资源简介

3.2.1　双曲线及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
[课时目标]
1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法).
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题.
1.双曲线的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的　　　　　　　　等于非零常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,分左右两支,常数用2a表示
焦点 　　　　　　　　　　叫做双曲线的焦点
焦距 　　　　　　　　　　叫做双曲线的焦距,用2c(c>0)表示
集合 语言 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
|微|点|助|解|
(1)在双曲线定义中,若|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|),即“去掉绝对值符号”,则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).
(2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线
2a=|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1,F2为端点,指向F1,F2所在直线两侧的射线
2a>|F1F2| 动点M不存在,因而轨迹不存在
2a=0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 　　　　 　　　　
焦距 |F1F2|=　　
a,b,c 的关系 c2=　　　　　　
|微|点|助|解|
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.
(2)焦点F1,F2的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,即若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.
(3)参数a,b,c的几何意义:在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c2=a2+b2,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为c的线段是斜边,如图所示.
基础落实训练
1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是 (　　)
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 (　　)
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 (　　)
A.-y2=1 B.-y2=1
C.-y2=1 D.x2-=1
4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 (　　)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
题型(一)　与双曲线有关的轨迹方程问题
[例1]　动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
2.易错提醒
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误.
(2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
　　[针对训练]
1.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 (　　)
A.-=1(x>2)
B.-=1(x>3)
C.+=1(0D.+=1(0题型(二)　双曲线的标准方程
[例2]　根据下列条件,分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P,Q;
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
听课记录:
|思|维|建|模|　用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
[提醒]　求双曲线的标准方程时,焦点不确定可设方程为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0).
　　[针对训练]
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);
(2)经过A(-7,-6),B(2,3)两点;
(3)过点P(-,2),且与椭圆+=1有相同焦点.
题型(三)　双曲线的定义及应用
题点1　确定有关几何量的值
[例3]　已知M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线左、右焦点,若|MF1|=5,则|MF2|= (　　)
A.9或1 B.1
C.9 D.9或2
听课记录:
题点2　焦点三角形问题
[例4]　已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,
求△F1PF2的面积.
听课记录:
　　[变式拓展]
1.若本例中双曲线的方程不变,且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10,求点P到焦点F2的距离.
2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”变成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
题点3　最值问题
[例5]　已知P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
(1)设F1,F2分别表示双曲线的左、右焦点,若点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在双曲线的右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在双曲线的左支上.如果遇到动点到两定点的距离之差的问题,应联想到利用双曲线的定义来解,但要注意动点的横坐标x的取值范围.
(2)解与焦点三角形有关的问题,常利用双曲线的定义,并注意与三角形的知识相结合,如正弦定理、余弦定理、勾股定理等,同时要注意整体运算思想的应用.
　　[针对训练]
3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|等于 (　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.
4.已知F1,F2为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1F2P= (　　)
A.- B.
C. D.
5.已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,
则|AP|+|AF2|的最小值为　　　　.
3．2．1　双曲线及其标准方程
?课前预知教材
1．差的绝对值　两个定点F1，F2　两焦点间的距离　2.F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)　2c　a2＋b2
[基础落实训练]
1．D　2.A　3.A　4.B
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解：设动圆M的半径为r，因为☉C与☉M内切，点A在☉C外，☉C的半径为，
所以|MC|＝r－，|MA|＝r，
因此有|MA|－|MC|＝，
所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，即圆心M的轨迹方程是2x2－＝1.
[针对训练]
1.选A　如图设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以方程为－＝1(x>2)．
[题型(二)]
[例2]　解：(1)法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
∴解得 (舍去)．
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二　∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
[针对训练]
2．解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(－5,2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，因此，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，因此双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
[题型(三)]
[例3]　选C　因为M是双曲线－＝1上一点，所以所以由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝4，所以|MF2|＝1或|MF2|＝9，又|MF2|≥c－a＝2，所以|MF2|＝9，故选C.
[例4]　解：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5，所以2a＝6,2c＝10.
因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[变式拓展]
1．解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2．解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6.又|PF1|∶|PF2|＝2∶5，所以|PF2|＝10，|PF1|＝4.因为|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形．易得PF1边上的高为4，所以S△F1PF2＝×4×4＝8.
