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3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
掌握椭圆的简单几何性质.能根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
　　椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 _____________ _____________
对称性 对称轴为坐标轴,对称中心(中心)为原点
顶点 _____________ _____________
B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|=　　,长轴长|A1A2|=　　
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=______
离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比　　　　称为椭圆的离心率,用e表示,即e=. (2)性质:离心率e的范围是　　　　.当e越接近于1时,椭圆越扁平;当e越接近于0时,椭圆就越接近于　　　
|微|点|助|解|
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(4)对于椭圆上的点P,当点P从长轴端点向短轴端点移动时,∠F1PF2逐渐增大,当点P在短轴端点时,∠F1PF2最大.
(5)通径长为.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a. (　　)
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (　　)
(3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). (　　)
2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 (　　)
A.(-6,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0)
C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,)
3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e,则e的值为 (　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
4.下列四个椭圆中,形状最扁的是 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
题型(一)　由椭圆的标准方程研究其几何性质
[例1]　求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
　　[针对训练]
1.(多选)已知点(3,2)在椭圆+=1上,则下列各点一定在该椭圆上的是 (　　)
A.(-3,-2) B.(3,-2)
C.(-3,2) D.(2,3)
2.(多选)已知椭圆C1:+=1与椭圆C2:+=1,则 (　　)
A.C1与C2的长轴长相等
B.C2的焦距是C1的焦距的2倍
C.C1与C2的离心率相等
D.C1与C2有公共点
题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程
[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上,长轴长是10,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
　　[针对训练]
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
(2)离心率e=,焦距为12.
题型(三)　椭圆的离心率
[例3]　已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为　　　　.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”,求椭圆的离心率.
2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=”变为“点P为椭圆的上顶点,点Q在椭圆上且满足=3”,求椭圆的离心率.
　　|思|维|建|模|
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
直接法 若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解
方程法 或不等 式法 若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围
　　[针对训练]
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,
求该椭圆的离心率.
第1课时　椭圆的简单几何性质
?课前预知教材
－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　A1(－a,0)，A2(a,0)　A1(0，－a)，A2(0，a)　2b　2a　2c　　(0,1)　圆
[基础落实训练]
1．(1)×　(2)×　 (3)√　2.D　3.C　4.A
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：根据椭圆的方程＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4，
所以椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝＝，焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，
顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
将方程变形为y＝± ，
根据y＝ 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
[针对训练]
1．选ABC　由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知，只有点(2,3)不在椭圆上．故选ABC.
2．选CD　由题意，知椭圆C1：＋＝1的长轴长为4，椭圆C2：＋＝1的长轴长为4，故A错误；椭圆C1的焦距为2，椭圆C2的焦距为4，故B错误；椭圆C1的离心率为，椭圆C2的离心率为，故C正确；由C1：＋＝1和C2：＋＝1联立，可得交点为(2,0)，(－2,0)，故D正确．故选CD.
[题型(二)]
[例2]　解：(1)焦点在x轴上，故设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知得，2a＝10，a＝5，e＝＝，故c＝4, 故b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故椭圆的方程是＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[针对训练]
3．解：(1)若焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[题型(三)]
[例3]　解析：由题意可知|PF1|＝|PF2|
＝＝＝a，|F1F2|＝2c.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos∠F1PF2，化简得4c2＝a2，则e2＝，所以e＝.
答案：
[变式拓展]
1．解：因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b＝c，所以a＝＝＝c，所以离心率为e＝＝＝.
2．解：由题意P(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.设Q(x0，y0)，由＝3，得(c，b)＝3(x0－c，y0)，即代入椭圆方程得＋＝1，解得离心率e＝.
[针对训练]
4．选B　法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，整理得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，解得e＝或e＝－(舍去)．
法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，即＝，所以e＝.
法三　如图，由题意，得在椭圆中，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b，|BF|＝a.在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝.
5．解：如图，设|F1F2|＝2c，由题设条件，可知|PF1|＝＝，则|PF2|＝.
