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巴中市普通高中2024级年段学情检测
数学试题
（满分150分，120分钟完卷）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置.
2.答题时请使用2B铅笔将答题卡、上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A 4 B. C. 3 D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 为了得到函数图象，可以将的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
6. 已知是关于方程的一个根，则的值为（ ）
A. 10 B. C. 6 D.
7. 棱长为6正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 化简计算的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则（ ）
A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的平均数为3
C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的60%分位数为3
10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 若，则是的整数倍
C. 在有2个零点
D. 不等式的解集为，
11. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且，平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. .平面与平面的交线平行于直线
B. 二面角的余弦值为
C. 点到平面的距离为2
D. 四棱锥的外接球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为___________.
13. 某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为__________（百万元），（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
14. 的内角，，的对边分别为，，，是平面任意一点，满足，，且.若，则的最小值为________.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角，，对的边分别为，，，且，，.
（1）求；
（2）求的面积.
16. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求函数在的值域.
17. 如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的大小.
18. 统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为，摧毁某年生产的架战机编号从小到大为，，，…，，最大的编号为，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号，，，…，，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间（如下图），可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度进而得到的估计值.
已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题.
（1）根据材料估计敌军生产的战机数量；
（2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为，，.
（ⅰ）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；
（ⅱ）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为，，，样本量分别为，，，据此证明：
19. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，.
（1）若
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求的取值范围；
（2）若是重心且，求的取值范围.
巴中市普通高中2024级年段学情检测
数学试题
（满分150分，120分钟完卷）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置.
2.答题时请使用2B铅笔将答题卡、上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】14.52
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【18题答案】
【答案】（1）24架；
（2）（ⅰ）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量，，，或者抽取样本的数量，，，估计式见解析；（ⅱ）证明见解析.
【19题答案】
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
（2）

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