[例5]　解析：双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
答案：5
[针对训练]
3．选A　因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4.
4.选A　由双曲线方程可知a＝4，b＝3，c＝＝5，根据双曲线的几何意义可得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，又|PF1|＝2|PF2|，解得|PF1|＝16，|PF2|＝8，|F1F2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1F2P＝＝＝－，故选A.
5．解析：因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.
答案：－2(共53张PPT)
3.2　
双曲线
3.2.1　
双曲线及其标准方程
[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]
课时目标
1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法).
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.双曲线的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的_______________等于非零常数
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,分左右两支,常数用2a表示
焦点 _________________叫做双曲线的焦点
焦距 _________________叫做双曲线的焦距,用2c(c>0)表示
集合 语言 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
差的绝对值
两个定点F1,F2
两焦点间的距离
|微|点|助|解|
(1)在双曲线定义中,若|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|),即“去掉绝对值符号”,则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).
(2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线
2a=|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1,F2为端点,指向F1,F2所在直线两侧的射线
2a>|F1F2| 动点M不存在,因而轨迹不存在
2a=0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程
标准方程
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 __________________ __________________
焦距 |F1F2|=_____ a,b,c的关系 c2=________ F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
2c
a2+b2
|微|点|助|解|
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.
(2)焦点F1,F2的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.
“焦点跟着正项走”,即若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,
则焦点在y轴上.
(3)参数a,b,c的几何意义:在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c2=a2+b2,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为c的线段是斜边,如图所示.
基础落实训练
1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是 (　　)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
√
解析:依题意得|F1F2|=10,当a=3时,因为|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.
2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为(　 )
A.(-∞,1)　　　B.(2,+∞)　　　C.(1,2)　　　D.(-∞,1)∪(2,+∞)
√
解析:由方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则解得k<1,故选A.
3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.-y2=1　　　B.-y2=1　　　C.-y2=1　　　D.x2-=1
√
解析:由题意得双曲线焦点在x轴上且c=,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,-=1,解得a2=2,b2=1,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1,故选A.
4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是 (　　)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
√
解析:因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,点P满足|PF1|-|PF2|=4<|F1F2|,所以动点动P的轨迹是双曲线的上支.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　与双曲线有关的轨迹方程问题
[例1]　动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径为r,因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,☉C的半径为,
所以|MC|=r-,|MA|=r,
因此有|MA|-|MC|=,
所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,
即圆心M的轨迹方程是2x2-=1.
1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
2.易错提醒
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误.
(2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
|思|维|建|模|
针对训练
1.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 (　　)
A.-=1(x>2) B.-=1(x>3)
C.+=1(0解析:如图设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则有|AD|=|AE|=5,|BF|=|BE|=1,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|
=5-1=4.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,
2a=4的双曲线的右支(右顶点除外),即c=3,a=2,
又c2=a2+b2,所以b2=5,所以方程为-=1(x>2).
√
题型(二)　双曲线的标准方程
[例2]　根据下列条件,分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P,Q;
解:法一　若焦点在x轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由于点P和Q在双曲线上,∴解得 (舍去).
若焦点在y轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),将P,Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为-=1.
综上,双曲线的标准方程为-=1.
解:法二　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
∵P,Q两点在双曲线上,
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
[例2]　根据下列条件,分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P,Q;
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
解:法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.
法二　∵焦点在x轴上,c=,
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5,2),∴-=1,
∴λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是-y2=1.
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
|思|维|建|模|
[提醒]　求双曲线的标准方程时,焦点不确定可设方程为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0).
针对训练
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);
解:因为a=2,且双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的标准方程为-=1(b>0),将点A(-5,2)的坐标代入双曲线的方程得-=1,
解得b2=16,因此,双曲线的标准方程为-=1.
(2)经过A(-7,-6),B(2,3)两点;
解:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),将点A,B的坐标代入双曲线方程可得解得m=,n=-,因此双曲线的标准方程为-=1.
(3)过点P(-,2),且与椭圆+=1有相同焦点.
解:由题意知,椭圆+=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),所以可设
双曲线标准方程为-=1,其中a2+b2=5,代入点P(-,2)可得-=1,
联立解得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2-=1.