又椭圆的离心率e＝＝＝＝，
即该椭圆的离心率为.(共47张PPT)
3.1.2　
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
第1课时
课时目标
掌握椭圆的简单几何性质.能根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
　　椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 ______________________ ______________________
对称性 对称轴为坐标轴,对称中心(中心)为原点
顶点 ______________________ ______________________
B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|=____,长轴长|A1A2|=____
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=____
离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比____称为椭圆的离心率,用e表示,即e=. (2)性质:离心率e的范围是______.当e越接近于1时,椭圆越扁平;当e越接近于0时,椭圆就越接近于____
续表
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
2b
2a
2c
(0,1)
圆
|微|点|助|解|
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
(4)对于椭圆上的点P,当点P从长轴端点向短轴端点移动时,
∠F1PF2逐渐增大,当点P在短轴端点时,∠F1PF2最大.
(5)通径长为.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a. (　 )
(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (　 )
(3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). (　 )
×
×
√
2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 (　　)
A.(-6,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0)
C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,)
√
解析:椭圆6x2+y2=6的标准方程为+x2=1,易知椭圆焦点在y轴上,
且a2=6,a=,所以椭圆的长轴端点坐标为(0,-),(0,).
3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e,则e的值为 (　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
√
解析:由题意得椭圆长半轴长a=1,短半轴长b=,
所以半焦距c==,所以离心率e===,故选C.
4.下列四个椭圆中,形状最扁的是 (　　)
A.+=1　　　　　　　　B.+=1
C.+=1　　　　　　　　D.+=1
√
解析:由e=,根据选项中的椭圆的方程,可得的值满足<<<,
因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,所以这四个椭圆中,椭圆+=1
的离心率最大,故其形状最扁.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　由椭圆的标准方程研究其几何性质
[例1]　求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
解:根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,
所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0),F2(4,0),
顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=± ,
根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示):
先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
|思|维|建|模|
针对训练
1.(多选)已知点(3,2)在椭圆+=1上,则下列各点一定在该椭圆上的是(　　)
A.(-3,-2)　　　B.(3,-2)　　　C.(-3,2)　　　D.(2,3)
解析:由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知,只有点(2,3)不在椭圆上.故选ABC.
√
√
√
2.(多选)已知椭圆C1:+=1与椭圆C2:+=1,则(　　)
A.C1与C2的长轴长相等 B.C2的焦距是C1的焦距的2倍
C.C1与C2的离心率相等 D.C1与C2有公共点
√
√
解析:由题意,知椭圆C1:+=1的长轴长为4,椭圆C2:+=1的长轴长为4,
故A错误;椭圆C1的焦距为2,椭圆C2的焦距为4,故B错误;椭圆C1的离心率为,椭圆C2的离心率为,故C正确;由C1:+=1和C2:+=1联立,可得交点为(2,0),
(-2,0),故D正确.故选CD.
题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程
[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上,长轴长是10,离心率是;
解:焦点在x轴上,故设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由已知得,2a=10,a=5,e==,故c=4, 故b2=a2-c2=25-16=9,
故椭圆的方程是+=1.
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6,如图所示,
∴△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的方程为+=1.
解:设椭圆的标准方程为+=1,a>b>0,
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
|思|维|建|模|
针对训练
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
解:若焦点在x轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意得
解得故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意得
解得故所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述,所求椭圆的
标准方程为+y2=1或+=1.
(2)离心率e=,焦距为12.
解:由e==,2c=12,得a=10,c=6,所以b2=a2-c2=64.当焦点在x轴上时,所求椭圆的标准方程为+=1;当焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为+=1.
综上所述,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
[例3]　已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为　　　　.
题型(三)　椭圆的离心率
解析:由题意可知|PF1|=|PF2|=
==a,|F1F2|=2c.在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cos∠F1PF2,化简得4c2=a2,则e2=,
所以e=.
