下列四组条件：
，，；
，；
，，；
，，．
其中，能使≌的条件共有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
7.如图，在中，，，过点画一条直线，将分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
8.如图所示，，，，以下结论：；；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ．
10.若≌，，，，则 ．
11.如图，在中，是边的中点，是边的中点．若四边形的面积为，则的面积为 ．
12.如图，在中，，，平分交于点若，则的长度为 ．
13.如图，已知，要使≌，只需增加的一个条件是________．
14.如图，在中，，平分，，，，则的长为 ．
15.如图，是边上的两点，，，利用“”方法，请你再添加一个条件： 使≌
16.如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：
； 平分；
； ；
．
其中正确的结论为 填写序号
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
尺规作图保留作图痕迹：
如图，已知，求作，使
如图，已知和两点、，求作一点，使，且到边、的距离相等．
18.本小题分
如图，已知，，且请你判断是的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
19.本小题分
如图，≌，，，。
求线段的长；试判断与的位置关系，并说明理由．
20.本小题分
某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；沿河岸直走有一树，继续前行到达处；从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；测得的长为米．
求：
河的宽度是__________
请你证明他们做法的正确性．
21.本小题分
如图，已知点，，，在同一直线上，且，，求证：≌．
22.本小题分
如图所示，已知、、、在同一直线上，，，，
求证≌
23.本小题分
如图，是等边三角形，，分别是边，上的点，且，，相交于点．
求证：；
求的度数．
24.本小题分
综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，，将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到点，分别是点，的对应点，旋转角为，设线段与交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：如图，当旋转到时，旋转角的度数为 ．
探究规律：如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．在图中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
第2页，共7页第一章三角形单元测验
考试范围：三角形；考试时间：90分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )
A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 带和去
【答案】C
【解析】【分析】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 这一题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】
解：带去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B.带去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C.带去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合判定，故C选项正确；
D.带和去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选C
2.如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是( )
A. 是的中线 B. 是的角平分线
C. D. 是的高
【答案】C
【解析】略
3.下列各图中，，为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等．
【解答】
解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等；
在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等；
在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等；
故选C．
4.在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点均在格点上，在内部有，，，四个格点，到三个顶点距离相等的是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】略
5.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图，则说明的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
考查了三边对应相等的两个三角形全等这一判定定理．利用三角形全等的判定证明．
【解答】
解：从角平分线的作法得出，
与的三边全部相等，
则≌．
故选A
6.如图，给出下列四组条件：
，，；
，；
，，；
，，．
其中，能使≌的条件共有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
【答案】C
【解析】【分析】
要使≌的条件必须满足、、、，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【解答】
解：第组满足，能证明≌．
第组满足，能证明≌．
第组满足，能证明≌．
第组只是，不能证明≌．
所以有组能证明≌．
故符合条件的有组．
故选：．
7.如图，在中，，，过点画一条直线，将分割成两个三角形，且其中至少有一个是等腰三角形，则这样的直线能画( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】B
【解析】提示：如图，即为符合题意的等腰三角形．故这样的直线能画条．
8.如图所示，，，，以下结论：；；；其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】C
【解析】分析
由证明，得出，得出正确；由证明，得出对应边相等正确；由证明，得出正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
详解解：
在和中，
，
，
，
，
正确；
在和中，
，
，，
正确；
在和中，
，
，
正确，
不正确；
所以正确的结论有个．
故选C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ．
【答案】
【解析】提示：若腰长为，则三边长分别为，，，因为，所以不能构成三角形，舍去；若腰长为，则三边长分别为，，，能构成三角形，所以周长为．
10.若≌，，，，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等根据全等三角形的对应边相等解答．
【解答】
解：≌，
．
故答案为．
11.如图，在中，是边的中点，是边的中点．若四边形的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【解析】提示：连接因为是边的中点，是边的中点，所以，，因为，所以，所以，所以．
12.如图，在中，，，平分交于点若，则的长度为 ．
【答案】
【解析】在中，，，．
平分，，
，，
，，．
13.如图，已知，要使≌，只需增加的一个条件是________．
【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．要使≌，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
【解答】
解：，，
可添加或分别利用，判定≌．
故答案为：或．
14.如图，在中，，平分，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】，平分，．
，，，
，，是等边三角形，
，．
15.如图，是边上的两点，，，利用“”方法，请你再添加一个条件： 使≌
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理：--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．
【解答】
解：可添加一个条件：，使≌．
理由：在与中，
，
≌．
故答案为．
16.如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：
；
平分；
；
；
．
其中正确的结论为 填写序号
【答案】
【解析】，分别是与的平分线，，
，
，正确．
如图，过点作，，，
，分别是与的平分线，，，
，是的平分线，正确．
，．
，，，．
在与中，
，，正确．
在与中，
，同理，，
，，，
两式相加得．
，，正确．
没有条件得出，不正确故答案为．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
尺规作图保留作图痕迹：
如图，已知，求作，使
如图，已知和两点、，求作一点，使，且到边、的距离相等．
【答案】解：如图：
如图：

