资源简介

(共32张PPT)
课前准备
1：提前3分钟进班坐好。
2：必修二数学课本、积累纠错本、演草纸、黑红水笔等工具准备齐全。
3：桌上不能有其他杂物。
4：做好上课准备。
课前准备
做题情况分析
2.1.1倾斜角和斜率　
第二章　直线和圆的方程　
课 型：新授课
日 期：6.27
导（5min）
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过阅读课本P68-69理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系.
2.理解直线的方向向量和向量坐标表示.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率.
【重难点】
重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念；
②掌握过两点的直线斜率公式．
难点：会用向量方法导出斜率定义.
问题导入
导（5min）
问题1 确定一条直线的几何要素是什么？
对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？
①两点确定一条直线
②一点和一个方向也可以确定一条直线
x
y
O
l
问题导入
导（5min）
问题2 在平面直角坐标系中，经过一点P可以作出多少条直线？
这些直线有什么区别？
l2
l3
有无数条直线，它们组成一个直线束。
区别：直线的方向不同！
追问 如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同
如何给这样的角下定义？
1、认真阅读课本25-27页并思考以下问题。(前8min)
2、完成导学提纲上深入学习部分。(后5min)
要求： 1. 阅读课本快速、全面，圈画并标星重要知识点；
2. 不交流，不提问，眼不斜视，手不离笔；
思(13min)
各小组讨论解决问题，并记录解决不了的问题和疑惑！
要求：人人发言，不讨论与课堂无关的话题，以小组为单位，组内商量后选出代表回答问题。
议(5min)
展（8min）
探究1.直线的倾斜角
直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
图中直线l1的倾斜角α1为锐角
直线l′的倾斜角α′为钝角
规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
展（8min）
探究1.
1. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线(平行或重合)，其倾斜程度相同，倾斜角相等；
O
y
x
l1
α1
l2
l3
α2
α3
2. 方向不同的直线(相交)，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.
O
P
x
y
l1
l2
l3
因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
展（8min）
牛刀小试
3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为( )
A. α+45° B. α-135°
C. 135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135°
2. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角, 则直线l的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
D
D
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
（1）
（2）
（3）
（4）
1.下列图中标出的直线的倾斜角对不对 如果不对,违背了定义中的哪一条
展（8min）
探究2.直线的斜率
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法．
问题3 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定.设直线l的倾斜角为α，那么α与P1, P2的坐标有关系吗？
探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系
(3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系
我们利用尝试利用向量法探究下面问题
展（8min）
探究2.直线的斜率
O
y
x
α
展（8min）
探究2.直线的斜率
展（8min）
探究2.直线的斜率
O
x
y
P1
P2
O
x
y
P2
P1
P
P
展（8min）
探究2.直线的斜率
P
O
x
y
P2
P1
O
x
y
P1
P2
P
展（8min）
探究2.直线的斜率
追问1 当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
展（8min）
探究2.直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即
直线的斜率
追问2 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
分母为0
倾斜角为90°的直线是没有斜率的，
倾斜角不是90°的直线都有斜率.
例如，倾斜角 = 60°时，
倾斜角 = 120°时，
展（8min）
探究3.斜率与倾斜角的关系
当直线的倾斜角 由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化 为什么
x
y
o
当0°≤ <90°时, k>0, 且k随 的增大而增大.
当90°< <180°时, k<0, 且k随 的增大而增大.
由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，斜率也不同。因此我们可以利用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。
展（8min）
探究3.斜率与倾斜角的关系
直线的斜率公式
直线的斜率与P1和P2的顺序有关系吗？
无关
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度．
展（8min）
牛刀小试
2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角:
1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率:
展（8min）
探究3.斜率与倾斜角的关系
下面我们来了解一下直线的方向向量与斜率的关系。
x
y
O
l
展（8min）
O
y
x
A(3,2)
B(-4,1)
C(0,-1)
1
-1
-2
例1 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
课本P54
探究3.斜率与倾斜角的关系
展（8min）
探究3.斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 α=0° 0°<α<90° 90°<α<180°
斜率 k>0
α=90°
k<0
0
不存在
评（6min）
题型一：直线的倾斜角
1．如图，直线l的倾斜角为（　　）
A．60° B．120° C．30° D．150°
2.已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ．
评（6min）
题型二：直线的斜率
4. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角:
3. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率:
课本P55
评（6min）
题型三：倾斜角和斜率的关系
5. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角:
(1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3).
6. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角:
(1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a).
课本P55
检（3min）
B
A
检（3min）
3．(多选)下列说法中，错误的是(　 　)
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
ABD
ACD
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
结
1.直线的倾斜角定义及其范围：
2.直线的斜率定义：
3.斜率公式：
知识清单：
整理笔记
本课结束
下节内容预告：开元高中课堂导学提纲 2024级数学 日期：2025.06.27 编制： 审核：数学组
2.1.1倾斜角和斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系. 2.理解直线的方向向量和向量坐标表示. 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率. 【重难点】 重点：①掌握直线的倾斜角与直线斜率的概念； ②掌握过两点的直线斜率公式． 难点：会用向量方法导出斜率定义. 【基础感知】 问题1.1.定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴 与直线_______方向之间所成的角叫做直线的 . 规定: 当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为 . 2.范围： . 问题2.倾斜角从“形”的角度描述了直线倾斜程度，那么从“数”的角度能否描述直线的倾斜程度 问题3.我们把一条直线的倾斜角()的 叫做这条直线的斜率.用小写字母表示，即 . 特别地：当时，斜率 ；当时，斜率 . 问题4.倾斜角的大小与斜率的正或负有何关系 图示倾斜角斜率
