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第二章特殊三角形单元测试
考试范围：特殊三角形；考试时间：90分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是轴对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，在中，，为的中点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题是( )
A. 如果，互为相反数，那么
B. 如果，互为相反数，那么
C. 如果，那么，互为相反数
D. 如果，那么
6.如图，在，，为上一点，且，，则的大小为( )
A. B. C. D.
7.如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，于，于，为的中点，，，则的周长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.勾股定理是几何中的一个重要定理而在西方，则是由著名数学家毕达哥拉斯用如图的图形验证了勾股定理。故图由此得名“毕达哥拉斯树”。图是由图放入长方形内得到的，，，，、、、、、都在长方形的边上，则此长方形的周长为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用反证法证明“在同一平面内，若，，则”，应假设 ．
12.如图，在中，，，中线与角平分线相交于点，则的度数为 ．
13.如图，已知，垂足为，，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是______．
14.下列几何图形中：平行四边形；线段；角；圆；正方形；任意三角形．其中一定是轴对称图形的有_____________．
15.如图，点关于，的对称点分别为、，连接，交于，交于，若，则的周长为______．
16.如图，在中，，，将一块足够大的直角三角尺、按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点在点的滑动过程中，的形形成的图形是等腰三角形时夹角的度数为 。
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等腰三角形的周长为．
若腰长是底边长的倍，求三边长．
若有一边长为，求三边长．
18.本小题分
如图，在中，，是边上的中线，于点求证：D.
19.本小题分
已知：图，，在同一直线上，，求证：是等腰三角形．
20.本小题分
如图，在四边形中，，，，且，，求的度数．
已知，如图，在中，是边上的高，是边上的中线，于，，
求证：
21.本小题分
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：；
，平分，，求的长．
22.本小题分
如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，若的周长是，则这个风车的外围周长是 。
23.本小题分
小明是个爱探究的学生，在学习完等腰三角形的判定定理之后，对于等腰如图甲，若，小明发现，只要作的平分线就可以将分成两个等腰三角形
你认为小明的发现正确吗？若正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由；
请你对图乙的三角形进行探索，将分成两个等腰三角形，并写出顶角度数；
请你对图丙的三角形进行再探索，将分成三个等腰三角形，并写出顶角度数；
24.本小题分
如图，已知中，，，，点从点开始沿方向运动至点，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
当时，求的长。
求出发时间为几秒时，把的周长平分。
求能使成为直角三角形的运动时间．
求能使成为等腰三角形的运动时间
第3页，共8页答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 不平行
12.
13.
14.
15.
16. 或或
17. 【小题】
设底边长为，则腰长为．
，解得，腰长．
三边长为，，．
【小题】
是底的情况：设腰为，则，，符合三角形三边关系．
是腰的情况：设底为，故三边长为，，或，，．

18. 证明：，是边上的中线，
，．
，
，
，，
，
．

19. 证明：，

，
≌，
，
是等腰三角形．

20. 解：连接，
，，
，，
又 ，
，，
，
是直角三角形，
，
，
．
证明：连结，
，是的中点，
，
，
，
又，
．

21. 证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
．
解：，平分，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
由可知，

22.
23. 解：正确，理由如下：
，，
，
又平分，
，
是等腰三角形．
，，
，
是等腰三角形；
图乙中，如图，顶角度数分别为：，，
图丙中，如图，顶角度数分别为：，，

