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2.4.2　圆的一般方程 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题.
1.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(　　　　　)叫做圆的一般方程.圆心为　　　　　　　,半径为　　　　　　　　.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以为圆心, 为半径的圆
|微|点|助|解|
1.圆的一般方程形式上的特点
(1)x2,y2的系数均为1;
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
2.在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,表示圆心, 表示半径.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　　)
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　　)
(4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　)
2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　)
A.(-1,2),3 B.(1,-2),3
C.(-1,2),1 D.(1,-2),1
3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2)
B.(-2,2)
C.[-2,2]
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
题型(一)　圆的一般方程的概念
[例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围;
(2)若圆的直径为6,求t的值.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
[提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.
　　[针对训练]
1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(-6,+∞) B.[-6,+∞)
C.(-∞,6] D.(-∞,6)
2.若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则b的取值范围为 (　　)
A. B.∪
C. D.∪
题型(二)　求圆的一般方程
[例2]　已知圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.
听课记录:
　　[变式拓展]
若本例条件变为“圆过P(4,2),Q(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2”,求圆的方程.
　　|思|维|建|模|
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
　　[针对训练]
3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 (　　)
A.x2+y2-6x-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),O(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 (　　)
A.±1 B.+1
C.-1 D.1±
题型(三)　与圆有关的轨迹问题
[例3]　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
2.若本例条件变为“从定点A(6,8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1,P2两点”,求弦P1P2的中点P的轨迹.
　　|思|维|建|模|
求与轨迹问题有关的圆的方程
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
　　[针对训练]
5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
2．4．2　圆的一般方程
?课前预知教材
1．D2＋E2－4F>0　　
[基础落实训练]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　2.A　3.D
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：(1)由题意，方程x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示圆，则满足D2＋E2－4F＝(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＝2t＋9>0，解得t>－，
即t的取值范围为.
(2)由圆的直径为6，可得r＝ ＝ ＝3，解得t＝.
[针对训练]
1．选D　由方程x2＋y2＋2kx－4y＋k2＋k－2＝0可得(x＋k)2＋(y－2)2＝6－k，所以当r＝>0时表示圆，解得k<6.
2．选D　若方程ax2＋by2＋bx－4y＋a＝0表示一个圆，则a＝b≠0，方程可化为x2＋y2＋x－y＋1＝0，所以1＋2－4>0，解得－[题型(二)]
[例2]　解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①，
将P，Q坐标代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0④，
据题设知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是④的两根．
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤，解由②③⑤组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
[变式拓展]
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0①.
又因为圆过点P，Q，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②.
1＋9－D＋3E＋F＝0③.
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
[针对训练]
3．选C　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为，因为圆C经过两点A(0,2)，B(4,6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，
所以
解得所以圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0.
4．选D　设过四点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(0,0)，B(2,0)，C(2，－2)代入可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，将O(m，－1)代入圆的方程得m2－2m－1＝0，解得m＝1±，故选D.
[题型(三)]
[例3]　解：(1)设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[变式拓展]
1．解：设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.
即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.
当x＝0或x＝1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2．解：由题意知OP⊥AP，取OA的中点M，则M(3,4)，|PM|＝|OA|＝ ＝5.
由圆的定义知其轨迹方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.所以P的轨迹是以(3,4)为圆心，5为半径的圆．
[针对训练]
5．解：以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(－3，0)，B(3,0)，M(x，y)，则|MA|2＋|MB|2＝26，即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，化简得点M的轨迹方程为x2＋y2＝4.(共43张PPT)
2.4.2　
圆的一般方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化.
2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(_______________)叫做圆的一般方程.圆心为_____________半径为_____________________.
D2+E2-4F>0
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程 条件 图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0
D2+E2-4F>0
|微|点|助|解|
1.圆的一般方程形式上的特点
(1)x2,y2的系数均为1;
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
2.在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,表示圆心, 表示半径.
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. ( 　)
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( 　)
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( 　)
(4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. ( 　)
√
×
√
×
2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　)
A.(-1,2),3 B.(1,-2),3
C.(-1,2),1 D.(1,-2),1
解析:将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心坐标为(-1,2),半径为3.
√
3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2) B.(-2,2)
C.[-2,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
√
解析:法一:配方法　将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程为
+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0,解得m<-2或m>2.