题点1　确定有关几何量的值
[例3]　已知M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线左、右焦点,若|MF1|=5,则|MF2|=(　　)
A.9或1 　B.1 C.9 　　D.9或2
题型(三)　双曲线的定义及应用
解析:因为M是双曲线-=1上一点,所以所以
由双曲线定义可知||MF1|-|MF2||=2a=4,
所以|MF2|=1或|MF2|=9,
又|MF2|≥c-a=2,所以|MF2|=9,故选C.
√
题点2　焦点三角形问题
[例4]　已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,
且|PF1|·|PF2|=32,求△F1PF2的面积.
解:由题意,得a=3,b=4,c==5,
所以2a=6,2c=10.
因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2
-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,
得cos∠F1PF2===0,所以∠F1PF2=90°,
所以=|PF1|·|PF2|=×32=16.
　　[变式拓展]
1.若本例中双曲线的方程不变,且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10,求点P到焦点F2的距离.
解:由双曲线方程-=1,得a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=6,
所以|10-|PF2||=6,解得|PF2|=4或|PF2|=16.
2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”变成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”,
其他条件不变,求△F1PF2的面积.
解:由双曲线方程-=1,得a=3,b=4,c=5.
因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6.又|PF1|∶|PF2|=2∶5,所以|PF2|=10,|PF1|=4.因为|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4,所以=×4×4=8.
题点3　最值问题
[例5]　已知P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为_________.
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解析:双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为两圆的圆心,
且两圆的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,
故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.
(1)设F1,F2分别表示双曲线的左、右焦点,若点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则点P在双曲线的右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a,则点P在双曲线的左支上.如果遇到动点到两定点的距离之差的问题,应联想到利用双曲线的定义来解,但要注意动点的横坐标x的取值范围.
(2)解与焦点三角形有关的问题,常利用双曲线的定义,并注意与三角形的知识相结合,如正弦定理、余弦定理、勾股定理等,同时要注意整体运算思想的应用.
|思|维|建|模|
3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|等于(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.
针对训练
解析:因为双曲线-=1左支上的点M到右焦点F1的距离为18,所以M到左焦点F2的距离|MF2|=18-10=8,N是MF1的中点,
O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
√
4.已知F1,F2为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,
且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1F2P=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析:由双曲线方程可知a=4,b=3,c==5,
根据双曲线的几何意义可得|PF1|-|PF2|=2a,
|F1F2|=2c,又|PF1|=2|PF2|,解得|PF1|=16,|PF2|=8,
|F1F2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2P
===-,故选A.
√
5.已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,
点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为_____________.
解析:因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时,|AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==.
故|AP|+|AF2|的最小值为-2.
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课时跟踪检测
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1.若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是(　　)
A.(-2,2) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:∵已知方程表示双曲线,∴(2+m)(2-m)>0.∴-2√
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2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为(　　)
A.1　　　B.1或-2　　　C.1或　　　D.
解析:由题意知解得a=1.
√
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3.过点(1,1),且=的双曲线的标准方程是(　　)
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1
√
解析:由=,知b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,将点(1,1)代入可得a2=,则双曲线方程为-y2=1.同理,焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1.
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4.已知点M(2,0),N(-2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为 (　　)
A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-)
C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
√
解析:因为M(2,0),N(-2,0),所以|MN|=4,动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|,由双曲线的定义可知,动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的左支,
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则有c=2,a=1,b==,
所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
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5.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则|PQ|+|PF1|的最小值为 (　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.4
√
解析:由题意并结合双曲线的定义可得|PQ|+|PF1|=|PQ|+(|PF2|+2)=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2=2+2=4,当且仅当Q,P,F2三点共线时等号成立.
|PQ|+|PF1|的最小值为4.故选D.
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6.(多选)关于x,y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　　)
A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2的椭圆
√
√
解析:对于A,若曲线表示焦点在y轴上的双曲线,则m2+2<0,无解,A错误;
对于B,若曲线表示圆心为坐标原点的圆,则m2+2=4-m2,解得m=±1,B正确;
对于C,若曲线表示焦点在x轴上的双曲线,则4-m2<0,所以m>2或m<-2,C正确;
对于D,若曲线表示长轴长为2的椭圆,则2a=2,a=,则或无解,D错误.故选BC.