24. 解：，，，
，
当时，，
即点在的中点，
；
设出发秒钟后，把的周长平分，
则，，
，
解得：；
设出发秒钟后，成为直角三角形，
成为直角三角形时，
时，
，
，
即
解得；
时，点与点重合，
；
或时，把的周长平分；
设出发秒钟后，成为等腰三角形，
当时，则，
，
，
，
，
，
，
；
当时，则
；
当时，过点作于点，
则，
所以，
故，
由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
第6页，共6页第二章特殊三角形单元测试
考试范围：特殊三角形；考试时间：90分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是轴对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】【分析】
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有个．
故选C．
2.以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】D
【解析】解：、能，因为；
B、能，因为；
C、能，因为；
D、不能，因为，不符合勾股定理的逆定理．
故选D．
根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：关系时是直角三角形．
本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3.如图，在中，，为的中点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三角形的三线合一性质求解即可．
【解答】
解：，为中点，
是的平分线，
，
．
故选D．
4.若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
由等腰三角形中有一个角等于，可分别从若为顶角与若为底角去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：等腰三角形中有一个角等于，
若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：．
这个等腰三角形的顶角的度数为：或．
故选：
5.命题“如果，那么，互为相反数”的逆命题是( )
A. 如果，互为相反数，那么
B. 如果，互为相反数，那么
C. 如果，那么，互为相反数
D. 如果，那么
【答案】B
【解析】略
6.如图，在，，为上一点，且，，则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角性质，根据可得，由得，证得，由可得，在中利用三角形内角和定理可求出．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
设，则，
又，
，
，
．
故选B．
7.如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，，．
8.如图，在中，于，于，为的中点，，，则的周长是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：，，为的中点，
，
，
的周长．
故选C．
9.如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出 ，求出 ，求出 ，根据平行线的性质得出 ， ， ，推出 ， 即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
平分，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
、 、 、 、 都是等腰三角形，共个，故D正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据题意求出 ， ，是解题的关键．
10.勾股定理是几何中的一个重要定理而在西方，则是由著名数学家毕达哥拉斯用如图的图形验证了勾股定理。故图由此得名“毕达哥拉斯树”。图是由图放入长方形内得到的，，，，、、、、、都在长方形的边上，则此长方形的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】
解：，，，
，．
如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形．
，
，
又直角中，，
，
在和中，
≌，
，
同理：≌，
，
，
所以，矩形是正方形，
边长，
所以，，，
因此，矩形的周长为．
故选A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用反证法证明“在同一平面内，若，，则”，应假设 ．
【答案】不平行
【解析】【分析】
本题考查反证法．反证法：先假设命题结论的反面成立，从而推出与已知学过的公理定理相矛盾的结论，说明假设不成立，从而肯定原命成立，所以本题应先否定．
【解答】
解：用反证法证明“在同一平面内，若，，则”，应假设：不平行或与相交．
故答案是：不平行．
12.如图，在中，，，中线与角平分线相交于点，则的度数为 ．
【答案】
【解析】略
13.如图，已知，垂足为，，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．
先求出，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】
解：，
理由是：，
，
在和中，
，
≌．
故答案为．
14.下列几何图形中：平行四边形；线段；角；圆；正方形；任意三角形．其中一定是轴对称图形的有_____________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】
解：根据轴对称图形的概念可知：线段，角，圆，正方形，一定是轴对称图形；
平行四边形和任意三角形不一定是轴对称图形．
故一定是轴对称图形的有．
15.如图，点关于，的对称点分别为、，连接，交于，交于，若，则的周长为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据对称轴的意义，可以求出，，，可以求出的周长．
【解答】
解：点关于，的对称点分别为、，连接，交于，交于，
，，
的周长，，
的周长．
故答案为．
16.如图，在中，，，将一块足够大的直角三角尺、按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点在点的滑动过程中，的形形成的图形是等腰三角形时夹角的度数为 。
【答案】或或
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质，注意要进行分类讨论分为三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得出关于的方程，求出即可
【解答】
解：的形状可以是等腰三角形，
，，
当时，是等腰三角形，
，
即，
解得：；
当时，是等腰三角形，
，
即，
解得：；
当时，是等腰三角形，
，
即，
解得：，
此时点与点重合，点和重合．
综合上述：当或或时，是等腰三角形，
即的大小是或或．
故答案为或或．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等腰三角形的周长为．
若腰长是底边长的倍，求三边长．
若有一边长为，求三边长．
【答案】(1)设底边长为，则腰长为．
，解得，∴腰长．
∴三边长为，，．

