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22.2.5直角三角形相似的判定方法
第22章 相似形
【2025-2026学年】沪科版 数学 九年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
22.2.5 直角三角形相似的判定方法
学习目标
掌握直角三角形相似的特殊判定方法，并能与一般三角形相似的判定方法区分开来。
能够运用直角三角形相似的判定方法解决相关的证明和计算问题。
进一步体会直角三角形的特殊性在相似判定中的作用，提升几何推理能力。
课堂讲解
一、直角三角形相似的判定方法
直角三角形是特殊的三角形，除了可以运用一般三角形相似的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）外，还有其特殊的判定方法：
（一）方法一：一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
因为直角三角形的两个锐角互余，若两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么另一个锐角也必然对应相等（因为\(90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-\alpha\)）。
根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，可得这两个直角三角形相似。
如图 1，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，若\(\angle A=\angle A'\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
（二）方法二：两直角边对应成比例的两个直角三角形相似
在直角三角形中，直角是特殊的角，两直角边的夹角就是直角。
若两个直角三角形的两直角边对应成比例，那么根据 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（这里的夹角为直角，必然相等），可判定这两个直角三角形相似。
如图 1，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，若\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)，则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
（三）方法三：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
这是直角三角形特有的相似判定方法。
如图 1，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)（或\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)），则\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
推导：设\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，则\(AB = k\cdot A'B'\)，\(AC = k\cdot A'C'\)。
由勾股定理可得：\(BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(k\cdot A'B')^2-(k\cdot A'C')^2}=k\sqrt{A'B'^2 - A'C'^2}=k\cdot B'C'\)
因此，\(\frac{BC}{B'C'}=k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)。
根据 “三边成比例的两个三角形相似”，可得\(\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'\)。
二、判定方法的应用
（一）利用特殊判定方法判定直角三角形相似
例 1：如图 2，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，\(AC = 3\)，\(BC = 4\)，\(DF = 6\)，\(EF = 8\)，判断这两个直角三角形是否相似，并说明理由。
解：因为\(\frac{AC}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)，所以\(\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)。
又因为\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，根据 “两直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可得\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle DEF\)。
例 2：如图 3，在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，\(AB = 10\)，\(AC = 6\)，\(A'B' = 5\)，\(A'C' = 3\)，判断这两个直角三角形是否相似，并说明理由。
解：计算斜边和一条直角边的比：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{5}=2\)，\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{6}{3}=2\)，所以\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)。
又因为\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，根据 “斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可得\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'\)。
（二）利用相似性质解决计算问题
例 3：如图 4，已知\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle ADE\)，\(\angle C=\angle E = 90^{\circ}\)，\(\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}\)，\(BC = 6\)，求\(DE\)的长。
解：因为\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle ADE\)，所以\(\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{2}\)（相似三角形对应边成比例）。
已知\(BC = 6\)，则\(\frac{6}{DE}=\frac{3}{2}\)，解得\(DE = 4\)。
三、注意事项
在运用直角三角形特殊判定方法时，要明确对应关系，如斜边对应斜边，直角边对应直角边。
“斜边和一条直角边对应成比例” 是直角三角形特有的判定方法，不适用于一般三角形，使用时要注意前提是直角三角形。
当判定两个直角三角形相似时，可根据题目条件灵活选择判定方法，优先考虑特殊方法，简化推理过程。
课堂小结
直角三角形相似的判定方法包括：一个锐角对应相等；两直角边对应成比例；斜边和一条直角边对应成比例，同时也可运用一般三角形相似的判定定理。
这些方法是基于直角三角形的特殊性（直角和两锐角互余）推导得出的。
应用时要准确识别对应边和对应角，根据不同条件选择合适的判定方法，解决相关的证明和计算问题。
作业提升
如图 5，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(CD\perp AB\)于点\(D\)，求证：\(\triangle ACD\sim\triangle ABC\sim\triangle CBD\)。
已知\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F = 90^{\circ}\)，\(\angle A = 30^{\circ}\)，\(\angle D = 60^{\circ}\)，判断这两个直角三角形是否相似，并说明理由。
在\(Rt\triangle ABC\)和\(Rt\triangle A'B'C'\)中，\(\angle C=\angle C' = 90^{\circ}\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，\(A'C' = 10\)，\(B'C' = 24\)，求\(\frac{AB}{A'B'}\)的值，并判断这两个直角三角形是否相似。
下列条件中，不能判定\(Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'\)的是（ ）
A. \(\angle A=\angle A'\)
B. \(\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}\)
C. \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)
D. \(\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}\)
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？
判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似.