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7.在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为 (　　)
A.-=1(x>4) B.-=1(x<-4)
C.-=1(x>4或x<-4) D.-=1
解析:设PM,PN分别与圆C相切于点S,T,
则|PS|=|PT|,|MS|=|MA|,|NA|=|NT|,
所以|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,
且8<|MN|=10,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点),
√
这里2a=8,a=4,c=5,则b===3,故点P的轨迹方程为-=1(x>4).
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8.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,
P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　B.-=1　　　C.-=1　　　D.-=1
解析:由题意可知,∠F1PF2=90°,又由直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1
==2.根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a.因为
=|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2
=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2=10,又a2+b2=c2,所以b2=8,所以双曲线的方程为-=1,故选C.
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9.已知A(7,3),双曲线C:-=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,
则|PF|-|PA|的最大值是(　　)
A.-1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.9
解析:若F'为双曲线右焦点F'(3,0),则|PF|-|PF'|
=2a=4,|AF'|=5,而|PA|≥|PF'|-|AF'|,
当且仅当P,F',A共线且A在P,F'之间时等号成立,
所以|PF|-|PA|≤|PF|-|PF'|+|AF'|=4+5=9,
当P,F',A共线且A在P,F'之间时等号成立.
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10. (5分)已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于______.
解析:根据题意可知,双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4,
得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=.
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11. (5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为__________.
解析:由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0),则右焦点到直线x+2y-8=0的距离d==.
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12. (5分)若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为
______________________.
(-3,2)∪(3,+∞)
解析:依题意有或解得-33.
所以实数m的取值范围是(-3,2)∪(3,+∞).
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13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6).(3分)
解:由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,所以另一个焦点坐标为(0,6).
因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a=|-|=|13-5|=8,因此a=4,
从而b2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是-=1.
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(2)a=4,经过点A.(3分)
解:当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,可得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为
-=1(b>0),把A点的坐标代入,可得b2=9,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
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(3)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2).(4分)
解:设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16),因为双曲线过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14 (舍去).所以双曲线的标准方程为-=1.
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14.(10分)已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,
双曲线C2:-=1(a>0,b>0)与C1共焦点,点A(3,)在双曲线C2上.
(1)求双曲线C2的方程;(5分)
解:由椭圆方程可知c2=18-14=4,∴F1(-2,0),F2(2,0),∵A(3,),
∴2a=||AF1|-|AF2||=|-|=2,
∴a2=2,b2=c2-a2=4-2=2,
∴双曲线C2的方程为-=1.
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(2)已知点P在双曲线C2上,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.(5分)
解:设点P在双曲线的右支上,并且设|PF1|=x,|PF2|=y,
∴变形为(x-y)2+xy=16 8+xy=16 xy=8,
∴=|PF1||PF2|sin 60°=2.
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15.(10分)已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为
坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
解:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),
则=(x1-c,y1),所以S△OFQ=|||y1|=2,则y1=±.又·=m,即c(x1-c)
=c2,解得x1=c,所以||==≥=2,
当且仅当c2=,即c=4时,取等号,||最小,这时点Q的坐标为(,)或(,-).因为所以于是所求双曲线的标准方程为-=1.
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16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆M与圆E:(x+)2+y2=和圆F:(x-)2+y2=都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C;(7分)
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解:因为动圆M与圆E:(x+)2+y2=和圆F:(x-)2+y2=都外切,
设圆M半径为r,则|ME|=r+,|MF|=r+,
所以|ME|-|MF|=4<|EF|,
所以M的轨迹是以(-,0),(,0)为焦点,2a=4的双曲线的右支,
故圆心M的轨迹方程为-=1(x≥2).
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(2)已知点O为原点,点A(8,0),点P是曲线C上任意一点,求·的最小值.(8分)
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解:设P(x,y),则=(x-8,y),=(x,y),
所以·=(x-8)x+y2,且-=1(x≥2),
所以·=x2-8x+3=-8x-3(x≥2),
当x=时,(·)min=-.课时检测（三十三） 双曲线及其标准方程
1.若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 (　　)
A.(-2,2) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 (　　)
A.1 B.1或-2
C.1或 D.