法二:判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0,即m2-8>0,解得m<-2或m>2.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　圆的一般方程的概念
[例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围;
解:由题意,方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆,
则满足D2+E2-4F=(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0,解得t>-,
即t的取值范围为.
(2)若圆的直径为6,求t的值.
解:由圆的直径为6,可得r= = =3,解得t=.
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
[提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.
|思|维|建|模|
针对训练
1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(-6,+∞) B.[-6,+∞)
C.(-∞,6] D.(-∞,6)
解析:由方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0可得(x+k)2+(y-2)2=6-k,所以当r=>0时表示圆,解得k<6.
√
2.若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则b的取值范围为 (　　)
A. B.∪
C. D.∪
√
解析:若方程ax2+by2+bx-4y+a=0表示一个圆,则a=b≠0,方程可化为x2+y2+x-y+1=0,所以1+-4>0,解得-题型(二)　求圆的一般方程
[例2]　已知圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.
解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①,
将P,Q坐标代入①得
令x=0,由①得y2+Ey+F=0④,
据题设知|y1-y2|=4,其中y1,y2是④的两根.
所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤,
解由②③⑤组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
　　[变式拓展]
若本例条件变为“圆过P(4,2),Q(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2”,求圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
由题意知-D-E=2,即D+E+2=0①.
又因为圆过点P,Q,所以16+4+4D+2E+F=0②.
1+9-D+3E+F=0③.
解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
|思|维|建|模|
针对训练
3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,
则圆C的方程为 (　　)
A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标为,
因为圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,
所以解得所以圆C的方程
为x2+y2-6x-6y+8=0.
√
4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),O(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 (　　)
A.±1 B.+1 C.-1 D.1±
√
解析:设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将A(0,0),B(2,0),C(2,-2)代入可得
解得所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0,将O(m,-1)代入
圆的方程得m2-2m-1=0,解得m=1±,故选D.
[例3]　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,
P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;
题型(三)　与圆有关的轨迹问题
解:设线段AP的中点M(x,y),
由中点坐标公式,得点P的坐标为(2x-2,2y).
∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解:设线段PQ的中点N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
　　[变式拓展]
1.若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
解:设T(x,y).
因为点T是弦的中点,所以OT⊥BT.
当斜率存在时,有kOT·kBT=-1.
即·=-1,整理得x2+y2-x-y=0.
当x=0或x=1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.
2.若本例条件变为“从定点A(6,8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1,P2两点”,求弦P1P2的中点P的轨迹.
解:由题意知OP⊥AP,取OA的中点M,则M(3,4),|PM|=|OA|= =5.
由圆的定义知其轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25.所以P的轨迹是以(3,4)为圆心,
5为半径的圆.
求与轨迹问题有关的圆的方程
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
|思|维|建|模|
5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
针对训练
解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得点M的轨迹方程为x2+y2=4.
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1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:根据题意,得(-1)2+12-4×(-2m)>0,所以m>-.
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2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),则D,E分别为 (　　)
A.4,-6 B.-4,-6
C.-4,6 D.4,6
√
解析:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为,又已知该圆的
圆心坐标为(-2,3),∴-=-2,-=3,
∴D=4,E=-6.
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3.(多选)已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称
√
√
√
解析:x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5,即圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,直线x+3y-2=0过圆心,直线x-y+2=0不过圆心,故B、C正确,D错误.
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4.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0
√
解析:因为圆心在射线y=x(x≤0)上,故设圆心为(a≤0),又半径为5,
且经过坐标原点,所以 =5,解得a=-4或a=4(舍去),即圆的圆心坐标为(-4,-3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0.
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5.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),
C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为 (　　)
A. B.2 C. D.3
√
解析:∵A(-2,0),B(2,0),C(0,4),∴△ABC为锐角三角形,∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆,设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得∴△ABC的最小覆盖圆方程为
x2+y2-3y-4=0,即x2+=,∴△ABC的最小覆盖圆的半径为.