　　[变式拓展]
1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”,求椭圆的离心率.
解:因为∠F1PF2为直角,所以△F1PF2为等腰直角三角形,所以b=c,
所以a===c,所以离心率为e===.
2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=”变为“点P为
椭圆的上顶点,点Q在椭圆上且满足=3”,求椭圆的离心率.
解:由题意P(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.设Q(x0,y0),由=3,得(c,b)=3(x0-c,y0),即代入椭圆方程得+=1,解得离心率e=.
求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法
|思|维|建|模|
直接法 若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解
方程法或不等式法 若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或
不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,
即可求得e的值或取值范围
针对训练
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析:法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,整理得b2=3c2.又b2=a2-c2,所以=,即e2=,解得e=或e=-(舍去).
法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,所以=×2b,即=,所以e=.
√
法三　如图,由题意,得在椭圆中,|OF|=c,
|OB|=b,|OD|=×2b=b,|BF|=a.
在Rt△FOB中,|OF|×|OB|=|BF|×|OD|,
即c×b=a×b,解得=,所以椭圆的离心率e=.
5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,求该椭圆的离心率.
解:如图,设|F1F2|=2c,由题设条件,可知|PF1|==,则|PF2|=.
又椭圆的离心率e====,
即该椭圆的离心率为.
课时跟踪检测
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1.(多选)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 (　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
解析:由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1,所以a=,b=,c=,所以长轴长2a=1,焦距2c=,焦点坐标为,离心率e==.
√
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2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析:由e2=e1,得=3.因此=3×.因为a>1,所以a=.
√
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3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9,k≠0),则两椭圆必定(　　)
A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率
√
解析:因为k<9,k≠0,所以25-k>9-k>0,所以椭圆+=1(k<9,k≠0)中a2
=25-k≠25,b2=9-k≠9,故A、C错误;椭圆+=1(k<9,k≠0)的c2=a2-b2
=25-k-(9-k)=16,椭圆+=1的c2=25-9=16,故两椭圆c相等,所以有相等的焦距,故B正确;离心率e=,两椭圆a不相等,c相等,显然离心率不一样,故D错误.
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4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1　　　B.+=1　　　C.+=1　　　D.+=1
√
解析:因为M(1,0)为线段OB的中点,且B(b,0),所以b=2,
又椭圆C的离心率e=,所以===,
所以a=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.
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5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
√
解析:因为∠F1NF2=∠F1F2N,所以|F1N|=|F1F2|=2c.又因为|F1N|+|F2N|=2a,
所以|F2N|=2a-|F1N|=2a-2c.又因为=3,所以|MN|=3|F2M|,所以|F2M|
=|F2N|=a-c.又|F1M|+|F2M|=2a,所以|F1M|=a+c,|F2M|=a-c,|F2N|=a+c,
所以2a=3(a-c),所以椭圆C的离心率为e==.故选D.
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6.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个
分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,
P9,F是左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(　　)
A.16　　　　B.18　　　　C.20 　　　　D.22
解析:因为把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,设椭圆的右焦点为F',且a2=4,可得a=2,由椭圆的定义及椭圆的对称性,可得|P1F|=|P9F'|,|P2F|=|P8F'|,|P3F|=|P7F'|,…,
所以|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(|P9F'|+|P9F|)+(|P8F'|+|P8F|)+…+(|P5F'|+|P5F|)
=9a=18.
√
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7.(多选)已知椭圆C:+=1,F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点.
下列说法正确的是(　　)
A.椭圆离心率为 B.|PF1|的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤ D.|PF1|+|PF2|=2
解析:由椭圆C:+=1,可得a=2,b=,则c==1,由椭圆C的离心率为
e==,所以A正确;由椭圆的几何性质,当点P为椭圆的右顶点时,可得|PF1|max
=a+c=3,所以B正确;当点P为椭圆的短轴的端点时,可得|PF1|=|PF2|=a=2,
|F1F2|=2c=2,所以∠F1PF2=,根据椭圆的几何性质,可得0≤∠F1PF2≤,
所以C正确;由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a=4,所以D错误.