3.过点(1,1),且=的双曲线的标准方程是 (　　)
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1
4.已知点M(2,0),N(-2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为 (　　)
A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-)
C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
5.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则|PQ|+|PF1|的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.4
6.(多选)关于x,y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是 (　　)
A.焦点在y轴上的双曲线
B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为2的椭圆
7.在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为 (　　)
A.-=1(x>4)
B.-=1(x<-4)
C.-=1(x>4或x<-4)
D.-=1
8.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
9.已知A(7,3),双曲线C:-=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,则|PF|-|PA|的最大值是 (　　)
A.-1 B.2
C. D.9
10.(5分)已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于　　　　.
11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.
12.(5分)若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6).(3分)
(2)a=4,经过点A.(3分)
(3)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2).(4分)
14.(10分)已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C2:-=1(a>0,b>0)与C1共焦点,
点A(3,)在双曲线C2上.
(1)求双曲线C2的方程;(5分)
(2)已知点P在双曲线C2上,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.(5分)
15.(10分)已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆M与圆E:(x+)2+y2=和圆F:(x-)2+y2=都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C;(7分)
(2)已知点O为原点,点A(8,0),点P是曲线C上任意一点,求·的最小值.(8分)
课时检测(三十三)
1．选A　∵已知方程表示双曲线，
∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
2．选A　由题意知解得a＝1.
3．选D　由＝，知b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入可得a2＝，则双曲线方程为－y2＝1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．选D　因为M(2,0)，N(－2,0)，所以|MN|＝4，动点P满足|PM|－|PN|＝2<|MN|，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有c＝2，a＝1，b＝＝，所以动点P的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
5.选D　由题意并结合双曲线的定义可得|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋(|PF2|＋2)＝|PQ|＋|PF2|＋2≥|QF2|＋2＝2＋2＝4，当且仅当Q，P，F2三点共线时等号成立．|PQ|＋|PF1|的最小值为4.故选D.
6．选BC　对于A，若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，A错误；对于B，若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，B正确；对于C，若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，C正确；对于D，若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a＝2，a＝，则或无解，D错误．故选BC.
7．选A　设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，所以|PM|－|PN|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，且8<|MN|＝10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)，
这里2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝＝3，
故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)．
8．选C　由题意可知，∠F1PF2＝90°，又由直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2.根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.因为S＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
9.选D　若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则|PF|－|PF′|＝2a＝4，|AF′|＝5，而|PA|≥|PF′|－|AF′|，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以|PF|－|PA|≤|PF|－|PF′|＋|AF′|＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立．
10．解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
答案：
11．解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0)，则右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝.
答案：
12．解析：依题意有或解得－33.
所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,2)∪(3，＋∞)
13．解：(1)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)．
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为2a＝
|－|＝
|13－5|＝8，因此a＝4，从而b2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14 (舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1.
14．解：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，∵A(3，)，∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2，
∴双曲线C2的方程为－＝1.
(2)设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
∴变形为(x－y)2＋xy＝16 8＋xy＝16 xy＝8，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝2.
15．解：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，所以S△OFQ＝|||y1|＝2，则y1＝±.又·＝m，即c(x1－c)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝≥＝2，当且仅当c2＝，即c＝4时，取等号，||最小，这时点Q的坐标为(，)或(，－)．因为所以于是所求双曲线的标准方程为－＝1.
16．解：(1)因为动圆M与圆E：(x＋)2＋y2＝和圆F：(x－)2＋y2＝都外切，
设圆M半径为r，则|ME|＝r＋，|MF|＝r＋，
所以|ME|－|MF|＝4<|EF|，
所以M的轨迹是以(－，0)，(，0)为焦点，2a＝4的双曲线的右支，
故圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
(2)设P(x，y)，则＝(x－8，y)，＝(x，y)，
所以·＝(x－8)x＋y2，
且－＝1(x≥2)，
所以·＝x2－8x＋3＝－8x－3(x≥2)，当x＝时，(·)min＝－.

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