思考：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 问题5.过两点的直线的斜率公式:过两点的直线的斜率公式为 【我有问题要问】 1. 2. 【深入学习】 题型一：直线的倾斜角 1． 如图，直线l的倾斜角为（　　） A．60° B．120° C．30° D．150° 2． 已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为 ． 题型二：直线的斜率 题型三：倾斜角和斜率的关系 【检】 【结】 1.知识清单:1.直线倾斜角定义及其范围 2.直线斜率的定义 3.斜率公式 【下节预习提示】2.1.2两条直线垂直和平行的判定
天生我材必有用2.1.1限时训练
[基础达标]
一、选择题
1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
2．若直线过点 (1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1C．k34．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2 B．0
C. D．2
5．(多选题)给出下列说法，其中不正确的是(　　)
A．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
B．一条直线的倾斜角为30°
C．倾斜角为0°的直线只有一条
D．直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系
二、填空题
6．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是________．
7．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得直线的斜率是______________．
8．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB的斜率为__________．
三、解答题
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
10．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．
[综合运用]
1．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
2．(多选题)下列说法中不正确的是(　　)
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
3．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
4．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为__________________．
5．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．2-1-1
课后巩固训练
[基础达标]
一、选择题
1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
【解析】 由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，∴直线l的倾斜角为60°或120°.
【答案】 C
2．若直线过点 (1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝＝，∴tan α＝.
又0°≤α＜180°，∴α＝30°.
【答案】 A
3．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1C．k3【解析】 由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，又由当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，得k2>k3，所以k1【答案】 D
4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2 B．0
C. D．2
【解析】 易知kAB＝，kAC＝－，所以kAB＋kAC＝0.
【答案】 B
5．(多选题)给出下列说法，其中不正确的是(　　)
A．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
B．一条直线的倾斜角为30°
C．倾斜角为0°的直线只有一条
D．直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系
【解析】 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，A错；直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，B对；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，C错；不同的直线可以有相同的倾斜角，D错．
【答案】 ACD
二、填空题
6．已知A(－1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是________．
【解析】 设点P(x，y)，则有＝2，且＝－2，
解得x＝1，y＝6，即点P的坐标是(1,6)．
【答案】 (1,6)
7．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得直线的斜率是______________．
【解析】 设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°.
∵kPQ＝－，∴tan θ＝－，则θ＝120°.
将直线绕点P顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，∴其斜率为tan 60°＝.
【答案】
8．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB的斜率为__________．
【解析】 如图，设直线AB与x轴的交点为C，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC
＝180°－45°－105°＝30°，
所以kAB＝tan 30°＝.
【答案】
三、解答题
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
【解析】 由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1，
所以kAC＝，kBC＝，
所以＝3·，
整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
所以m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4.
10．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．
【解析】 依题意可得直线的斜率为－1，
又直线过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)，
即＝－1，
整理得＝1，可求得m＝－2或m＝－1，
经检验m＝－1不合题意，故m＝－2.
[综合运用]
1．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
【解析】 ∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan ，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.
【答案】 C
2．(多选题)下列说法中不正确的是(　　)
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
【解析】 对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选ABC.
【答案】 ABC
3．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【解析】 由题意知kPA＝－1，若点P在x轴上，则设P(m,0)，则＝－1，解得m＝3；若点P在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
【答案】 (3,0)或(0,3)
4．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为__________________．
【解析】 kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1.
【答案】 (－∞，1)∪(1，＋∞)
5．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
【解析】 ＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)．
∵kNA＝，kNB＝－，
∴－≤≤.
∴的取值范围为.

展开更多......

收起↑