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8.(多选)如图,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1的
交点依次为A,B,C,D.则下列说法正确的是(　　)
A.四边形ABCD为正方形
B.阴影部分的面积大于3
C.阴影部分的面积小于4
D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2
√
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解析:由题意,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1,根据曲线的对称性,可得四边形ABCD为正方形,A正确;联立方程组,求得A,所以正方形ABCD的面积为S1=3,所以阴影部分的面积大于3,B正确;由直线x=±1,y=±1围成的正方形的面积为S2=4,所以阴影部分的面积小于4,C正确;由|OA|2=,所以四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=,D错误.
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9. (5分)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为_______.
2
解析:∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1),∴m2-1-m=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1,由于+=1表示的是椭圆,则m>1,∴m=2,则椭圆方程为+=1,∴a=,2a=2.
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10. (5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,
焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为8π,且离心率为,则C的标准方程为
___________.
+=1
解析:设C的标准方程为+=1(a>b>0),则解得
所以C的标准方程为+=1.
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11. (5分)在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为________ cm.
20
解析:设小椭圆的长半轴长为a,a>0,依题意,e===,则
=,解得a=10,所以小椭圆的长轴长为2a=20 cm.
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12.(5分)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为_____________.
解析:如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=,由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0,
得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=.
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13.(10分)求下列曲线的标准方程.
(1)长轴长为12,离心率为,焦点在x轴上的椭圆;(5分)
解:由题意,2a=12,∴a=6,又e=,即=,∴c=4,∴b2=a2-c2=36-16=20,又焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)一个焦点为(0,2),长轴长为6的椭圆.(5分)
解:由题意,c=2,椭圆焦点在y轴上,2a=6,即a=3,
∴b2=a2-c2=5,
∴椭圆的标准方程为+=1.
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14.(10分)已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面积等于4,求椭圆的标准方程;(5分)
解:由题意可得|PF1|=|PF2|=a,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2
=2a2=4c2,所以=|PF1|·|PF2|==4,
所以a2=8,所以b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.
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(2)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率.(5分)
解:法一　若△POF2为等边三角形,则P的坐标为,代入方程+=1,可得+=1,解得e2=4±2,又0法二　由△POF2为等边三角形,所以|OF1|=|OF2|=|OP|,所以PF1⊥PF2,
由∠OF2P=,|F1F2|=2c,
所以|PF1|=c,|PF2|=c,所以|PF1|+|PF2|=2a=(+1)c,所以e=-1.
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15.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长与短轴长的和为6,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程;(6分)
解:由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,得=,解得a=2b.
由长轴长与短轴长的和为6,得2a+2b=6,则a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
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(2)设P为椭圆C上一点,M(1,0).若λ=,求实数λ的取值范围.(9分)
解:设P(x,y),由(1)知,y2=1-,x∈[-2,2],
而|PF1|+|PF2|=2a=4,
因此λ==
==,
由x∈[-2,2],得+∈,则≤λ≤,所以实数λ的取值范围为.课时检测（三十） 椭圆的简单几何性质
1.(多选)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 (　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= (　　)
A. B.
C. D.
3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9,k≠0),则两椭圆必定 (　　)
A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距
C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率
4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆的标准方程为 (　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,
若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.
6.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|= (　　)
A.16 B.18
C.20 D.22
7.(多选)已知椭圆C:+=1,F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是 (　　)
A.椭圆离心率为 B.|PF1|的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤ D.|PF1|+|PF2|=2
8.(多选)如图,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1的交点依次为A,B,C,D.则下列说法正确的是 (　　)
A.四边形ABCD为正方形
B.阴影部分的面积大于3
C.阴影部分的面积小于4
D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2
9.(5分)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为　　　　.
10.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为8π,且离心率为,则C的标准方程为　　　　　　　.