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6.在平面直角坐标系中,圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点,其中A(-2,0),B(0,-3),
点C在x轴正半轴上,点D在y轴的正半轴上,圆E的内接四边形ABCD的面积为,则圆E的方程为(　　)
A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6
C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3
√
解析:设C(c,0),D(0,d)(c>0,d>0),则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=.又因为|OA|·|OC|
=2c=|OB|·|OD|=3d,解得c=3,d=2(舍负),因此圆心E,r2=,圆E的方程为+=,即x2+y2-x+y=6,故B正确.
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7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 (　　)
A.π+2 B.π+4 C. D.π
解析:当x>0,y>0时,曲线为+=,当x>0>y时,曲线为+=,当x<0,y<0时,曲线为+=,当x<0同时点(0,0),(±1,0),(0,±1)均在曲线上,如图所示,
所以围成的图形是由4个半径均为的半圆与1个边长为
的正方形组成,故图形面积为4××π×+()2=π+2.
故选A.
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√
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8. (5分)某圆拱(圆的一段劣弧)的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是24 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需要一个支柱支撑,则支柱A2P2的长度为____________m.
解析:由题意得,A(-12,0),B(12,0),P(0,4),设圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+
Ey+F=0,则解得∴圆拱所在圆的方程为x2+y2
+32y-144=0.将点P2的横坐标x=4代入上式,解得y=-16+8或y=-16-8(舍去),即支柱A2P2的长度为(-16+8)m.
-16+8
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9. (5分)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是_________.
解析:易知解得-215
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10. (5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称,求圆心C坐标为_______.
解析:由已知得4+m2-16>0,解得m>2或m<-2,圆C:(x+1)2+
=-3,圆心为,若圆C关于直线x+2y-3=0对称,则-1-×2-3=0,解得m=-4,所以圆心C坐标为(-1,2).
(-1,2)
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11. (5分)已知点M到两个定点A(1,0),B(4,0)的距离比为,则点M的轨迹方程为_____________.
x2+y2=4
解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.故
==,两边平方并化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4.
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12.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;(5分)
解:原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则-m2+3m+4>0,解得-1(2)求圆的周长的最大值.(5分)
解:圆的半径r==≤,当且仅当m=时,半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π.
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13.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-4,0),C(4,-4).
(1)求△ABC外接圆O1的方程;(5分)
解:设△ABC外接圆O1的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
由已知可得方程组
解得
则圆O1的方程为x2+y2+2x+8y-8=0.
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(2)判断点M1(3,-1),M2(2,-3)是否在这个圆上.(5分)
解:圆O1的标准方程可化为(x+1)2+(y+4)2=25.
把点M1(3,-1)的坐标代入圆O1的方程,得(3+1)2+(-1+4)2=25,
即点M1的坐标满足圆O1的方程,所以点M1在这个圆上,把点M2(2,-3)的坐标代入圆O1的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25,即点M2的坐标不满足圆O1的方程,所以点M2不在这个圆上.
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14.(10分)已知直线l:x+2y+3=0,圆C:x2+y2-2x-6y-6=0.
(1)求与l垂直的C的直径所在直线m的一般式方程;(5分)
解:将C的方程化为(x-1)2+(y-3)2=16,可知C的圆心为(1,3),半径为4.
因为m⊥l,所以可设m的一般式方程为2x-y+k=0,
将(1,3)代入2x-y+k=0,解得k=1,故m的一般式方程为2x-y+1=0.
(2)若圆E与C关于直线l对称,求E的标准方程.(5分)
解:设E的圆心为(a,b),由E与C关于直线l对称,
可得解得
所以E的标准方程为(x+3)2+(y+5)2=16.
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15.(10分)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作 MONP,
求点P的轨迹方程.
解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分,故=,=,
则即N(x+3,y-4).
又点N在圆x2+y2=4上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
由于O,M,N共线时不能作 MONP,
又lOM:y=-x,与圆P方程联立解得或
因此点P的轨迹为圆,其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和.课时检测（二十四） 圆的一般方程
1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),则D,E分别为 (　　)
A.4,-6 B.-4,-6
C.-4,6 D.4,6
3.(多选)已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 (　　)
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
4.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为 (　　)
A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0
5.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为 (　　)
A. B.2
C. D.3
6.在平面直角坐标系中,圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点,其中A(-2,0),B(0,-3),点C在x轴正半轴上,点D在y轴的正半轴上,圆E的内接四边形ABCD的面积为,则圆E的方程为 (　　)
A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6
C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3
7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 (　　)
A.π+2 B.π+4
C. D.π
8.(5分)某圆拱(圆的一段劣弧)的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是24 m,拱高OP是4 m,在建造时,
每隔2 m需要一个支柱支撑,则支柱A2P2的长度为　　　　　m.