判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个
三角形相似.
判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似.
思考
两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形、两个直角三角形呢？
新课探究
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？
想一想
A
B
C
D
E
F
（2）一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的两条直角边对应成比例，这两个直角三角形是否相似？
A
B
C
D
E
F
（3）如果把（2）中的条件改为一条斜边和一条直角边对应成比例呢？
A
B
C
D
E
F
已知: 如图, 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中, ∠C =∠C′ = 90°, .
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
A
C
B
B′
A′
C′
证明 设 , 则
AB = kA′B′ , AC = kA′C′ .
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
A
C
B
B′
A′
C′
直角三角形相似的判定方法
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
例4 如图, ∠ABC =∠CDB = 90°, CB = a, AC = b. 问当 BD 与 a, b 之间满足怎样的函数表达式时, 以点 A, B, C 为顶点的三角形与以点 C, D , B 为顶点的三角形相似？
A
B
D
C
a
b
解 ∵ ∠ABC=∠CDB=90°,
当 时, △ABC∽△CDB.
即
又当 时, △ABC∽△BDC.
A
B
D
C
a
b
即
答: 当 或 时, 以点 A, B, C 为顶点的三角形与以点 C, D, B 为顶点的三角形相似.
随堂演练
1. 锐角三角形ABC 的边 AB, AC 上的高 CE, BF相交于点 D, 请写出图中的两对相似三角形.
A
B
C
E
F
D
△BED ∽△CFD.
△BED ∽△BFA.
2. 在 Rt△ABC 与△A′B′C′中,∠C =∠C′ = 90°, 当具有下列条件时, 这两个直角三角形是否相似, 为什么？
（1）AB=10cm, AC=8cm, A′B′=15cm, B′C′=9cm;
（2）AB=5cm, AC=4cm, A′C′=12cm, B′C′=9cm.
（1）AB=10cm, AC=8cm, A′B′=15cm, B′C′=9cm;
解 由勾股定理得 A′C′=12 cm,
B
A
C
∵
∴
∴△ABC ∽△A′B′C′.
A′
C′
B′
（2）AB=5cm, AC=4cm, A′C′=12cm, B′C′=9cm.
解 由勾股定理得 A′B′=15 cm,
B
A
C
∵
∴
∴△ABC ∽△A′B′C′.
A′
C′
B′
1星题 基础练
知识点1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
1.［知识初练］在和中， ，
,,,则当 ____时，
.
10
2.一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形
的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形________
(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似.
不一定
3.［2025年1月合肥期末］如图，在 中，
， 是上一点，已知， ，
，求证： .
证明： 在中， ，
，
，
.
，，即 ，
.
知识点2 判定两个直角三角形相似的方法综合
4.如图，与交于点 ,
， ，
，，则 的长为___.
5.［2024·合肥庐阳区期中］如图，已知
，点在 上，那么添加
下列一个条件后，仍然不能判定 与
相似的是( )
D
A. B.
C. D.
6.真实情境 如图是跷跷板的示意图，将其几何图形抽象出来，
支柱经过的中点,与地面垂直于点 ，
，当跷跷板的一端着地时，另一端 离地面的
高度为____ .
90
7.如图，在四边形中， ，
.求证：平分 .
证明： ，
.
又 ，
，
，平分 .
2星题 中档练
(第8题)
8.［2025·合肥模拟］如图，在
中，于点 ，有下列条件：
；
； ；
，其中能判断
是直角三角形的有( )
D
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(第9题)
9.分类讨论思想 如图，
， ，
，，在边 上取
点，使得与 相似，
则满足条件的 的长为_________
____.
或1
或6
【变式题】 ［2025·池州月考］如图,在矩
形中,,,是 边的中
点,是线段上的动点,过点作
于点.当以,,为顶点的三角形与
相似时, 的长为______.
3或
注意分类讨论，要分两种情况：情况1：当
时；情况2：当 时.
10.［2025·广州模拟］如图，网格中的
每个小正方形的边长都是1，每个小正
方形的顶点叫做格点.和
的顶点都在格点上，的延长线交
于点 .求证：
(1) ；
证明：,, .
又 ， .
(2) .
， .
，
，
,
.
课堂小结
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
判断直角三角形相似的方法：
谢谢观看！

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