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郴州市2025年上学期期末教学质量监测试卷
高一数学
注意事项：
1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，共19小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在试卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，为实数，（为虚数单位），则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ）
A. 12 B. 28 C. D. 20
6. 内角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A. 16 B. C. D. 4
7. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立
8. 中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A. 复数的虚部为 B.
C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 四边形的面积为
C. 外接圆的周长为 D.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面内，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B. 当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C 当时，取得最小值
D. 的最小值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）
12. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是________.
13. 在正三棱台中，，，棱台的高为，则该棱台的体积为________.
14. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在中，，点是的中点，点，分别是，的三等分点，且，.设，.
（1）用，表示，；
（2）若，，求.
16. 为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下：
分组 频数 频率
120 0.24
160
155 0.31
35
30 0.06
合计 500 1
（1）求和的值；
（2）估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）；
（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率.
17. 如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角正弦值.
18. 错题重做是一种有效学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
（1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
（2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
19. 在2025年斯诺克世界锦标赛中，中国选手赵心童展现了卓越的球技，成为首位获得世锦赛冠军的中国选手，同时也是亚洲首位斯诺克世锦赛冠军.假设在一次模拟的斯诺克比赛中，球桌的尺寸为矩形，斯诺克选手需要从一个特定角度击球，使球从点出发，经过点，最终进入袋口，如图所示.其中，，，，足够长.
（1）若，求；
（2）若，交于点，设，，其中，，求的最大值.
郴州市2025年上学期期末教学质量监测试卷
高一数学
注意事项：
1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，共19小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在试卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分.）
【12题答案】
【答案】6.5##
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）8
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）0.9小时 （3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【19题答案】
【答案】（1）或
（2）

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