11.(5分)在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为　　　　 cm.
12.(5分)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为　　　　　.
13.(10分)求下列曲线的标准方程.
(1)长轴长为12,离心率为,焦点在x轴上的椭圆;(5分)
(2)一个焦点为(0,2),长轴长为6的椭圆.(5分)
14.(10分)已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面积等于4,求椭圆的标准方程;(5分)
(2)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率.(5分)
15.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长与短轴长的和为6,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程;(6分)
(2)设P为椭圆C上一点,M(1,0).若λ=,求实数λ的取值范围.(9分)
课时检测(三十)
1．选CD　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝.
2．选A　由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×.因为a＞1，所以a＝.
3．选B　因为k<9，k≠0，所以25－k>9－k>0，所以椭圆＋＝1(k<9，k≠0)中a2＝25－k≠25，b2＝9－k≠9，故A、C错误；椭圆＋＝1(k<9，k≠0)的c2＝a2－b2＝25－k－(9－k)＝16，椭圆＋＝1的c2＝25－9＝16，故两椭圆c相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率e＝，两椭圆a不相等，c相等，显然离心率不一样，故D错误．
4.选B　因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0)，所以b＝2，又椭圆C的离心率e＝，所以＝＝＝，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
5．选D　因为∠F1NF2＝∠F1F2N，所以|F1N|＝|F1F2|＝2c.又因为|F1N|＋|F2N|＝2a，所以|F2N|＝2a－|F1N|＝2a－2c.又因为＝3，所以|MN|＝3|F2M|，所以|F2M|＝|F2N|＝a－c.又|F1M|＋|F2M|＝2a，所以|F1M|＝a＋c，|F2M|＝a－c，|F2N|＝a＋c，所以2a＝3(a－c)，所以椭圆C的离心率为e＝＝.故选D.
6．选B　因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F′，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F′|，|P2F|＝|P8F′|，|P3F|＝|P7F′|，…，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F′|＋|P9F|)＋(|P8F′|＋|P8F|)＋…＋(|P5F′|＋|P5F|)＝9a＝18.
7．选ABC　由椭圆C：＋＝1，可得a＝2，b＝，则c＝＝1，由椭圆C的离心率为e＝＝，所以A正确；由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝3，所以B正确；当点P为椭圆的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，所以∠F1PF2＝，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确；由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以D错误．
8．选ABC　由题意，椭圆C1：＋y2＝1和C2：＋x2＝1，根据曲线的对称性，可得四边形ABCD为正方形，A正确；联立方程组，求得A，所以正方形ABCD的面积为S1＝3，所以阴影部分的面积大于3，B正确；由直线x＝±1，y＝±1围成的正方形的面积为S2＝4，所以阴影部分的面积小于4，C正确；由|OA|2＝，所以四边形ABCD的外接圆方程为x2＋y2＝，D错误．
9．解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，由于＋＝1表示的是椭圆，则m>1，∴m＝2，则椭圆方程为＋＝1，∴a＝，2a＝2.
答案：2
10．解析：设C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得所以C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝＝＝，则＝，解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm.
答案：20
12．解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，
且b2＝a2－c2，e＝>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝.
答案：
13．解：(1)由题意，2a＝12，∴a＝6，又e＝，即＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，即a＝3，∴b2＝a2－c2＝5，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
14．解：(1)由题意可得|PF1|＝|PF2|＝a，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一　若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，又0法二　由△POF2为等边三角形，所以|OF1|＝|OF2|＝|OP|，所以PF1⊥PF2，
由∠OF2P＝，|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝(＋1)c，所以e＝－1.
15．解：(1)由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，得＝，解得a＝2b.
由长轴长与短轴长的和为6，得2a＋2b＝6，则a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知，y2＝1－，x∈[－2,2]，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
因此λ＝＝
＝
＝，
由x∈[－2,2]，得2＋∈，则≤λ≤ ，所以实数λ的取值范围为.

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