9.(5分)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是　　　　.
10.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称,求圆心C坐标为　　　　.
11.(5分)已知点M到两个定点A(1,0),B(4,0)的距离比为,则点M的轨迹方程为　　　　　　　.
12.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;(5分)
(2)求圆的周长的最大值.(5分)
13.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-4,0),C(4,-4).
(1)求△ABC外接圆O1的方程;(5分)
(2)判断点M1(3,-1),M2(2,-3)是否在这个圆上.(5分)
14.(10分)已知直线l:x+2y+3=0,圆C:x2+y2-2x-6y-6=0.
(1)求与l垂直的C的直径所在直线m的一般式方程;(5分)
(2)若圆E与C关于直线l对称,求E的标准方程.(5分)
15.(10分)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作 MONP,求点P的轨迹方程.
课时检测(二十四)
1．选C　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－.
2．选A　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6.
3．选ABC　x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，直线x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，故B、C正确，D错误．
4．选C　因为圆心在射线y＝x(x≤0)上，故设圆心为(a≤0)，又半径为5，且经过坐标原点，所以＝5，解得a＝－4或a＝4(舍去)，即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.
5．选C　∵A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，∴△ABC为锐角三角形，∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆，设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝，∴△ABC的最小覆盖圆的半径为.
6．选B　设C(c,0)，D(0，d)(c>0，d>0)，则S四边形ABCD＝(c＋2)(d＋3)＝.又因为|OA|·|OC|＝2c＝|OB|·|OD|＝3d，解得c＝3，d＝2(舍负)，因此圆心E，r2＝，圆E的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋y＝6，故B正确．
7．选A　当x>0，y>0时，曲线为2＋2＝，当x>0>y时，
曲线为2＋2＝，
当x<0，y<0时，曲线为2＋2＝，当x<08．解析：由题意得，A(－12,0)，B(12,0)，P(0,4)，设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋32y－144＝0.将点P2的横坐标x＝4代入上式，解得y＝－16＋8或y＝－16－8(舍去)，即支柱A2P2的长度为(－16＋8)m.
答案：－16＋8
9．解析：易知解得－2答案：
10．解析：由已知得4＋m2－16>0，解得m>2或m<－2，圆C：(x＋1)2＋2＝－3，圆心为，若圆C关于直线x＋2y－3＝0对称，则－1－×2－3＝0，解得m＝－4，所以圆心C坐标为(－1,2)．
答案：(－1,2)
11．解析：设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.故＝＝，两边平方并化简得x2＋y2＝4.所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
12．解：(1)原方程可化为(x＋m)2＋(y＋2)2＝－m2＋3m＋4，若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1(2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为5π.
13．解：(1)设△ABC外接圆O1的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
由已知可得方程组
解得
则圆O1的方程为x2＋y2＋2x＋8y－8＝0.
(2)圆O1的标准方程可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.
把点M1(3，－1)的坐标代入圆O1的方程，得(3＋1)2＋(－1＋4)2＝25，
即点M1的坐标满足圆O1的方程，所以点M1在这个圆上，把点M2(2，－3)的坐标代入圆O1的方程得(2＋1)2＋(－3＋4)2＝10≠25，即点M2的坐标不满足圆O1的方程，所以点M2不在这个圆上．
14．解：(1)将C的方程化为(x－1)2＋(y－3)2＝16，可知C的圆心为(1,3)，半径为4.
因为m⊥l，所以可设m的一般式方程为2x－y＋k＝0，
将(1,3)代入2x－y＋k＝0，解得k＝1，
故m的一般式方程为2x－y＋1＝0.
(2)设E的圆心为(a，b)，由E与C关于直线l对称，
可得解得
所以E的标准方程为(x＋3)2＋(y＋5)2＝16.
15．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，
则即N(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
由于O，M，N共线时不能作 MONP，
又lOM：y＝－x，
与圆P方程联立
解得或
因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和.

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