【解析】本题考查的是尺规作图掌握尺规作图方法是解题的关键．
如图：作射线，在射线上截取分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；
作的平分线和线段的中垂线，两者的交点就是．
18.本小题分
如图，已知，，且请你判断是的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
【答案】解：是的中线．
理由如下：
，，
，
在和中，
≌，
．
是的中线．
【解析】我们可以通过证明和全等来确定其为中线．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要根据实际情况灵活运用．
19.本小题分
如图，≌，，，。
求线段的长；试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：≌，
，
，
即；
；
理由：≌，，
，
，，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出，求出即可；
，根据三角形内角和定理求出的度数，即可得出答案．
20.本小题分
某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；沿河岸直走有一树，继续前行到达处；从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；测得的长为米．
求：
河的宽度是__________
请你证明他们做法的正确性．
【答案】解：河的宽度是；
证明：由作法知，，，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形对应角相等可得；
利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
21.本小题分
如图，已知点，，，在同一直线上，且，，求证：≌．
【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌．

【解析】本题主要考查三角形全等的判定方法，解题的关键是找出第三组对应边相等．已知，，再由推得，所以可证得≌．
22.本小题分
如图所示，已知、、、在同一直线上，，，，
求证≌
【答案】证明：，
，
，
，
即，
，
≌．

【解析】本题考查的是平行线的性质及全等三角形的判定有关知识，首先根据，得出，然后找出三角形全等的条件，再进行解答即可．
23.本小题分
如图，是等边三角形，，分别是边，上的点，且，，相交于点．
求证：；
求的度数．
【答案】(1)因为是等边三角形，所以，．因为，所以，即．在和中，所以．
(2)因为，所以，所以，所以．
【解析】
分析 要证，考虑到是等边三角形，所以可得，再考虑到，故设法证明，从而可证．

求度数的途径有：看成的内角，；看成的外角，；考虑到，且，故通过途径或可求出的度数．
24.本小题分
综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，，将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到点，分别是点，的对应点，旋转角为，设线段与交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：如图，当旋转到时，旋转角的度数为 ．
探究规律：如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数．在图中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
【答案】(1)60
(2)∵，∴，即.
在和中，∴，∴.

(3)①或
②.

【解析】
，，，，
，．
略
如图，当时，．
，，，．
如图，当时，，．
当时，此种情形不成立综上所述，或．
如图，当时，
，．
，．
，旋转角为．
第1页，共1页第一章三角形单元测验
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.
16.
17. 解：如图：
如图：

18. 解：是的中线．
理由如下：
，，
，
在和中，
≌，
．
是的中线．
19. 解：≌，
，
，
即；
；
理由：≌，，
，
，，
，
．
20. 解：河的宽度是；
证明：由作法知，，，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
21. 证明：，
，
，
在和中，
，
≌．

22. 证明：，
，
，
，
即，
，
≌．

23. 【小题】
因为是等边三角形，所以，因为，所以，即在和中，所以．
【小题】
因为，所以，所以，所以．

24. 【小题】
【小题】
，，即．
在和中，．
【小题】
或
．

第3页，共3页
B
P
N
A
B
c
B'
C
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