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2024—2025学年度第二学期期末质量监测
高一数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知复数（其中i为虚数单位），则z虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a，则表高（即的长）为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 底面是矩形的平行六面体是长方体
B. 正四面体的高为其棱长的倍
C. 用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形
D. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
6. 若，且第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（ ）
A 1 B. C. D. 2
8. 将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若为奇函数，则ω的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
10. 已知O是所在平面内一点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 外接圆的半径为 B. 内切圆的半径为
C. 若O是的外心，则在上的投影向量为 D. 若O是的垂心，则在上的投影向量为
11. 已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰，，，拼成，其中线段，，的中点均为点O，.若将该平面图形绕着直线a旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线b旋转半周所围成的几何体记为，直线直线b，则（ ）
A. 的体积为
B. 的体积为
C. 经过两次旋转后，点A所有的运动轨迹总长为
D. 的表面积为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________.
13. 已知，且，则________.
14. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.已知，则________；若，则________.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
16. 已知函数的部分图像，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间.
17. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为.
（1）求，并求当取得最大值时的值；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积记为S，且，D是的中点，点E在线段上且，线段与线段交于点M.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，且点G是的重心，求线段的最小值.
19. 如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
2024—2025学年度第二学期期末质量监测
高一数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2），
【17题答案】
【答案】（1），时，取得最大值；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）.

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