(2)①是底的情况：设腰为，则，，符合三角形三边关系．
②是腰的情况：设底为，故三边长为，，或，，．

【解析】 略
略
18.本小题分
如图，在中，，是边上的中线，于点求证：D.
【答案】证明：，是边上的中线，
，．
，
，
，，
，
．

【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到．
19.本小题分
已知：图，，在同一直线上，，求证：是等腰三角形．
【答案】证明：，

，
≌，
，
是等腰三角形．

【解析】本题主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．要证明是等腰三角形，主要利用等腰三角形的判定定理，而由≌可得，即可证得结论．
20.本小题分
如图，在四边形中，，，，且，，求的度数．
已知，如图，在中，是边上的高，是边上的中线，于，，
求证：
【答案】解：连接，
，，
，，
又 ，
，，
，
是直角三角形，
，
，
．
证明：连结，
，是的中点，
，
，
，
又，
．

【解析】此题主要考查学生对垂直平分线的性质、勾股定理的性质、勾股定理的逆定理和直角三角形的性质理解和掌握，解答此题的关键是构造直角三角形．
先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，从而求出的度数；
先根据直角三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到结论．
21.本小题分
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：；
，平分，，求的长．
【答案】证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
．
解：，平分，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
由可知，

【解析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．
首先证明，根据即可解决问题．
22.本小题分
如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，若的周长是，则这个风车的外围周长是 。
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题．由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】
解：如图所示：
依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，，则
，
的周长是，
则，．
这个风车的外围周长是：．
故答案为．
23.本小题分
小明是个爱探究的学生，在学习完等腰三角形的判定定理之后，对于等腰如图甲，若，小明发现，只要作的平分线就可以将分成两个等腰三角形
你认为小明的发现正确吗？若正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由；
请你对图乙的三角形进行探索，将分成两个等腰三角形，并写出顶角度数；
请你对图丙的三角形进行再探索，将分成三个等腰三角形，并写出顶角度数；
【答案】解：正确，理由如下：
，，
，
又平分，
，
是等腰三角形．
，，
，
是等腰三角形；
图乙中，如图，顶角度数分别为：，，
图丙中，如图，顶角度数分别为：，，

【解析】本题考查了等腰三角形的判定，解题时注意：应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．
利用等腰三角形的性质及角平分线的定义分别得到，，根据等腰三角形的判定即可得到等腰三角形；
图乙根据顶角的度数分别为：，；
图丙中把分成和，再把小三角形中的分成和，顶角的度数分别为：，，．
24.本小题分
如图，已知中，，，，点从点开始沿方向运动至点，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
当时，求的长。
求出发时间为几秒时，把的周长平分。
求能使成为直角三角形的运动时间．
求能使成为等腰三角形的运动时间
【答案】解：，，，
，
当时，，
即点在的中点，
；
设出发秒钟后，把的周长平分，
则，，
，
解得：；
设出发秒钟后，成为直角三角形，
成为直角三角形时，
时，
，
，
即
解得；
时，点与点重合，
；
或时，把的周长平分；
设出发秒钟后，成为等腰三角形，
当时，则，
，
，
，
，
，
，
；
当时，则
；
当时，过点作于点，
则，
所以，
故，
由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．

【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．
根据勾股定理求得的长，再求出点的运动路程，可得点在的中点，即可求得的长；
设出发秒钟后，把的周长平分，根据周长平分列方程，解出即可；
设出发秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可；
设出发秒钟后，成为直角三角形，运动时间有两种情况：
时，则，根据相似三角形的性质可得的值；
， 点与点重合，根据路程、速度、时间的关系可求得的值；
设出发秒钟后，成为等腰三角形，运动时间有三种情况：
当时，则，可证明，则，则，从而根据路程、速度、时间的关系可求得的值；
当时，则，根据路程、速度、时间的关系可求得的值；
当时，过点作于点，则求出，，再根据路程、速度、时间的关系可求得的值．
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